а)Кездейсоқ шамалардың берілген аралықта мен қабылдау ықтималдығы.

1.Берілген интервал бойынша үздіксіз кездейсоқ шаманың мән қабылдау ықтималдығы.

Теорема. Х үздіксіз кездейсоқ шамасы (а,b) интервалында мән қабылдаса, онда үлестіру тығыздығының а-дан b-ға дейінгі анықталған интегралына тең

Дәлелдеуі.P(a ≤ x < b)=F(b) – F(a) теңдігін пайдаланамыз. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша

         

P(a ≤ X < b)=

Ал P(a ≤ x < b)= болғандықтан мына теңдікті аламыз

2.Көрсеткішті үлестірудің берілген интервалдан мән қабылдау ықтималдығы.

Х үздіксіз кездейсоқ шаманың (а,b) интервалдан мән қабылдау ықтималдығын берілген үлестіру бойынша табамыз

(x ≥ 0)

Ол үшін мына формуланы пайдаланамыз

P(a < X < b)=F(b) – F(a).

Мұнда ,  екенін ескеріп, кездейсоқ шаманың (а,b) интервалдан мән қабылдау ықтималдығын аламыз:

P(a < X <b) = e^-λa – e^-λb.

3.Қалыпты кездейсоқ шаманың берілген интервалдан мән қабылдау ықтималдығы.

Теорема.Қалыпты заңымен үлестірілген кездейсоқ шаманың (α,β) интервалында болу ықтималдығы мына формуламен анықталады:

P(α < х <β)= (*)

Дәлелдеуі.Қалыпты үлестіру заңы бойынша (α,β) интервалында мән қабылдау ықтималдығы мынаған тең:

P(α < х <β)= десек, осыдан x= σz+a; dx=σdz.

Егер x=α, онда Егер x=β, онда

P(α ≤ х <β)=

Лаплас функциясы бойынша Φ(x)=  Сонда

P(α < х <β)= .

в)Анықтама. Егер Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы

теңдігі арқылы анықталса, онда Х кездейсоқ шамасы көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп атайды.

Үлестірім функциясын табатын болсақ

Енді математикалық үмітін есептейік:

 бөліктеп интегралдаймыз

U=x,

du=dx

=

Дисперсияны есептеу үшін M(x²) мәнін табамыз

Дисперсияның мәнін Д(х)=М(х²)-М²(х) формуласымен есептесек

Бұдан көрсеткіштік үлестірім заңы үшін

 

с) Анықтама. Егер үздіксіз кездейсоқ шама мына үлестіру тығыздығы

арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестіру заңыменберілген дейді.

Қалыпты үлестіру екі параметр арқылы анықталатынын көреміз:

a және σ

Бұл параметрлердің мағынасы мынадай:

а) а – математикалық үмітке тең, яғни M(x)=a

б) σ – қалыпты үлестіруі орташа квадраттық ауытқуына тең σ(х)=σ.

Енді осыларды дәлелдейік.

а) Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің анықтамасы бойынша

Жаңа айнымалы енгізейік: . Осыдан x=σz+a, dx=σdz.

 - бұл Пуассон интегралы бойынша.

Қалыпты үлестірудің математикалық үміті а параметріне тең:

М(х)=а.

б) Үздіксіз кездейсоқ шама дисперсиясының анықтамасы бойынша

М(х)=а екені белгілі. Жаңа айнымалы енгізейік: . Осыдан x-a=σz, dx=σdz.

Интегралды табамызда ν=z, dν=  қойсақ, онда табамызD(x)=σ², σ(x)=