Развитие с замедлением роста в конце периода.

Значение цепных абсолютных приростов уменьшается по мере приближения к конечным уровням ряда динамики:

D_i ® 0 при i ® (n-1).

Основная тенденция выражается полулогарифмической функцией.

Для вычисления параметров, входящих в трендовую модель, на основании метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

,

где a_j  - j-й параметр модели, m -количество параметров в модели, t - обозначение временных дат (t=1, 2, 3 и т.д.).

Виды трендовых моделей

№	Наименование и вид функции	Система нормальных уравнений для нахождения параметров модели
1	Линейная
2	Парабола 2-го порядка
3	Парабола 3-го порядка
4	Показательная
5	Полулогарифмическая
6	Гиперболическая

 

Вычислительный процесс нахождения параметров уравнения (при сохранении полной идентичности конечных результатов) может быть значительно упрощен, если ввести обозначения дат (периодов) времени с помощью натуральных чисел, с тем чтобы St=0.

Если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) обозначаются следующим образом:

	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май
yi	y1	y2	y3	y4	y5
t	-2	-1	0	+1	+2

 

Если количество уровней в ряду динамики четное, то обозначения временных дат (t) принимает следующий вид:

	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6
t	-5	-3	-1	+1	+3	+5

 

Если ввести данные обозначения, то система нормальных уравнений, например, при выравнивании по прямой примет вид

.

 

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и стандартная ошибка аппроксимации по формуле:

,

где y и - соответственно фактические (эмпирические) и расчетные (теоретические) значения уровней динамического ряда;

n - число уровней ряда;

m - число параметров в уравнении тренда.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией.

Основываясь на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда экстраполяцию используют для прогнозирования.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза.

Границы интервалов определяются по формуле:

,

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели;

t_a,k - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости a (a=(1- p)*100%, р - вероятность прогноза в долях) и количестве степеней свободы k (k=n-1).

Тема 8. Ряды динамики