Аксиоматическое построение силлогистики.

10 аксиом Тклв – основа. +4

SaS – закон общего

Sis – закон частного

(MaP & SaM)→SaP – modus Barbara

(MaP & MiS)→SiP – modus Datisi

 

SePdef = ~SiP – общеотрицательное

SoPdef=~Sap – частноотрицательное

 

Можно доказать: все отношения по логическому квадрату, чистые обращения, все правильные 24 модуса, все правильные modus и пр.

 

Пример:

|-SaP→Sip

(Sap & SiS) →SiP

(SiS & SaP) →SiP (коммутативность конъюнкции)

SiS→(SaP→SiP) (правило экспортации) (A&B)→C

A→(B→C)

SiS -2 аксиома

(SaP → SiP) – m.p.

 

Силлогистика и логика предикатов.

Эта система обладает свойствами:

Непротиворечивость – не выводятся внешние отрицания

Система полна

Система разрешима

Независимость построения частичных силлогистик

 

Соотношение силлогистики с логикой предикатов:

SaP ≡ Vx (S(x) → P(x))

Sip ≡ Ex (S(x) & P(x))

SeP ≡ Vx (S(x) → ~P(x))

SoP ≡ Ex (S(x) & ~ P(x))

 

Все золотые горы – золотые

Все золотые горы – горы

Существуют золотые горы

 

SaP→SiP –закон подчинения силлогистики

|- Vx (S(x) →P(x)) →Ex(S(x) &P(x)) – не закон

Vx (S(x) →P(x)) – допущение

S(a)→P(a)

Ex S(x) –допущение

S(a) – ограничение А

P(a) – m.p. ограничения А

S(a)&P(a)

Ex (S(x)&P(x))

Правило дедукции

Не доказали формулу обоснования только при наличии второго допущения – экзистенциональное допущение.

SaP ≡ Ex S(x) & V(x)(S(x)→P(x))

SiP ≡ Ex (S(x) & P(x))

SeP ≡ Vx (S(x)→~P(x))

SoP ≡ Vx S(x) v Ex (S(x)&~P(x))

 

Силлогистика и метод аналитических таблиц

Кроме приведенных способов доказательства правильности модусов простого категорического силлогизма, применяют еще и метод аналитических таблиц. Осо­бенно этот метод становится эффективным при переводе силлогистики на язык логики предикатов. Дело в том, что существует важное отличие аристотелевской силлогистики от классической логики предикатов. В последней допускаются пре­дикаты, объем которых не содержит ни одного элемента (т.е. представляет пустое множество). Силлогистика же не предусматривает существования пустых терми­нов. Поэтому не всякое выражение логики предикатов, претендующее на выраже­ние правильного модуса силлогистики, будет общезначимым.

Чтобы применить метод аналитических таблиц для проверки правильности мо­дусов силлогистики, сформулированных в языке логики предикатов, необходимо в дополнение к аналитическим правилам для логических терминов, используемых в логике высказываний, ввести по два аналитических правила для каждого квантора.

Правильное умозаключение традиционной логики может оказаться некоррект­ным при, казалось бы, интуитивно приемлемом переводе его в логику предикатов.

15. Общая характеристика понятия. Объем и содержание понятия. Классификация понятия. Род, вид, видовое отличие.

Понятие – мысль, в которой предметы определенного класса выделяются и обобщаются с помощью системы признаков, присущих всем предметам данного класса и только этим предметам.

Признак – наличие или отсутствие у предмета некоторого свойства или отношение к другому предмету.

Существенный признак – такая сторона, черта, особенность предмета, которая необходимо ему присуща, лишившись которой он перестает быть самим собой, становится иным предметом.

Несущественный признак может приобретаться или теряться предметом, но это никак не влияет на его существование в качестве данного предмета.

 

Логическую структуру понятия составляют его содержание и объем.

Объем понятия – совокупность (класс) предметов, обобщаемое понятием.

Содержание понятия – совокупность существенных признаков, посредством которых предметы выделяются из универсума и обобщаются в классы.

Род (универсум рассуждения) – множество, из которого выделяется класс предметов, обобщаемых в понятии.

Видовое отличие – признаки, выделяющие объем понятия из универсума рассуждения.

Элемент объема – предметы, входящие в класс, мыслимый в понятиях.

Часть объема понятия – не пустое множество, отличающиеся от объема понятия и являющиеся его подклассом.

Виды понятий.

По объему (по количеству) все понятия можно разделить на три вида:

а) общие, в объем которых входит несколько (два и более) предметов, - "стол", "дом", "химический элемент" и т. п.;

б) единичные, в объем которых входит один-единственный предмет, - "первый космонавт", "столица Франции", "Луна" и т. п.; единичные понятия выражаются в зыке именами собственными или эквивалентными им выражениями;

в) пустые (нулевые), в объем которых не входит ни одного реально существующего предмета,- "кентавр", "русалка", "человек, побывавший на Марсе", и т. п.

