Тема 9. Общее равновесие и благосостояние

1*. Иван Иванович и Петр Петрович делят между собой 20 кг яблок и 30 кг груш. Функция полезности Ивана Ивановича U(x,у) = XY; функция полезности Петра Петровича — U(x,у) = XY², где Х — количество яблок, кг; Y — количество груш, кг. Постройте (схематично) кривую контрактов и кривую возможных полезностей.

 

2. Ограниченное число ресурсов (капитала — 50 единиц; труда — 100 единиц) распределяется между производством продуктов А и В. Зависимость выпуска продукта А от объема использования труда и капитала описывается производственной функцией Q_a = К^0,5L^0,5, зависимость выпуска продукта В — Q_b = К^0,2L^0,8. Постройте (минимум по трем точкам) кривую производственных контрактов.

 

3. Функции полезности двух потребителей, участвующих в распределении двух благ Х и У, задаются формулами: U₁ = ХУ и U₂ = Х + Y. Количество товара Х, распределяемое между этими потребителями, составляет 10 шт., количество товара Y — 20 шт. Первоначально цены товаров: Х — 2 доллара за шт.; У — 3 доллара за штуку. Первоначальное распределение благ между потребителями таково, что первый потребитель имеет 5 штук товара Х и 12 штук товара У; второй соответственно 5 шт. товара Х и 8 шт. товара Y. Определите: а) будет ли первоначальный набор оптимальным по Парето. б) в каком направлении должны меняться цены товаров, чтобы распределение благ изменялось в направлении Парето-оптимального?

 

4. Рассмотрим экономику Робинзона Крузо, располагающего трудом в объеме 450 часов в месяц. Робинзон Крузо производит два товара — картофель и рыбу.

Объем производства картофеля зависит от объема использования труда как Х = (L_x)^1/2, объем производства рыбы — от объема использования труда как Y = (L_y)^1/2, где Х — количество картофеля, в кг, Y — количество рыбы, в кг, L_x — труд, затраченный на выращивание картофеля, L_y — труд, затраченный на ловлю рыбы. Функция полезности Робинзона Крузо U (Х, У) = ХУ.

а)Найдите оптимальное распределение времени между производством рыбы и картофеля, если Робинзон Крузо лишен контактов с мировой экономикой.

б) Ответьте на вопрос а при условии, что Робинзон Крузо может продавать и покупать на мировом рынке неограниченное количество картофеля и рыбы по цене: картофель — 0,5 долл. за килограмм, рыба — 1,5 долл. за килограмм. Получает ли Робинзон Крузо выигрыш от участия в международной торговле?

5. В экономике производятся товары А и В.

а) Чему равны равновесные цены этих товаров P_A и Р_B, если их функции спроса и предложения имеют вид:

Q^D_A = 32 + 2 P_B - 3 P_A ; Q^S_A = -10 – P_B + 2 P_A ;

Q^D_B = 44 + P_A – 2 P_B; Q^S_B = -5 – 0,5 P_A + P_B ?

б) Вернется ли система в равновесное состояние, если цены на товары станут соответственно равны: P_A = 27, Р_B = 30?

6. В экономике производятся товары А и В.

а) Чему равны равновесные цены этих товаров Р_A и Р_B, если соответствующие функции спроса и предложения имеют вид:

Q^D_A = 8 + 3 P_B - 2 P_A ; Q^S_A = 10 – 2 P_B + P_A ;

Q^D_A = 14 + 2 P_A – P_B; Q^S_B = 17 – P_A + 0,5 P_B ?

б) Вернется ли система в равновесное состояние, если Р_A = 1,5; Р_B = 1,2?

 

7.В экономике с двумя субъектами А и В и с двумя благами Х и Y, функция полезности субъекта А имеет вид: U_A = X_AY_A, а функция полезности субъекта В имеет вид: U_B = Х_B + Y_B + Х_BУ_B. Начальные запасы благ каждого субъекта определяются набором: w_A = (Х = 10; Y = 0), w_B = (Х = 0; Y = 10).

Определите:

а) функцию предложения субъектов А и В;

б) общее равновесие в условиях совершенной конкуренции.

