Порівняння математичних виразів

В 2-му класі продовжується робота над порівнянням чисел, числа та виразу, двох математичних виразів.

Порівняти математичні вирази – це означає встановити, значення якого виразу більше, менше або вони рівні.

Вирази порівнюються декількома способами:

1. Знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо отримані числа. Більше той вираз, значення якого більше. І навпаки.

2. Порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3×5 …3×4 - обидва вирази – добутки; в обох добутках однакові перші множники, значить більший той вираз у якого другий множник більший: 5 більш ніж 4,тому 3×5 більше 3×4.

3. Перетворення виразу й порівняння виразів 2-им способом:
3×4 + 3 > 3×4.

Розглянемо ці способи докладно.

Спочатку учні вчаться порівнювати вираз і число, наприклад: 8 + 5 і 12. Першим кроком знаходимо значення суми: 8 + 5 = 13. Другим кроком порівнюємо отриманий результат з числом 12: 13 > 12. Третім кроком робимо висновок: якщо 13 > 12, то 8 + 5 > 12. Форма запису в зошиті:

Далі порівнюються два математичні вирази. Треба порівняти вирази 45 – 6 і 28 + 4. Міркуємо так:

1) знаходимо значення першого виразу: 45 – 6 = 39;

2) знаходимо значення другого виразу: 28 + 4 = 32;

3) порівнюємо отримані результати: 39 > 32;

4) робимо висновок: так як 39 > 32, то й 45 – 6 > 28 + 4.

Форма запису в зошиті:

Розглянемо другий спосіб порівняння математичних виразів – логічний. Зазначимо, що цей спосіб порівняння математичних виразів був нами запропонований учням ще в 1-му класі.

§ Прочитайте кожний вираз.

5 + 7 – сума чисел 5 та 7;

5 + 9 – сума чисел 5 та 9.

§ Чим цікаві ці вирази? (Обидва вирази – це суми.)

§ Що спільного в цих сумах? (В них однакові перші доданки)

§ Чим вони відрізняються? (В них різні другі доданки).

§ Зробіть висновок: з двох сум з однаковими першими доданками, менша та, в якій другий доданок менший.

Порівнюючи математичні вирази логічним способом ми застосовуємо знання учнів про зміну результатів арифметичних дій в залежності від зміни компонентів. Вчитель повинен пам’ятати, що змінюються в одному напрямку: якщо один із збільшиться , то й теж збільшиться, і навпаки. Так само в одному напрямі змінюються в залежності від зміни . Але змінюються в зворотному напрямі від зміни : якщо збільшиться , то , навпаки зменшиться.

Наприклад:

(Чим більше відняли від одного й того самого числа, тим менше залишилося)

З двох часток з однаковими дільниками менша та, у якій ділене менше.

З двох часток з однаковими діленими більше та, в якій дільник менший.

Можна пропонувати дітям завдання на порівняння математичних виразів двома способами. Наприклад:

2 × 5 > 2 × 2 2 × 5 > 2 × 2

10 > 4 5 > 2 (якщо перші множники однакові, то більший той добуток, у якого другий множник більший)

В темі “Табличне множення і ділення” учні знайомляться з третім способом порівняння математичних виразів на підставі перетворення математичного виразу. Наприклад:

2 + 2 + 2 + 2 < 2 × 5

2 × 4 < 2 × 5

Порівнюючи математичні вирази даним способом, ми спочатку виконали тотожне перетворення першого виразу на підставі конкретного змісту дії множення.

Тотожні перетворення виразів

Тотожні перетворення виразів – це заміна даного виразу іншим, значення котрого рівно значенню даного (зазначимо, що це означення вірно лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).

Тотожні перетворення в 2-му класі здійснюються на підставі властивостей арифметичних дій та їх наслідків:

1) переставної властивості множення та додавання;

2) сполучної властивості додавання та множення;

3) правил:

- віднімання суми від числа, числа від суми:

Вивчаючи властивості арифметичних дій діти впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення їх при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів у тотожні.

48 + 5 = 48 + (2 + 3) = (48 + 2) + 3 = 53

Важливо, щоб учні не тільки пояснювали на підставі чого вони отримають наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак “=” тому, що вони мають однакові значення.

Учні 2-го класу виконують тотожні перетворення не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі їх конкретного змісту дії множення:

3 × 4 = 3 + 3 + 3 +3

Буквені вирази

Підготовка до ознайомлення із буквою - змінною здійснюється ще в 1-му класі, де широко застосовуються приклади з віконцем.

