Рассуждение считается правильным, если из истинных посылок не может следовать ложного заключения.

Так как каждая посылка- это высказывание, то оно может быть записано в виде формулы. Следовательно, рассуждение – это последовательность формул. Заключение тоже является формулой. Если , ,…, -это последовательность посылок. а - заключение, то будем писать

, ,…, ^├ ,  или    .  (1)

И будем говорить, что из посылок логически следует заключение.

Нас будет интересовать только форма рассуждения, а не конкретное содержимое каждого высказывания, и на основании анализа формы мы будем делать вывод о том, правильное или неправильное рассматриваемое рассуждение. Если рассуждение признается правильным, то все рассуждения, приведенные по этой формуле, правильны, независимо от того, к какой предметной области они относятся.

     Теорема.Рассуждение (1) правильно тогда и только тогда, когда формула …  – тавтология.  (2)

Доказательство:

Достаточность:

Если (2) -это тавтология, то конъюнкция посылок не может быть равно 0, значит =1, следовательно, рассуждение правильно.

Необходимость:

Если (1) правильно, то из истинности посылок  не может следовать ложного заключения . Это означает, что (2) не может обратиться в 0. Следовательно, (2) – тавтология.

Что и требовалось доказать.

Пример 1: пусть имеется рассуждение

1. Если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.

2. Данный многоугольник правильный.

3. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Введем обозначения:

р - многоугольник правильный.

q - в многоугольник можно вписать окружность.

Посылки: , р. Заключение – q.

Рассуждение принимает вид: , р ^├ q.

Формула, соответствующая этому рассуждению:

() .

 Установим вид этой формулы. Сняв импликацию, получим:

(по законам де Моргана)

(снимая двойное отрицание)

(по второму закону дистрибутивности)

. Это КНФ. Каждая элементарная сумма содержит высказывание со своим отрицанием, значит формула – тавтология.

Следовательно, рассуждение правильное.

Рассуждения, построенные по формуле () , будут правильными. Эта формула является тавтологией и называется правилом заключения (ПЗ).

() (ПЗ).

Пример 2: пусть имеется рассуждение

1. Если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.

2. В многоугольник нельзя вписать окружность.

3. Следовательно, он неправильный.

Используя обозначения предыдущего примера, получим формулу, соответствующую этому рассуждению: () .

Аналогично предыдущему установим, что эта формула - тавтология, значит  рассуждение правильное.

 Данная формула называется правилом отрицания (ПО).

()  (ПО).

Пример 3: пусть имеется рассуждение

Если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность, следовательно, если в многоугольник нельзя вписать окружность, то он неправильный.

Рассуждение ^├  - правильное

Доказательство:

Соответствующая формула

() ( ) () р q (р q )(q ) 1, значит рассуждение правильное.

Данная формула называется правилом контрапозиции (ПК).

() ( )     (ПК).

Пример 4: пусть имеется рассуждение

Если в треугольнике все стороны равны, то он равносторонний.

Если треугольник равносторонний, то углы равны 60 , следовательно, если в треугольнике стороны равны, то углы по 60 .

Введем обозначения:

р - в треугольнике стороны равны.

q – треугольник равносторонний.

r – углы равны 60 .

 Рассуждение , q r ^├ р r.

Соответствующая формула:

()(q r) (р r) 1 - рассуждение правильное.

Данная формула называется правилом силлогизма (ПС).

()(q r) (р r) (ПС).

Замечание. Полученные формулы называются правилами вывода.

Правило вывода иногда записывают в виде: .

ПЗ: , ПО: , ПК: ,  

  ПС: .

     Другие правила вывода:

·  - введение дизъюнкции (ВД).

Доказательство. р (р q) р q 1.

·  - удаление конъюнкции (УК).

Доказательство.   рq р р р 1.

·  - введение конъюнкции. (ВК)

Доказательство.  рq рq 1

 

·       удаление дизъюнкции (УД).

Доказательство.

 

Существуют и другие правила вывода

Замечание:

Так как правила вывода являются тавтологиями, то подстановка вместо элементарного высказывания любой формулы даст нам тавтологию, каждая из которых может быть объявлена правилом вывода.

Вывод.

     Вывод- это последовательность формул, каждая из которых является посылкой или получена из предыдущих формул на основе правил вывода. Последняя формула есть заключение.