 

8. Экономика состоит из двух субъектов А и В с двумя товарами: Х и У. Кривые безразличия субъектов соответственно имеют вид:

U_A = X_AY_A + X_A + 2 Y_A;

U_B = X_BY_B2 + 2 X_B + Y_B.

Первоначальные запасы равны:

w_A = (w_AX, w_AY) = (20, 20);

w_B = (w_BX, w_BY) = (40, 20).

Определите:

а) функцию предложения субъектов;

б) общее равновесие экономики обмена;

в) контрактную кривую и функцию, которая определяет MRS агентов в точке на такой кривой.

 

9. Вычислите коэффициент Джини, примерно отражающий общемировое неравенство доходов, если ВВП развивающихся стран, в которых проживает 80% населения Земли, в сумме составлял только 20% общемирового продукта (заметим, что это соотношение держится уже много лет, по данным Всемирного банка).

 

10.* В некотором царстве, в некотором государстве бедных было 70%, и они владели 40% совокупного дохода, а богатых— 30%, и они владели оставшимися 60%. Найти коэффициент Джини.

 

11. Вычислить коэффициент Джини на основании следующих статистических данных:

Таблица 9.1.

% получаемых совокупных доходов
% домашних хозяйств

 

12. В небольшом королевстве (например, датском) проживает 10 человек, которых зовут: А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J. Их ежемесячный доход составляет соответственно 120; 300; 50; 250; 80; 500; 200; 600; 400; 350 крон.

Найти: децильный коэффициент.

13. В Волшебном Лесу проживает 4 персонажа: Иа, Винни - Пух, Пятачок и Сова. Доходы Иа составляют 70 ф. ст. в месяц; доходы Винни — 140 ф. ст., Пятачка — 210 ф. ст. имисс Совы — 280 ф.ст.

Необходимо:

а) построить кривую Лоренца и вычислить коэффициент Джини;

б)* построить кривую Лоренца и вычислить коэффициент Джини, при условии, что в населенный пункт прибыл для постоянного проживания известный бизнесмен крошка Ру, чьи доходы составляют 700 ф. ст. в месяц.

Тема 10. Внешние эффекты и общественные блага: роль государства

Внешние эффекты

1. На рынке стали наблюдался отрицательный внешний эффект. Начиная с некоторого момента государство ввело потоварный налог на каждую выпущенную тонну стали. Как это событие отразится на указанных ниже трех рынках: стали, автомобилей и труда автомобилестроителей? Определите причину и покажите на графиках характер изменения спроса и предложения. Для этого постройте на данных графиках новые кривые спроса или предложения.

Рис. 10.1.

2*. На рынке меда наблюдался положительный внешний эффект. Начиная с некоторого момента третьи лица — производители яблок, получающие дополнительные доходы от увеличения производства меда, стали выплачивать производителям меда фиксированную сумму за каждый дополнительно установленный улей.

Как это событие отразится на указанных ниже трех рынках: меда, яблок и труда сборщиков яблок? Определите причину и покажите на графиках характер изменения спроса и предложения. Для этого постройте на данных графиках новые кривые спроса или предложения.

Рис. 10.2.

 

3. Спрос на товар А, производство которого сопровождается отрицательным внешним эффектом, описывается формулой Р = 80 — Q, а предложение — Р = 0,5 * Q — 10. Издержки третьих лиц, не участвующих в производстве и продаже, покупке и пользовании товаром А, составляют 30 долл. на каждую единицу товара.

а) Найти равновесную цену и равновесный объем продаж на рынке товара А.

б) Допустим, что удалось компенсировать третьим лицам ущерб в размере ровно 30 долл. на единицу продукции за счет производителей. Найти новую равновесную цену и новый равновесный объем продаж на рынке товара А.

 

4*. Спрос на товар Б поставляет Q_d = 600 — 20 * Р, а предложение — Q_s = 25 * Р — 300, где Q задано в тысячах штук в год, а Р — цена в рублях. Издержки третьих лиц, не участвующих в производстве и продаже, покупке и пользовании товаром Б, составляют 10 р. на каждую единицу товара.

а) Найти равновесную цену и равновесный объем продаж на рынке товара Б.

