Формулы ошибок типической выборки

	Способ отбора единиц
Средняя ошибка (m):	повторный	бесповторный
для средней: а) при пропорциональном размещении единиц
б) при оптимальном размещении единиц
для доли: а) при пропорциональном размещении единиц
б) при оптимальном размещении единиц

В таблице приняты следующие обозначения:

- средняя внутригрупповая выборочная дисперсия средней:

;

- внутригрупповая дисперсия i-й группы в выборочной совокупности;

- средняя внутригрупповая выборочная дисперсия доли:

.

 

Серийная выборка.

Сущность серийной выборки заключается в том, что вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение. Серии (гнезда) состоят из единиц, связанных между собой или территориально, или организационно, или во времени. Отбор серий может производится в порядке повторного и бесповторного отбора. Серии могут быть равновеликими и неравновеликими. На практике чаще применяется серийный отбор с равными сериями.

Применение серийной выборки обусловлено тем, что, многие виды продукции для их транспортировки, хранения, продажи упаковываются в пачки, коробки, ящики и т. п. Поэтому при контроле качества поступившей в упаковке продукции рациональнее проверить несколько отдельных упаковок (серий), чем из всех упаковок отобрать необходимое количество единиц продукции.

Формулы ошибок серийной выборки

	Способ отбора
Средняя ошибка	повторный	бесповторный
для средней
для доли

 

В таблице приняты следующие условные обозначения:

m - число равных серий в выборочной совокупности;

М - число равных серий в генеральной совокупности;

- межгрупповая выборочная дисперсия средней:

,

где - средний уровень признака в серии;

- средний уровень признака для всей выборочной совокупности;

- межгрупповая выборочная дисперсия доли:

,

где w_i - доля единиц, обладающих данным признаком в серии;

w - доля единиц, обладающих данным признаком во всей выборочной совокупности.

 

Ошибка серийной выборки больше, чем при любом другом способе отбора. Тем не менее серийный отбор широко применяется на практике, что объясняется его организационными преимуществами.

Механическая выборка.

Механическая выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности через равные промежутки из определенного расположения их в генеральной совокупности (по алфавиту, в пространстве, последовательности появления во времени).

При организации механического отбора возникают две задачи:

*  определение “шага отсчета” (расстояние между отбираемыми единицами);

*  определение начало отсчета, т.е. выбор единицы, с которой надо начинать отсчет.

“Шаг отсчета” определяется путем деления численности генеральной совокупности на численность выборочной совокупности: .

Выбор начала отсчета рекомендуется производить путем случайного отбора из единиц первого интервала - первого “шага отсчета”.

Механический отбор может осуществляться в самом процессе наблюдения, и его очень удобно применять в тех случаях, когда мы не может заранее составить список единиц генеральной совокупности. Например, выборка берется из постепенно формирующейся во времени совокупности или из практически бесконечной совокупности. Так, при обследовании покупок (что важно например, при проведении маркетинговых исследований) можно наблюдать каждого десятого покупателя, или при контроле качества продукции - производить проверку каждой 10-й, 20-й и т. д. детали, обработанной на станке).

 Если в генеральной совокупности единицы располагаются случайным образом по отношению к изучаемому признаку, то механический отбор можно рассматривать как разновидность случайного бесповторного отбора; поэтому для оценки ошибки механической выборки применяются соответствующие формулы:

; .

 

Комбинированная выборка.

Комбинированная выборка предполагает использование нескольких способов выборки. Можно комбинировать, например, серийную выборку и случайную. В этом случае, разбив генеральную совокупность на серии (группы) и отобрав нужное число серий, производят случайную выборку единиц в серии. Такая комбинированная выборка может быть повторной и бесповторной как для групп, так и для единиц.

Средняя ошибка комбинированной выборки определяется по формулам:

при повторном отборе:

;

при бесповторном отборе:

.

 

Многоступенчатая выборка.

Многоступенчатая выборка предполагает извлечение из генеральной совокупности сначала укрупненных групп единиц. Затем из крупных групп производится отбор групп, меньших по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы (серии) или отдельные единицы, которые будут подвергнуты наблюдению. Выборка может быть двухступенчатой, когда генеральная совокупность разбивается на группы и производится отбор групп, а затем внутри групп - отбор единиц наблюдения. На обеих ступенях отбор может вестись в случайном порядке.