Підготовкою є вся система вправ на складання таблиць додавання й віднімання. При складанні таблиць додавання в межах першого десятку перший доданок змінний, а другий – сталий:

£ + 1

У таблицях на віднімання змінним виступає зменшуване, а сталим – від’ємник. Тут доцільною буде така робота:

§ Ми склали таблицю додавання числа 3.Прочитайте перший приклад з таблиці (1+3=4). Прочитайте другий приклад (2+3=5). Порівняйте ці приклади. Що ви помітили? (В них однакові другі доданки, а перші доданки та суми в них різні) Розглянемо увесь стовпчик прикладів. Що можна сказати про другі доданки, що можна сказати про перші доданки? (Другі доданки у прикладах не змінюються, а перші змінюються від 1 до 7)

§ Отже, усі випадки таблиці додавання числа 3 можна узагальнити так:

£ + 3

§ Якщо у “віконце” поступово підставляти числа від 1 до 7, то ми отримаємо усі випадки таблиці.

Як підготовчі виступають вправи з віконцем – де у віконце треба підставити число. Ці вправи підводять до поняття “ невідомого числа”:

Хто із тварин вірно розв’язав приклад: 3 + £ = 9

Також підготовчими до введення поняття “змінної” служать вправи на склад числа, на доповнення, на збільшення чи зменшення заданих чисел на якесь стале число, різні ігрові вправи та задачі з пропущеними числами.

1. Які числа можна записати у віконцях?:

£ + £ = 6

2. Доповнити до 10:

3. У хлопчика було 7 кролів. Він подарував товаришу £ кролів. Скільки кролів залишилося у хлопчика?

Також у підручнику є завдання виду:

6 + 3 = £

Ознайомлення. У 2-му класі для позначення змінної використовується буква а, яка має однакову назву в українському та латинському алфавітах. Треба зазначити, що у підручнику Л.П.Кочи­ної діти вже в 2-му класі знайомляться з буквами латинського алфавіту.

Буквене позначення компонента дії додавання вводиться під час вивчення таблиць додавання з переходом через десяток (перед вивченням таблиці додавання числа 5). На першому уроці діти повинні усвідомити, що буквою позначено не одне якесь визначене число, а в загалі будь-яке число. Букві можна надавати різноманітні числові значення. Показати це дітям слід яскраво образно, використовуючи резерви наочно образного мислення та відповідного виду пам’яті молодших школярів, з метою розуміння цього абстрактного поняття та міцного його запам’ятовування.

Методика роботи

§ Розглянемо стовпчик прикладів. 8+1

§ Прочитайте перші доданки. 8+2

§ Прочитайте другі доданки. 8+3

§ Порівняйте в цих прикладах 1-ші та другі доданки. 8+4

§ Який доданок сталий?

§ Який доданок змінюється?

§ Щоб не записувати змінні - різні числа другого доданка, можна позначити його “віконцем”, але так не зручно, тому в математиці змінну позначають буквою, наприклад а.

§ Читаємо цей запис так: сума чисел 8 та а або 8 плюс а.

§ 8+ а – це теж вираз – сума, але не такий які ми розглядали раніш. Чим цей вираз відрізняється від тих виразів, які ми розглядали попереду?

§ Цей вираз утримує букву поряд з числом, тому він називається буквеним виразом.

§ Якщо замість букви підставимо вказані числа, то для кожного числа знайдемо суму 8 та а.

§ Якщо а =1, тоді 8 + а =8 + 1 = 9.

§ Якщо а =2, тоді 8 + а =8 + 2 = 10

§ Таким чином, щоб знайти значення буквеного виразу слід замість букви підставити її значення й обчислити значення числового виразу:

§ Знайдіть самостійно суму 8 та а, якщо а =3, а =4.

§ Буквою можна позначити не лише другий чи перший доданок, а й зменшуване або від’ємник.

Ми розглянули індуктивну методику введення буквених виразів (від часткового до загального. Існує дедуктивна методика (від загального до часткового). Розглянемо її.

Припустимо дано вираз: а + в, де а – будь-яке число. Яким може бути перший доданок? (Діти називають свої варіанти.) в – будь-яке число. Яким може бути другий доданок? Щоб знайти значення суми, треба буквам а і в надати значення:

1. Нехай а = 8, в = 7, тоді значення виразу а + в = 8 + 7 = 15;

2. Якщо а = 14, в = 18, то а + в = 14 + 18 = 32;

3. Якщо а = 25, в = 49, то а + в= 25 + 49 = 74.

§ Які значення може приймати буква “а”? (Будь-які!)

§ Які значення може приймати буква “в”? (Будь-які!)

