Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Коши теоремасы

Мысал

у'+2у=е ^х у ² - Бернулли теңдеуін шешу керек.

Шешуі  + e^x → у'y^-2+2y^-1= e^x→ Z=y^-1→z^'=-y^-2у' → -z'+2z= e^x

z '-2z=- e^x немесеz '-2z=0-біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеу

=2z→ dz=2zdx→ =2dx→ = 2 →lnz=2x+lnc→ lnz=lne^2x+lnc→ lnz=lne^xc→z=ce^2x Енді тұрақты с-ны қандайда бір х-қа тәуелді функция деп аламыз,яғни c=t(x)→z=te^2x=(te^2x)'=t'e^2x+2te^2x→ z '-2z=- e^x → t'e^2x+2te^2x=-e^x→ t'e^2x=- e^x →

e^2x=-e→ e^2xdt=-t^xdx→dt=- dx→dt=-e^-xdx→ =-e^-xdx→t=e^-x+C₁

Z=( e^-x+c₁)e^2x= e^x+c₁e^2x→y^-1= e^x+C₁ e^2x→1/y= e^x+C₁e^2x→y= .

 

8.Толық дифференциал түріндегі бірінші ретті диф-қ теңдеулер. Толық дифференциал түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

 

 

С) (x+y)dx+xdx=0

     P(x,y)=x+y           

     Q(x,y)=x                 

P`y=1                          y’=u’x + u

Q`x=1                         1+u + u’x+u=0

P`y=Q`x                      u’x+1+2u=0

U(x,y)=∫(x+y)dx+ϕ(y)         Осындай әдіспен де шешуге болады.

U(x,y)=x²/2 +xy+ ϕ(y)

X+y(y)=x

ϕ`(y)=0

ϕ(y)=0

U(x,y)=x² /2 + xy+C

(x² /2 + xy+C) / xdx=1+

u=y/x

 

Мысалыe^-ydx+(1-xe^-y)dy=0теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Берілген жағдайда P(x,y)= e^-y, Q(x,y)=1- xe^-y болғандықтанP’_y=- e^-y,Q’_x=e^-yяғниP’_y=Q’_x . Сондықтан берілген теңдеудің сол жағы кейбірU(x,y) функциясының толық дифференциалы болып,U’_x=e^-y, U’_y=1-xe^-y теңдіктері орындалады. Бұл теңдіктердің біріншісін интегралдасақU(x,y)=ʃe^-ydx+φ(y) немесе U(x,y)=xe^-y+ φ(y), мұндағы φ(y)кез келген функция. Шарт бойыншаU’_y=1-xe^-y болу керек, яғни .–xe^-y+φ’(y)=1-xe^-y,

φ’(y)=1φ(y)=y+c_1.СоныменU(x,y)=xe^-y+φ(y)=

xe^-y+y+c₁. Демек, теңдеудің жалпы шешіміxe^-y+y+c₁=c₂ немесеxe^-y+y=c, мұндағыc=c₂-c₁

 

1. Жалпы жағдайда   теңдеуді екінші ретті сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы  және   интервалында үзіліссіз функциялар. Ол егер  онда  екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу (9.35), (9.36) теңдеулер арасында   тұрақты мән қабылдайтын жағдайды қарастырамыз, сондықтан     тұрақты сан болсын және  тең болатын болсын, онда (9.36) теңдеу  түрін қабылдайды.

9.37) теңдеуін коэффиценттері тұрақты біртекті сызықты екінші ретті дифференциалдық теңдеу деп атайды. Бұл (9.37) теңдеудің шешімін Эйлер тәсілі бойынша  түрінде іздейміз. Онда   - белгісіз тұрақты сан. (9.38) және (9.39) дифференциалдық (9.37) теңдеуді қанағаттандыруы керек. Сондықтан  теңдеуі шығады. (9.40) біртекті сызықты дифференциалды теңдеуге сәйкес сипаттаушы теңдеу деп аталады.

Егер  теңдеудің шешімі болса, онда екі шешім өз ара сызықты тәуелсіз деп аталады, егер екеуінің қатынасы тұрақты болмаса яғни .

Анықтама. Егер өзара сызықты тәуелсіз (9.37) теңдеудің шешімі болса, онда ол теңдеудің жалпы шешімі  түрінде жазылады. 

1.Егер сипаттаушы теңдеудің   шешімдері әртүрлі және нақты сандар болса, онда (9.37) теңдеудің жалпы шешімі   түрінде жазылады.

 

Y”=f(x) ретін интеграл арқылы төмендетеміз.

Y’=

                                                                                   

Y=