Статобработка с использованием критерия Стьюдента

function tt=t(p,f) tt=tinv(1-p/2,f)

function uu=U(p,f) tr=t(2*p/(f+2),f) uu=tr*sqrt((f+1)/(f+tr^2))

 

Begin End p,x xsr, s2x, epsb [dxmax,k]=max(abs(x-xsr)) Ur=dxmax/sqrt(s2x*(n-1)/n) Ut=U(p,n-2) t(p,f), U(p,f) n=length(x) xsr=mean(x); s2x=var(x) Ur<Ut x(k)=[] epsb=t(p,n-1)*sqrt(s2x/n)

 

Если U^расч > U_p,f, то подозреваемое значение с вероятностью b является грубой шибкой. Грубая ошибка исключается из серии. Критерий U_p,f определяется из табл. 2.4.1 при уровне значимости p = 1 – b и числе степеней свободы f = n – 2.

f \ p	0.05	0.01
1	1.412	1.414
2	1.689	1.723
3	1.869	1.955
4	1.996	2.130
5	2.093	2.265
6	2.172	2.374

Табл. 2.4.1. U_{p , f} определяется при p = 1 – b и f = n – 2.

 

Критерий Стьюдента определяется из табл. 2.4.2 при р = 1 – b и f = n – 1.

f / p	0.10	0.05	0.01
2	2.92	4.30	9.92
3	2.35	3.18	5.84
4	2.13	2.78	4.60
5	2.01	2.57	4.03
6	1.94	2.45	3.78

Табл. 2.4.2. Критерий Стьюдента определяется при р = 1 – b и f = n – 1.

 

Пример: p = 0.05 b = 0.95 n = 6

i	1	2	3	4	5	6
yi	6.28	6.47	6.54	7.02	6.45	6.40

y среднее= 39.16/6 = 6.527 дисперсия S²y = 0.0659

 

U^таб  для f = 6-2 = 4 p = 0.05 имеет значение 1.996

Подозреваемое значение y₄= 7.02 т.к. |7.02-6.527|=0.493 максимальна

 

2.105>1.996 поэтому х₄= 7.02 является грубой ошибкой и удаляется из серии n = 5

i	1	2	3	4	5
yi	6.28	6.47	6.54	6.45	6.40

y среднее=  32.14 / 5 = 6.428 дисперсия S²_y = 0.0094

U^таб  для f = 5-2 = 3 p = 0.05 имеет значение 1.869

Подозреваемое значение x₁ = 6.28 т.к. |6.28 -6.428|=0.148 максимальна    

U^расч= 1.709 <1.869 поэтому y₁ = 6.28 не является грубой ошибкой

Для последней серии строим доверительный интервал

t^таб_{0.05, 4} = 2.78    

6.308 < y^* < 6.548

 

 

 

Приближение функции. Интерполяция. Аппроксимация

Для заданных значениях независимой переменной x_i и соответствующих им значениях зависимой переменной yi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую зависимость. y=f(x)

Основные этапы при приближение функции: Выбор вида зависимости; Выбор критерия; Выбор узловых точек; Оценка точности.

Интерполяция (определение аналитической зависимости функции между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения f(x_i)=y_i, где i=0,1,2,…,n) используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.

Метод с использованием многочлена Лагранжа. Пусть в n+1 узловой точке x₀, x₁, x₂, …, x_n определены значения y₀, y₁, y₂, …, y_n. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т.е. L(x₀)=y₀, L(x₁)=y₁, L(x₂)=y₂, …, L(x_n)=y_n. Рассмотрим многочлен вида  

где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке x_i принимает значение y_i, а в остальных равен нулю.  

из этого условия можно определить c_i:  и тогда многочлен (1) примет вид:  

Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).  или

Блок-схема интерполяции многочленом Лагранжа

Пример. По заданным точкам: x_i=-1 0 1; y_i=1 0 1. Определить интерполяционный многочлен L(x).

L(x)=x²

Интерполянт Точка данных Узел интерполяции Интерполяционная сетка Шаг интерполяции

Рис. 2.5.1. Интерполяция

 

Определение

Пусть функция  задана в  точках

Тогда существует единственный многочлен  степени не выше такой, что

 

 

Пусть

 

 

где

 

и верно, что

 

 

ниже на рисунке показаны графики l_i (x), а также график L (x)

Рис. 2.5.2. Интерполяция, графики всех функций