б) Допустим, что удалось компенсировать третьим лицам ущерб в размере ровно 4,5 р. на единицу продукции за счет производителей. Найти новую равновесную цену и новый равновесный объем продаж на рынке товара Б.

 

5. Фирма производит клубничное варенье и выбрасывает отходы в реку, что создает отрицательные внешние эффекты. Предельные внешние издержки выращивания клубники имеют вид:

МЕС = 0,00006 Q.

Предельные частные издержки производства клубничного варенья имеют вид:

МРС = 3 + 0,000318 Q.

Спрос (в дукатах) на клубничное варенье имеет вид:

Р = 9 — 0,000282 Q

Определите:

а) объем выпуска и цену варенья при условии, если внешние предельные издержки не принимаются во внимание;

б) объем выпуска и цену варенья при условии, если внешние предельные издержки учитываются.

 

6. Корейская фирма построила на берегу Тихого океана гостиницу. В нескольких километрах от гостиницы уже много лет работает целлюлозно-бумажный комбинат. В связи с этим фирма вынуждена снижать цены на номера в гостинице.

Выпуск первой тонны целлюлозы приводит к дополнительным издержкам гостиницы, равным 5 тыс. вон, а каждой последующей тонны — на 3 тыс. вон больше, чем каждой предыдущей.

Предельные издержки комбината по выпуску 1 тонны целлюлозы составляют 20 тыс. вон, а каждой следующей тонны — на 2 тыс. вон больше, чем каждой предыдущей тонны. Цена целлюлозы составляет 30 тыс. вон за тонну.

Определите:

а) линейную функцию предельных издержек комбината;

б) линейную функцию предельных внешних издержек комбината;

в) линейную функцию предельных общественных издержек;

г) равновесный выпуск комбината;

д) равновесный выпуск комбината после того, как он купил гостиницу; е) налог Пигу;

ж) функцию предельных издержек комбината после введения налога Пигу.

 

7. На берегу озера расположен единственный в стране завод по производству целлюлозы. Функция спроса на целлюлозу задается уравнением Q_d = 1000 — 2 * Р и исчисляется в тысячах тонн в год, где Р — цена тонны в рублях. Импорт целлюлозы запрещен. Полные затраты завода по производству целлюлозы составляют ТС = 2 * Q² — 100 * Q + 20000 в тысячах рублей.

а) Вычислить цену, объем продаж и прибыльзавода по производству целлюлозы без учета загрязнений окружающей среды, наносимых ей производством целлюлозы.

б) Производство целлюлозы наносит ущерб окружающей среде. Ученые считают последствия этого ущерба непредсказуемыми, если не установить очистные сооружения. Очистные сооружения увеличивают совокупные постоянные издержки монополиста на 3000 тыс. р. в год. Как изменится ситуация на рынке целлюлозы при установке очистных сооружений? Вычислить прибыль завода в новых условиях.

в) Предположим, что очистка сточных вод — главного загрязнителя при производстве целлюлозы — требует не только капитальных (в данном случае постоянных и по-прежнему равных 3000 тыс. р. в год) затрат, но и переменных затрат. Для устранения последствий загрязнения приходится тратить 30 р. в расчете на каждую тонну целлюлозы. Как это скажется на рынке целлюлозы? Вычислить прибыль завода в этих условиях.

8. Функция спроса на продукцию фирмы-монополиста задается, уравнением Q_d = 2000 — 4 * Р в тысячах тонн в год, где Р — цена тонны в рублях. Общие затраты без расходов на очистку окружающей среды составляют ТС = Q² — 60 * Q + 31360 в тысячах рублей, а Q — выпуск в тысячах тонн.

а) Какова ситуация на этом монопольном рынке без учета загрязнений окружающей среды, наносимых ей производством монополиста? Найдите прибыль монополиста.

б) Предположим, что для устранения последствий загрязнения приходится тратить 0,5 * Q² тыс. р. в год. Как это скажется на монопольном рынке?

