Определение координат центра тяжести простейших (элементарных) плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. Центр тяжести стержня находится на середине высоты.

 

Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быт рассчитаны по формулам для определения центра тяжести плоских фигур(рис. 8.3):

а) — круг;

б) — квадрат, прямоугольник;

в) — треугольник;

г) — полукруг.

 

При решении задач используются следующие методы:

1) метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить.

3) метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

 

Тема 1.7. Кинематика. Основные понятия. Кинематика точки

Кинематика как наука о механическом движении, изучаемом с точки зрения геометрии. Основные понятия кинематики: механическое движение, траектория, путь, перемещение, время, скорость, ускорение.

Способы задания движения точки. Скорость. Ускорение – полное, нормальное и касательное. Виды движения точки в зависимости от ускорения

 

 

Тема 1.12. Динамика. Основные понятия и аксиомы динамики. Метод кинетостатики для материальной точки.

 

Динамика — раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

— определяют параметры движения по заданным силам;

— определяют силы, действующие на тело, по заданным кине­тическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку. Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка падает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас­сматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

Аксиомы динамики

Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную этих законах, называют классической механикой.

Первая аксиома (принцип инерции)

Всякая изолированная материальная точка находится в со­стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в клас­сической механике ее считают величиной постоянной. Единица из­мерения массы — килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики)

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорци­онально величине силы и совпадает с направлением силы.

F = т а,

где т — масса точки, кг;

а — ускорение точки, м/с².

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

 

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G = т g

где g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения.

 

Третья аксиома (третий закон Ньютона)

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направле­ны по одной прямой в разные стороны:

Откуда m₁a₁ = m₂a₂ или

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

 

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил)

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности:

 

Метод кинетостатики

 

Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики.

Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются несвободными.

Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничиваю­щих движение реакций связей (пассивных сил).

Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемости от связей).

Сила инерции

Инертность — способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции — сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тела (материальной точки) и направленная в обратную сторо­ну от ускорения.

Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.

Рассчитано, что сила инерции равна

F_ИH = /та.

Таким образом, силы, действующие на материальные точки m₁ и m₂, при разгоне платформы соответственно равны

Разгоняющееся тело (плат­форма с массой т) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вооб­ще был бы невозможен. При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального а_n и касательного a_t.

 

 

Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная.

 

 

При равномерном движении по дуге всегда возникает нормаль­ное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги.

 

 

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к ак­тивно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к ма­териальной точке, становится уравновешенной, и можно при реше­нии задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равнове­сии:

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера

1. Составить расчетную схему.

2. Выбрать систему координат.

3. Выяснить направление и величину ускорения.

4. Условно приложить силу инерции.

5. Составить систему уравнений равновесия.

6. Определить неизвестные величины.