Пример: пусть имеется рассуждение

1. Если прямая не имеет общих точек с плоскостью, то она параллельна этой плоскости.

2. Если прямая имеет две общих точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.

3. Прямая не параллельна плоскости и не принадлежит ей, следовательно, она имеет одну общую точку и пересекает плоскость.

Введем обозначения:

х – прямая не имеет общих точек с плоскостью.

у – прямая параллельна плоскости.

z – прямая имеет две общих точки с плоскостью.

u – прямая принадлежит плоскости.

Рассуждение имеет вид: х у, z u,  ^├ .

Построим вывод.

1)  - посылка.

2)  - УК (из 1);

3)  - УК (из 1);

4) х у – посылка;

5) - ПО (из 4 и 2);

6) z  u – посылка;

7)  - ПО (из 6 и 3);

8)  - ВК (из 5 и 7).

Теорема дедукции.

     Теорема. Пусть дано , ,…, ^├           (1), где  - посылки.

Тогда , ,…, ^├    (2).

Доказательство:

Так как рассуждение (1) правильное, то из истинности посылок не может следовать ложного заключения. Предположим, что рассуждение (2) неправильное. Тогда из истинности посылок , ,…,  следует ложное заключение, то есть 0. Но 1, значит 0. Но тогда рассуждение (1) неверно. А этого не может быть, Мы получили противоречие, значит предположение о неверности рассуждения (2) неверно.

Что и требовалось доказать.

Пример 1:

Рассмотрим ПО: р q, ^├      

По теореме дедукции р  ^├ ;    (ПК).

Пример 2

Рассмотрим рассуждение. рr q ^├ р .

По теореме дедукции: рr q, р  ^├ . Построим вывод:

1) р  - посылка;

2) р – УК (1);

3)  - УК (1);

4) р r  q – посылка;

5)  - ПО (4,3), т.е. ;

6)  - УД (5,2).

Формула  называется правилом расширенной контрапозиции (ПРК).

Предикаты.

При анализе рассуждений в логике высказываний нас не интересовала внутренняя структура самих высказываний. И это обстоятельство не позволяет анализировать большое количество рассуждений.

Например:

Через две данных точки проходит единственная прямая.

Точка лежит между двумя точками.

х>5.

Эти предложения не являются высказываниями, но становятся таковыми, если предметным переменным, входящим в эти предложения, задать конкретны значения. Так в последнем примере при х = 3 получим ложное высказывание, а при х = 8 истинное высказывание. Значения предметных переменных берутся из некоторого предметного множества А (точек, углов, прямых, чисел, ромбов и т.д.).

Введем понятие предиката.

Под предикатом предметной переменной х А будем понимать функцию Р(х) на {0,1}. Предикат р (х) называется одноместным предикатом

Например:

Предикат х > 5, x  R: при х = 4 предикат обращается в ложное высказывание. При х = 7 предикат обращается в истинное высказывание.

Функция Р (х, у), где х, у А, принимающая значения во множестве {0,1} называется двухместным предикатом.

Например: х<у

Пусть У = 5, получим  х < 5 – одноместный предикат. Если положить х  = 4, то  4 < 5 – нульместные предикаты (высказывания).

Местность предиката - количество предметных переменных. Задание конкретного значения предметным переменным понижает местность предиката. Одноместные предикаты выражают свойство быть чем-то.

Например:

Свойство быть точкой. х – точка. Введем обозначение этого предиката: Т (х). Тогда Т (А) читается как А-точка.

Двухместные предикаты и предикаты более высокой местности выражают отношения между объектами.

Например: Двухместный предикат принадлежности – х у.

 Если х – точка, а у – прямая, то читаем: точка х принадлежит прямой у.

Выбор предикатного символа остается за пользователем. Так, вместо х у можно ввести предикат Р (х, у), оговорив, что Р (,) – это предикат принадлежности (запятая в скобках свидетельствует о том, что предикат двухместный). Разумеется, что нельзя использовать одно и тоже обозначение для разных предикатов. Широко используются известные из математики обозначения предикатов ≈, ≠, ≡, ≤, ≥, ┴, _║, = Область истинности.

Пусть на множестве U задан предикат Р (х). Задавая х различные значения, мы будем получать высказывания, часть из которых истинна, а часть возможно ложна. Множество М (х) значений х, при которых предикат Р - истина, называется областью  истинности.