В отличие от типического отбора, где отбор производится из всех без исключения групп, при многоступенчатом отборе производится отбор самих групп, и, следовательно, не все они попадают в выборку.

Число ступеней отбора может быть и более двух. В этом случае средняя ошибка выборки определяется по формуле:

,

где m₁, m₂,...,m_k - средние ошибки выборки на отдельных ступенях отбора;

n₁, n₂,..., n₃ - численность выборок на соответствующих ступенях.

Многофазная выборка.

При многофазной выборке выборочные совокупности образуются так, что одни сведения собираются от всех единиц отбора, затем отбираются еще некоторые единицы, которые и обследуются по более широкой программе. Расчет ошибки многофазной выборки производится для каждой фазы в отдельности.

Отличие многофазной выборки от многоступенчатого отбора заключается в том, что при многофазной выборке на каждой фазе сохраняется одна и та же единица отбора. В многоступенчатых выборках единица отбора на каждой ступени выборки различная.

 

Тема 10. ИНДЕКСЫ.

План:

1. Общее понятие об индексах.

2. Индивидуальные индексы.

3. Агрегатные индексы.

4. Средние взвешенные индексы.

5. Изучение динамики качественных показателей по нескольким единицам (предприятиям, территориям, странам).

6. Использование индексного метода в экономическом анализе.

Общее понятие об индексах.

В практике статистики индексы наряду со средними величинами являются наиболее распространенными статистическими показателями. С их помощью изучается развитие хозяйства в целом и его отдельных отраслей, анализируются результаты производственно-хозяйственной деятельности предприятий и объединений, исследуется роль отдельных факторов в формировании важнейших показателей, выявляются резервы производства; индексы используются также и в международных сопоставлениях экономических показателей.

Индекс — относительная величина, характеризующая изменение сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.

С помощью индексных показателей решаются следующие основные задачи:

1. Характеристика общего изменения сложного экономического показателя и его отдельных элементов;

2. Измерение влияния факторов на общую динамику сложного показателя, включая характеристику влияния изменения структуры явления.

Индекс является результатом сравнения двух одноименных показателей, поэтому при их вычислении различают сравниваемый уровень (числитель индексного отношения), называемый текущим или отчетным, и уровень с которым производится сравнение (знаменатель индексного отношения), называемый базисным. Выбор базы определяется целью исследования.

При изучении динамики за базисную величину принимают значение показателя в каком-либо периоде, предшествующем отчетному. При этом возможны два способа расчета индексов - цепной и базисный.

Цепные индексы получают путем сопоставления текущих уровней с предшествующими (база сравнения меняется).

Базисные индексы получают путем сопоставления с уровнем какого-либо одного периода, принятого за базу сравнения.

При территориальных сравнениях за базу сравнения принимают данные другой территории.

При использовании индексов как показателей выполнения плана за базу сравнения принимают плановые показатели.

В зависимости от содержания и характера изучаемых социально-экономических показателей различают индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.

К индексам количественных (объемных) показателей относятся индексы физического объема производства продукции, физического объема потребления продукции и индексы других показателей, значение которых характеризуются натуральными величинами (шт, т, кг, л, м, м², м³ и др.).

К индексам качественных показателей относятся индексы цен, себестоимости, индексы средней заработной платы, производительности труда, товарооборота и др.

По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и сводные (общие) индексы.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение значений показателей, относящихся к одному элементу совокупности (например, одному виду продукции).

Сводные индексы характеризуют изменение сложного явления в целом.

В зависимости от способа вычисления общих (сводных) индексов различаются агрегатные индексы и средние взвешенные индексы. Последние в свою очередь делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы.

Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в статистико-экономическом анализе в теории статистики разработана определенная символика и применяются соответствующие условные обозначения.

Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:

q - количество продукции одного вида в натуральном выражении (физический объем продукции);

p - цена за единицу продукции;

z - себестоимость единицы продукции;

t - затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции. 

Индивидуальные индексы обозначаются символом i, у которого проставляется символ соответствующей индексируемой величины. Общий (сводный) индекс изучаемого сложного явления обозначается I.