 

9. В России введено платное высшее образование. Спрос на платное образование выражается функцией (млн р.):

Q^D = 40 — 0,5 N,

где N — число готовых платить за образование в тыс. человек;

Предельная общественная выгода высшего образования имеет вид:

MSB = 80 — 0,5 N

Общие издержки вуза по подготовке специалистов с высшим образованием имеют вид:

ТС=10N+N ²

Определите:

а) величину внешних выгод обучения 1 тыс. студентов;

б) число студентов, соответствующее максимуму полезности молодежи;

в) число студентов, соответствующее максимуму общественной полезности;

г) размеры платы за обучение и дотацию Пигу на 1 тыс. студентов, соответствующие максимальной общественной полезности высшего образования.

10. Университеты получают маржинальную выручку МРВ = 490- 4 х Q, где Q – задан в тысячах выпускников в год. На подготовку одного студента университеты в среднем тратят ТРС = 2 + 10 х Q (тыс. долл.). Внешний положительный эффект от деятельности выпускников университетов в год составляет ТЕВ = 40 х Q.

а) Найти количество выпускников (Q₁) и стоимость обучения в год (Р₁)

б) Вычислить оптимальные с позиций всего общества количество выпускников университетов в год (Q₂) и годовую стоимость подготовки одного студента (Р₂).

в) Определить совокупный выигрыш от положительного внешнего эффекта.

г) Найти величину корректирующей субсидии (s) на одного студента и сумма корректирующей субсидии (S).

11. Производители тратят на выпуск Q единиц продукции средства, заданные функцией ТРС = 3 + 5 х Q + 0,25 х Q², выраженные в тысячах долларов. Внешний положительный эффект от выпуска Q единиц продукции выражен функцией ТЕВ = 6 х Q. Спрос на продукцию выражен функцией Q_d=100 – 2 х Р.

а) Найти выпуск продукции (Q₁) и цену (P₁) до учета внешнего эффекта.

б) Вычислить оптимальные, с позиций всего общества, объем выпуска (Q₂) и цену (Р₂).

в) Определить совокупный выигрыш от положительного внешнего эффекта.

12. Предположим, частные предельные издержки производства цемента описываются функцией МРС = 4Q, а внешние предельные издержки производства цемента – функцией МЕС =2Q. Функция спроса на цемент задается как Р = 420 – Q. На сколько рыночный объем производства цемента превысит общественно оптимальный объем при совершенной конкуренции на рынке цемента и при монополии?

 

Общественные блага

1. На окраине в переулке проживают две семьи. Спрос первой семьи на освещение переулка Q^D₁ = 10 — Р, а спрос второй семьи соответственно Q^D₂ = 10 — 2P. Предельные издержки на производство электроэнергии равны 5 д. е.

Определите:

а) функцию спроса на освещение переулка и изобразите данную функцию графически;

б) общественно оптимальный объем освещения переулка;

в) постройте график функции спроса на освещение, для случая, если бы освещение было чисто частным благом, и сравните с графиком освещения как чисто общественного блага.

 

2*. В обществе имеется всего 2 индивида. Спрос первого индивида на освещение улицы, выраженный в ежедневных затратах электроэнергии (кВт-ч), равен 10-Р, а спрос второго индивида на это общественное благо равен 10-2Р, где Р – цена одного кВт-ч электроэнергии (руб). Предельные издержки на производство электроэнергии неизменно равны 4 руб./кВт-ч. Найдите:

а) суммарную функцию спроса на освещение улицы;

б) общественно оптимальный объем освещения улицы.

3. Чистое общественное благо А потребляют три группы потребителей, спрос которых задан формулами: Q₁ = 110 — Р_1, Q₂ = 160 — 4 х Р_2, Q ₃ = 120 — 2 х Р_3, где Q_i — объем потребления блага каждым индивидом i -той группы, а Р_i— предельная цена, которую согласна платить вся i -тая группа в целом.

a) Вычислить спрос на общественное благо.

б) Допустим, что производители общественного блага обеспечивают предложение на уровне Q_s = 4 х Р — 40. Вычислить объем потребления блага и цену, которую за это будет платить общество. Определить, каким будет вклад в эту суммарную цену каждой группы потребителей 'при возможности заставить потребителей платить свою цену.

в) Предположим, что в таблице 10.1. заданы доходы и численность каждой группы потребителей:

Таблица 10.1.