По содержанию (по качеству) понятия разделяются на следующие группы:

а) Конкретные и абстрактные. Конкретными называют понятия, содержание которых говорит о том, что в их объем входят некоторые объекты, предметы, самостоятельно существующие сущности, например, "человек", "буря", "дом" - объемы этих понятий включают в себя людей, явления природы, дома. Все это - целостные, автономные объекты. Абстрактными называют понятия, объемы которых включают в себя некоторые свойства предметов или отношения между ними. (синий, тождество)

б) Относительные и безотносительные. Относительными называют такие понятия, содержания которых взаимно предполагают существование друг друга, грубо говоря, это понятия, существующие только в паре. Например, "правое-левое", "верх-низ", "ученик-учитель" и т. п. Безотносительные понятия – в содержание входят признаки, не предполагающие отношение выделяемых предметов к другим предметам (студент, получающий стипендию)

в) Положительные и отрицательные. По способу задания признаков. Положительные понятия отображают свойства, присущие предметам, например, "высокий", "алчный", "желанный". Отрицательные понятия отображают свойства, отсутствующие у предмета, например, "неграмотный", "бескорыстный", "нежеланный". Следует, правда, обратить внимание на то, иногда слова, включающие в себя отрицательные частицы "не" или "без" ("бес"), выражают положительные понятия, т. е. отображают некоторые присущие предметам свойства: "ненависть", "неряха", "беспечный" и т. п.

г) Собирательные и несобирательные (разделительные). В собирательных понятиях некоторое множество, состоящее из однородных предметов, мыслится как единое целое, например, "стадо", "флот", "лес", "созвездие" и т. п. Эта целостность проявляется в том, что многие свойства совокупности предметов принадлежат ей как целому, но не принадлежат составляющим ее предметам. Несобирательные – элемент объема, некий отдельный предмет, который мыслится как единое целое.

 

 

Отношения между понятиями.

Отношения между понятиями:

Сравнимыми считаются понятия, которые имеют общие признаки, т.е. имеют общее родовое понятие (желтый - зеленый, токарь - станочник, студент - школьник и т.п.).
Несравнимые понятия не имеют общих признаков (атом - малярия, климат - лошадь и т.п.), т.е. отсутствует общее основание для их сравнения.
Сравнимые понятия делятся на совместимые и несовместимые. Совместимыми называются понятия, объемы которых имеют общие элементы; объемы несовместимых - не имеют общих элементов.
Отношения между объемами понятий принято изображать с помощью круговых схем (кругов Эйлера): мы рисуем кружок, в центре которого пишем какую-то "букву - А, В, С… Кружок с буквой, скажем, А, схематично представляет объем понятия А.

 

Виды совместимости:

1) РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВО). В отношении тождества находятся такие понятия, объемы которых полностью совпадают
Москва (А), Столица России (В)
или
Сын (А), Внук (В)
Объемы понятий "сын" и "внук" совпадают (каждый сын есть чей-то внук и каждый внук - чей-то сын), но содержание различно

2) ПЕРЕСЕЧЕНИЕ. В отношении пересечения находятся понятия, объемы которых совпадают лишь частично.
Студент (А)
Спортсмен (В)

Существуют спортсмены, не являющиеся студентами. Есть студенты не занимающиеся спортом, но имеются спортсмены одновременно являющиеся студентами

3) ПОДЧИНЕНИЕ. В отношении подчинения находятся такие понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого (при этом понятие с большим объемом (родовое) называется подчиняющим, понятие с меньшим объемом (видовое) - подчиненным).
Человек (А)
Студент (В)

Виды несовместимости:

1) СОПОДЧИНЕНИЕ. В отношении соподчинения находятся два или более непересекающихся понятий, принадлежащих общему родовому понятию.
Деревья (А)
Сосна (В)
Береза (С)

2) ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ. В отношении противоположности находятся понятия, которые являются видами одного и того же рода, при этом одно из них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки отрицает и заменяет противоположными признаками (объемы понятий А и В в объеме родового понятия занимают наиболее удаленные части).
Цвет (А)
Черный (В)
Белый (С)

В сумме объемы противоположных понятий не исчерпывают объем родового понятия. Эти понятия можно рассматривать как соподчиненные.

3) ПРОТИВОРЕЧИЕ. В отношении противоречия находятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, не заменяя их никакими другими признаками
Виновный (А)
Невиновный (не-А)
(здесь родовое понятие - "человек")