Операции над предикатами.

Над предикатами выполняются те же операции, что и над высказываниями.

1) Отрицание.  - предикат, множеством истинности которого является множество, для которого предикат Р – ложный.

 

 

         Рис. 1. Область истинности отрицания предиката

 

2 ) Конъюнкция Р (х) Q(х) – это предикат, область истинности которого равна М ∩ М .

 

         Рис. 2. Область истинности конъюнкция предикатов

 

3)  Дизъюнкция Р (х)  Q(х) – предикат, область истинности которого равна М М .

 

       Рис. 3. Область истинности дизъюнкции предикатов

 

4) Импликация Р (х) Q(х) – предикат, у которого область истинности совпадает с дополнением разности М  и М , т.е. равна ().

 

 

     

     

Рис. 3. Область истинности импликаци предикатов

5) Эквиваленция Р (х) Q(х) – предикат, область истинности которого совпадает с объединением пересечения М  с М и дополнения к  их объединению, т.е. равна  - М ∩М .

 

 

 

Рис. 4. Область истинности эквиваленции предикатов

Кванторы.

Рассмотрим предложения:

В любой треугольник можно вписать окружность.

Всякое число, оканчивающееся на четную цифру, делится на 2.

В этих предложениях встречаются слова «любой», «всякое». Эти слова заменяют специальным символом. Значок  называется квантором всеобщности.

 - всякий, любой, каждый.

( х) Р (х), где х  U – запись, говорящая о том, что любой х из предметной области U обладает свойством Р.

Например. Пусть Р (х) предикат, выражающий для х  N свойство быть простым числом. Тогда ( х) (х  N) Р (х) - ложное высказывание  «любое натуральное число является простым».

Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рассматривается квантор существования: Его значок .

( х) Р (х) – существует такой х, который обладает свойством Р.

Например. Пусть Р (х) предикат, выражающий для х  N свойство быть простым числом. Тогда, ( х) (х  N) Р (х) -  истинное высказывание «существует натуральное число, которое является простым».

Операция введения квантора называется операцией навешивания квантора. Навешивание квантора по какой-нибудь переменной понижает местность предиката.

Переменная, по которой навешен квантор, называется связанной.

Например. х<у - двухместный предикат. Навесим квантор:

( х) (х  N) (х<у) предикат одноместный по переменной у.

Таким образом, понизить местность предиката можно двумя способами.

1. задать предметной переменной конкретное значение.

2. навесить кванторы по одной или нескольким переменным.

Квантор всеобщности можно рассматривать как обобщение конъюнкции для конечных и бесконечных множеств.

Квантор существования можно рассматривать как обобщение дизъюнкции для конечных и бесконечных множеств.

Операции с кванторами.

Пусть имеется предикат х<у, где х, у R. Рассмотрим всевозможные варианты навешивания кванторов по каждой из переменных.

1) (  х) (  у) (х < у) – для любого х и любого у имеем   х < у - ложно.

2) (  у) (  х) (х < у) – для любого у и любого х имеем  х < у - ложно.

3) (  х) (  у) (х < у) – для любого х существует у такой, что    х < у, т.е. наибольшего числа нет - истинно.

4) (  у) (  х) (х < у) – существует у для любого х, что х < у, т.е. есть наибольшее число. - ложно.

5) (  у) (  х) (х < у) – существует х и существует у, что х < у - истинно.

6) (  х) (  у) (х < у) – существует у и существует х, что х < у истинно.

7) (  х) (  у) (х < у) – существует х для любого у, что х < у, т.е. есть наименьшее число -  ложно.

8) (  у) (  х) (х < у) – для любого у существует х, что х < у, т.е. наименьшего числа нет - истинно.

 Таким образом, видим, что одноименные кванторы можно менять местами, не изменяя значения предиката. Изменение порядка разноименных кванторов приводит к изменению истиностного значения предиката.

Формулы.

Понятие формулы в логике предикатов введем аналогично понятию формулы в логике высказываний.

1) Всякая высказывательная переменная есть формула.

2) Предикатный символ есть формула.

3) Если  и  - формулы, то , , , ,  - тоже формулы.

4) Если (…., х, …..) –формула, то  (  х) (…., х, …..),

(  х) (…., х, …..) – тоже формулы.

5) Других формул нет.