Показатель	Группа 1	Группа 2	Группа 3
Количество потребителей
Доход одного потребителя

 

Какую единую ставку подоходного налога надо будет установить, чтобы обеспечить финансирование потребления блага А? Сколько будет платить налогов каждая группа?

г) Можно ли разработать систему прогрессивного налогообложения для того, чтобы взнос каждой группы в точности обеспечивал ее спрос на благо А?

4*. Чистое общественное благо Б потребляют три группы потребителей, обратные функции спроса которых заданы формулами: Р₁ = 320 — 3х Q, Р₂ = 250 — 2х Q, Р₃ = 180 — Q, где Q_i — объем потребления блага каждым индивидом, а Р_i — предельная цена, которую согласна платить вся i -тая группа в целом.

а) Допустим, что производители общественного блага обеспечивают предложение на уровне Q_s = 1/3 х Р + 50. Вычислить объем потребления блага и цену, которую за это будет платить общество. Определить, каким будет вклад в эту суммарную, цену каждой группы потребителей при возможности заставить потребителей платить свою цену.

б) Предположим, что в таблице 10.2. заданы доходы и численность каждой группы потребителей:

Таблица 10.2.

Показатель	Группа 1	Группа 2	Группа 3
Количество потребителей
Доход одного потребителя

 

Какую единую ставку подоходного налога надо будет установить, чтобы обеспечить финансирование потребления блага Б? Сколько будет платить налогов каждая группа?

в)Можно ли разработать систему прогрессивного налогообложения для того, чтобы взнос каждой группы в точности обеспечивал ее спрос на благо Б? Что можно сделать еще для более справедливого обеспечения общественным благом Б?

5. Предположим, автовладельцы решили установить освещение автостоянки, на которой они паркуют свои автомобили. Спрос на освещение (Q – количество фонарных столбов) каждого автовладельца задается как Q = 64 – Р.

а) Какое количество фонарных столбов будет оптимальным для данной автостоянки, если цена одного столба составляет 1800 руб., а на стоянке паркуется 30 автомобилей?

б) Какой будет величина затрат и выгод для автовладельцев?

 

Провалы государства

1. На рис. 10.3. показано распределение голосов. Используя этот рисунок, попытайтесь ответить на следующие вопросы:

Либералы А В С D E F G Консерваторы

Рис. 10.3.

а) На выборах представлены всего два кандидата, и один из них выбирает позицию В, а другой – D. Определите процент голосов, которые каждый из них получит.

б) Если два кандидата нанимают позицию G, а третий позицию А, кто тогда победит на выборах?

 

2. На рис. 10.4. показано распределение политических симпатий избирателей. В стране действуют три партии: партия Мартышкина (М), партия Ослова (О) и партия Козлова (К). Молодой беспринципный политик Косолапо-Мишкин решил основать новую партию. Какую идейную платформу он выберет для своей партии из вариантов А, В и С (позиция С совпадает с позицией партии Ослова)?

 

 

Рис. 10.4.

 

3. На рис. 10.5. представлены кривые спроса и предложения товара А.

 

 

Рис. 10.5.

 

В настоящее время в отрасль входит 100 фирм. Отрасль конкурентна, цена товара равна 30 долл., объем выпуска — 3,0 млн. долл. Предположим, что фирмы хотели бы организовать лобби и создать картель. Представители фирмы подсчитали, что на создание лоббистской группы и принятие законопроекта потребуется 160 тыс. долл. в год для каждой фирмы.

а)Какую прибыль получит отрасль, если она будет продавать свой товар по цене 40 долл.?

б) Какую прибыль получит каждая фирма?

в) Выгодно ли для фирм образование картеля?

 

4. Все избиратели сгруппированы в три одинаковые по величине группы: молодежь, люди средних лет и пожилые. Распределение их симпатий между тремя кандидатами в президенты показано в таблице 10.3. (в %).

Таблица 10.3.

	Молодежь	Люди средних лет	Пожилые
Зюзин
Павлинский
Дубов

 

а)Кто победит при принятии решения простым большинством голосов?

б) В какой степени каждая возрастная группа будет удовлетворена таким выбором? Изменилось ли что-либо, если бы выборы проходили по двухступенчатой системе?

в) Чья победа была бы наиболее вероятна, если бы можно было применить логроллинг?

