Понятие пропорции в архитектуре. Виды пропорциональных отношений.

Пропорция — со­размерность, определенное соотно­шение частей между собой, употребляется в трех основ­ных значениях: 1. соотношение основных параметров формы (длина, ширина, высота), это значение имеют в виду, когда говорят о пропорциях какой-либо отдельно взятой вещи (зда­ния, картины, книги и др.).

2. равенство отношений количественной меры одних и тех же объективных свойств в сопоставляемых формах или их частях ив математической форме записывают как а/в = с/а, следует, что здесь в основе лежит принцип геомет­рического подобия. Пропорцию, средние члены которой равны меж­ду собой, называют непрерывной. Различают два вида отноше­ний — рациональные, которые могут быть выражены каким-либо конечным целым или дробным числом, и иррациональ­ные, которые не могут быть выра­жены конечным числом (например, 2, 3, 5 и т.д.).

3. любая за­кономерность в соотношениях вели­чин, которая связывает отдельные части и параметры формы в единое целое. Таким образом, пропорция в архитектуре есть понятие, отража­ющее однородность (закономер­ность) изменений количественной меры при переходах от одной части формы к другой и к форме в целом.

Виды пропорциональных от­ношений: Арифметическая прогрессия вы­ражается рядом чисел, в котором каждое последующее число больше предыдущего на одну и ту же вели­чину, Н: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., образом кото­рого может служить обычная мер­ная линейка. По мере возрастания ряда отношения (математические) между соседними членами развива­ются от контрастных к нюансным, приближаясь в пределе к равенству (сравните, например, 1/2 и 999/1000).

Гармоническая прогрессия — это ряд чисел обратных ряду чисел арифметической прогрессии, напри­мер: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7. Она лежит в основе музыкального строя, так как всю музыкальную гамму можно получить, прижимая струну в точках, отстоящих от кон­ца на рациональное кратное перво­начальной ее длине. Отношения (математические) между соседними членами гармонического ряда по мере его возрастания так же, как в арифметической прогрессии, из­меняются от контрастных к нюанс­ным.

Геометрическая прогрессия - ряд чисел, в ко­тором каждое последующее числе больше (или меньше) предыдущего в одно и то же число раз. Напри­мер: 1, 2, 4, 8, 16,...: 1, 1/2, 1/4 1/8, 1/16. Отношение между соседними членами геометрического ряда на всем его протяжении остается постоянным, равным знаменатель прогрессии. Ряды чисел могут быть получе­ны и на основе других, более или менее сложных закономерностей. Например, существуют ряды, каж­дый член которых равен предыду­щему, возведенному в какую-либо степень (квадрат, куб и т.д.). Одна­ко излишне контрастные отноше­ния смежных членов таких рядов препятствуют их применению для гармонизации формы.

Широко используются в архи­тектуре аддитивные ряды, постро­енные на суммировании чисел. На­пример, в ряде чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... (ряд Фибоначчи) каж­дый последующий член, начиная с 3-го равен сумме двух предыду­щих. Отношение между смежными членами — такого ряда, начиная с 5-го члена, практически постоянно и равно 1,62.

Замечательным свойством ариф­метического, гармонического и гео­метрического рядов является то, что каждое из чисел представляет собой соответственно среднее ариф­метическое, среднее гармоническое и среднее геометрическое предыду­щего и последующего членов, поэтому числа арифметическо­го, гармонического и геометриче­ского рядов называют средними числами. Наиболее известным рядом средних чисел является так называемое от­ношение золотого сечения.

Особенности пропорциональных систем тесно связаны со способами строительства и измерения, кото­рые применялись архитекторами той или иной эпохи (Н: "священного еги­петского треугольника" с соотноше­нием сторон 3:4:5; Египет-система пропорционирования на основе вписанных квадратов да­вала геометрический ряд с отноше­нием 1:√2, в котором чередовались иррациональные и целые простые числа; Греция-система вписанных равносторонних треугольников – эти системы пропорционирования являются геометри­ческими) Пропор­циональные системы, основанные на числовых (арифметических) приемах согласования частей и це­лого- модуль­ные системы. Простейшим приме­ром модульной системы является масштабная сетка, в которую впи­сываются как общий абрис, так и детали сооружения.

 

13.Что такое «средние числа»? Самый распространенный пример «средних чисел» используемый в ландшафтном искусстве в 17 веке во Франции.

Числа арифметическо­го, гармонического и геометриче­ского рядов называют средними числами, тк каждое из чисел этих рядов представляет собой соответственно среднее ариф­метическое, среднее гармоническое и среднее геометрическое предыду­щего и последующего членов. Так, в арифметической прогрессии 1, 2, 3 число 2 =(3+1)/2; в гармониче­ской прогрессии 1/2, 1/3, 1/4 число 1/3 = 2/(2+4); в геометрической прогрессии 1, 2, 4 число 2 = 1x4/2. Средние числа служат, как сред­ства достижения гармоничных со­отношений.

Наиболее известным рядом средних чисел является так называемое от­ношение золотого сечения. Термин "золотое сечение" был введен Лео­нардо да Винчи для известного еще пифагорейцам описанного Эвклидом деления отрезка в так называе­мом "крайнем и среднем отноше­нии", при котором большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью. Если дли­ну отрезка принять за единицу, то его части будут выражаться ирра­циональными числами X = 0,618, а — х = 0,382. На основе этих чи­сел может быть получен геометри­ческий ряд... — 0,146 — 0,236 — 0,382 — 0,618 — 1 — 1,618 — 2,618 — 4,236 — 6,854 —..., обна­руживаемый при рассмотрении са­мого широкого круга явлений при­роды, искусства и архитектуры. Золотое сечение выражают обычно числом 1,618 или обратным ему числом 0,618, для которых по предложению Т.Куба и М.Бара приняты символы Ф и 1/Ф. Эти числа являются знаменателями возрастающего (Ф) и убывающего (1/Ф) рядов золотого сечения.. Ин­тересной особенностью этих чисел является их способность при сложе­нии с единицей (для Ф) и при вы­читании из единицы (для 1/Ф) да­вать квадраты самих себя, т.е. 1 + Ф =Ф²_; 1 -1/Ф = (1/Ф)². Золотое сечение — это единственная геомет­рическая прогрессия, обладающая признаком аддитивного ряда (Ф₃ = Ф₁ + Ф₂).

 

Траида золотого сечения, которая представлена соотношением 1: Х = Х: (1 - Х), где 1 – это длина отрезка, Х – величина одной его части, (1 – Х) - величина другой части (рис. 18).

Рисунок 18. Деление отрезка в соотношении золотого сечения

Из этого соотношения следует, что Х =0,618, а (1- Х) =0,382. При делении отрезка по принципу золотого сечения на большее число фрагментов, складываются соотношения, приведённые в таблице 1.

Таблица 1. Соотношение частей при делении прямой на разное число отрезков (в «золотой пропорции»)

Число отрезков	Соотношение частей
	0,618	0,382	-	-	-	-	-
	0,500	0,309	0,191	-	-	-	-
	0,447	0,273	0,171	0,106	-	-	-
	0,420	0,260	0,160	0,099	0,061	-	-
	0,405	0,250	0,154	0,096	0,059	0,037	-
	0,395	0,244	0,151	0,094	0,058	0,036	0,022