Розглянемо інший вираз: а – в

1) якщо а = 81, в = 38, то а – в = 81 – 38 = 43;

2) якщо а = 72, в = 47, то а – в = 72 – 47 = 25;

3) якщо а = 68, в = 16, то а – в = 68 – 16 = 52.

- а – зменшуване. Які значення може приймати а? (Будь-які!)

- в – від’ємник. Які значення може приймати буква “в”? (Будь-які, але не більше, ніж зменшуване!)

Обговорюємо ці питання далі:

а – в; в а

Якщо а = 40, то в 40;

Якщо а = 34, а в = 40, то різниця не існує в множині натуральних чисел.

В подальшому ставиться задача про знаходження значень виразів при заданих значеннях букв.

З метою включення вправ на знаходження значень буквених виразів в усну лічбу діти знайомляться з табличною формою завдань на знаходження значень буквених виразів.

У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів із змінною формується розуміння змінної як букви у виразі, що може набувати деякої множини значень. В учнів має створитися чітке уявлення про те, що у виразу із змінною – буквою не має певного значення, воно залежить від того яке значення приймає буква.

Розв’язування задач виразом

В 2-му класі вчимо учнів розв’язувати задачі виразом. Розглянемо задачу:

У туриста було 10 яблук. На зупинці він з’їв 3 яблука, але в селі купив ще 8 яблук. Скільки яблук стало у туриста?

Розглянемо міркування по розв’язуванню цієї задачі: було 10 яблук, 3 яблука з’їв, то в туриста залишилося (10 – 3) яблук; в селі він купив 8 яблук, то у нього стало

(10 – 3) + 8 яблук. Обчислюємо значення цього виразу:

(10 – 3) + 8 =? + 8 = 15 (ябл.)

Відповідь: 15 яблук стало у туриста.

Підготовча робота до введення поняття
про рівняння та про нерівності із змінною

Розглянемо завдання, метою яких є підготовка учнів до ознайомлення з рівняннями та нерівностями із змінною, які, до речі, вводяться в 3-му класі.

1. Підбери потрібні числа, так щоб рівності були вірними:

£ – 5 = 7 £ + 5 = 7

§ З якого числа треба відняти 5, щоб отримати 7? Відняти 5 – це означає знайти таке число 7, яке в сумі з від’ємником дає зменшуване: 7 + 5 = 12. В квадратик на місті зменшуваного треба поставити число 12.

 

Розглянемо другий приклад:

£ + 5 = 7

 

2. Підбери такі числа, щоб записи були вірними:

10 + £ < 18

20 – £ > 15

2 × £ > 10

Це завдання розв’язується методом підбору: в першому випадку можна брати будь-які числа від 0 до 7:

10 + £ < 18

10 + 0 < 18 вірно

10 + 1 < 18 вірно

10 + 2 < 18 вірно

10 + 3 < 18 вірно

10 + 4 < 18 вірно

10 + 5 < 18 вірно

10 + 6 < 18 вірно

10 + 7 < 18 вірно

10 + 8 < 18 невірно

В другому випадку можна брати числа від 0 до 4. А в третьому - від 6 до нескінченності:

2 × £ > 10

2 × 1 > 10 не вірно

2 × 2 > 10 не вірно

2 × 3 > 10 не вірно

2 × 4 > 10 не вірно

2 × 5 > 10 не вірно

2 × 6 > 10 вірно

На прикінці підручника Л.П.Кочиної “Математика 2” пропонується вправа: до невідомого числа додали 12 і отримали 40. Знайди невідоме число.

£ + 12 = 40

Аналізуємо рівність:

§ Що записано ліворуч від знака рівності? (Сума)

§ Який компонент невідомий? (Перший доданок.)

§ Як знайти перший доданок? (Треба від суми відняти другий доданок.)

§ Виконайте дії.

§ Назвіть чому дорівнює перший доданок. Доведіть це – зробіть перевірку.

£ + 12 = 40

£ = 40 – 12

£ = 28

28 + 12 = 40

40 = 40

Аналогічно розв’язується завдання: задумане число зменшили на 20 і отримали 65. Яке число задумали?

§ Що означає вислів задумане число зменшили на 20? (Від цього числа відняли 20)

§ Складіть рівність з віконцем.

§ Який компонент невідомий?

§ Як знайти невідомий компонент?

§ Знайдіть невідомий компонент.

§ Зробіть перевірку.

£ – 20 = 65

£ = 65 + 20

£ = 85

85 – 20 = 65

65 = 65

Треба зазначити, що поняття про рівняння в 2-му класі не вводиться, хоча на прикладі таких завдань ми фактично розв’язували рівняння.