5. Теорию общественного выбора относят к неоинституциональному направлению экономической теории. Каковы черты сходства и различия между "public choice" и классическим институционализмом?

 

6. Три бизнесмена — Бедных, Серединкин и Богатов — решают вопрос, сколько нанять охранников для охраны дома, в котором расположены офисы их фирм. Зарплата каждого охранника составляет 1,5 млн. руб. в месяц. В таблице 10.4. указано, как будет изменяться общая выгода при усилении охраны. Какое решение примут бизнесмены, если Богатов будет получать 60% общей выгоды, Серединкин — 20 и Бедных — 20%? Сколько будет нанято охранников при условии:

а)равного участия всех бизнесменов в оплате охраны;

б) участия, пропорционального размерам получаемой выгоды?

Таблица 10.4.

Число охранников
Общая выгода (млн.руб. в мес.)				14,5	15,5

 

7. На рисунке показаны кривые спроса и предложения спагетти. Конкурентная цена соответствует В, а выпуск — G. Предположим, что производители спагетти смогли добиться от правительства разрешения на создание картеля. В таком случае картельная цена товара была бы равна А, а объем — Н, производители же спагетти получали бы прибыль за счет как покупателей, так и поставщиков ресурсов, необходимых для производства спагетти. Используя рис. 10.6., покажите:

Рис. 10.6.

 

а)какая площадь соответствует выгоде, полученной производителями спагетти, а какая — убыткам потребителей?

б) каковы максимальные расходы на лоббизм, которые могут себе позволить в этих условиях Национальная ассоциация продавцов спагетти и Союз защиты интересов потребителей спагетти? Чье лоббистское давление окажется сильнее?

 

8. Принятие коллективного решения включает два вида издержек. Первый вид (А) — издержки процесса принятия законов. Он связан с величиной населения, требуемой для принятия закона. В — это издержки общества по принятию закона. По мере увеличения процента населения, требуемого для того, чтобы законопроект был принят, издержки В падают.

 

Таблица 10.5.

Процент населения
Издержки А (долл.)
Издержки В (долл.)

 

Определите общие издержки. На графике, где вертикальная ось — издержки, а горизонтальная — процент населения, покажите кривые издержек А и В и общие расходы. Укажите оптимальный процент голосов, необходимый для того, чтобы был принят закон.

 

9. На рисунке 10.7. показано распределение симпатий избирателей и партийные платформы перед президентскими выборами,

(ЛР — левые радикалы, Ц — центристы, ПР — правые радикалы). Если в 1-м туре выборов ни один из партийных лидеров не получит абсолютного большинства голосов, то между двумя претендентами, набравшими наибольшее число голосов, проводится 2-й тур. Во 2-м туре победит тот, кто наберет большее число голосов, если число поданных за него голосов больше числа голосов, поданных против обоих кандидатов. Кто победит, если избиратели голосуют за тех:

а)чья позиция им наиболее близка?

б) чья позиция отличается от их позиции на более чем 10 пунктов?

 

 

Рис. 10.7.

 

10. Трем группам избирателей предложено осуществить выбор по поводу трех программ X, Y, Z. каждая из групп присваивает указанным программам свой рейтинг (1, 2, 3). Покажите смысл «парадокса голосования», или закона Кондорсе, если расположение возможных комбинаций и порядок голосования следующий (указан внизу таблицы 10.6.):

Таблица 10.6.

	1 группа	2 группа	3 группа
X
Y
Z

 

1 тур голосования: выбор между X и Y, каков будет результат?

2 тур голосования: выбор между Y и Z, каков будет результат?

3 тур голосования: выбор между X и Z, каков будет результат?

 

11. Спрос на обслуживание сети кабельного телевидения выражается как Р = 120 – Q, где Р – цена, а Q – число абонентов. Ежегодные издержки эксплуатации сети составляют 200 денежных единиц. Три фирмы подали заявку на получение лицензии по обслуживанию городской сети кабельного телевидения. Какую максимальную величину средств готов потратить каждый заявитель на лоббирование, если соглашение между ними невозможно, а обладатель лицензии получит монопольное право на оказание услуги и установление любой цены за предоставление?

Раздел 2. Макроэкономика