Для обозначения базисного периода, с данными которого производится сравнение, используется обозначение - 0, для обозначения первого отчетного периода - 1, второго - 2 и т.д. Данные обозначения проставляются внизу символа индексируемого показателя.

 

Индивидуальные индексы.

1. Индивидуальный индекс физического объема продукции:

.

2. Индивидуальный индекс цен:

3. Индивидуальный индекс стоимости продукции (товарооборота):

.

4. Индивидуальный индекс себестоимости:

.

5. Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции:

.

6. Индивидуальный индекс затрат рабочего времени на единицу продукции:

.

7. Индивидуальный индекс затрат времени на выпуск продукции:

.

 

Агрегатные индексы.

В случае построения агрегатных индексов количественных показателей возникает необходимость в применении особого приема, называемого с оизмерением. Поскольку различные виды продукции неравноценны по количеству затраченного на них труда и имеют разные потребительские стоимости, то было бы неправильно непосредственно суммировать итоги по этим видам продукции. Кроме того различные виды продукции могут иметь совершенно различные единицы измерения объема выпуска (например, штуки, тонны и квадратные метры). Для получения общего итога необходимо данные по различным видам продукции привести к единой, общей мере, например, использовать стоимостную оценку продукции. Такой переход от одних единиц измерения к другим называется соизмерением.

При построении индексов объемных показателей в качестве соизмерителей применяют те или иные качественные показатели (цена, себестоимость, трудоемкость). Выбор соизмерителя в каждом конкретном случае зависит от целей исследования. Стоимостные соизмерители имеют универсальное значение.

В случае построения агрегатных индексов качественных показателей также используется особый прием называемый взвешиванием. Непосредственное суммирование уровня качественного показателя по отдельным видам продукции не имеет экономического смысла, т. к. не учитывается количество единиц продукции, имеющих этот уровень. Поэтому уровни качественного показателя необходимо умножить на соответствующие значения связанного с ним количественного показателя (вес).

Чтобы построенные индексы отражали только изменение индексируемого показателя необходимо, чтобы соизмерители (веса) в числителе и знаменателе были постоянны, т. е. на одном уровне.     

Правило построения агрегатных индексов: для индексов качественных показателей соизмерители (веса) принимаются на уровне отчетного периода, а для индексов количественных показателей — на уровне базового периода. Такое взвешивание позволяет увязать индексы количественных и качественных показателей в систему.

 

1. Агрегатный индекс физического объема продукции:

- формула Ласпейреса.

В данном случае q - индексируемая величина, p - соизмеритель. В качестве соизмерителей могут быть использованы себестоимость единицы продукции, а также затраты времени на единицу продукции:

.

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения выпуска продукции:

.

В практике планирования, в проведении экономико-статистического анализа не ограничиваются вычислением отдельных, изолированных индексов, характеризующих изменение за какой-то один период времени. Вычисляют не один, а несколько индексов за последовательные периоды. При таком вычислении обычно применяют во всех индексах цены одного и того же периода. Такие цены называются сопоставимыми (фиксированными или неизменными); они применяются на протяжении длительного периода времени. 

2. Агрегатный индекс цен:

 - формула Пааше.

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения цен:

.

3. Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции:

.

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения количества продукции и цен:

.

4. Агрегатный индекс себестоимости:

.

5. Агрегатный индекс затрат времени на единицу продукции:

.

 

Средние взвешенные индексы.

На практике в некоторых случаях могут быть известны не абсолютные значения индексируемых показателей, а их относительные изменения. В таких случаях агрегатный индекс можно рассчитать косвенным путем, используя взвешенную среднюю из индивидуальных индексов, если нам известен размер результативной величины за отчетный период. При выборе весов следует иметь в виду, что средний взвешенный индекс должен быть тождественен агрегатному, который является основной формой индекса.

1. Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции:

.

Весами в данном случае служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде.

2. Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции:

.

3. Средний взвешенный арифметический индекс цен:

4. Средний взвешенный гармонический индекс цен:

.

Применение той или иной формулы индекса (агрегатного, среднего арифметического и среднего гармонического) зависит от имеющихся в распоряжении конкретных данных.