Условия оптимальности диаграммы направленности

Оптимальными диаграммами принято называть диаграммы, наилучшим образом удовлетворяющие различным практическим требованиям. В частности, к антеннам с оптимальной диаграммой направленности относятся антенны, диаграммы направленности которых имеют наименьший уровень боковых лепестков при заданной ширине главного максимума и, наоборот, наименьшую ширину главного максимума при заданном уровне боковых лепестков.

Такие антенны называются дольф - чебышевскими оптимальными антеннами. Это название они получили по той причине, что впервые задачу синтеза оптимальной антенны решил Дольф [Л 1], используя математический аппарат полиномов Чебышева.

В настоящем пособии и рассматривается методика проектирования дольф-чебышевских антенных решеток.

Задача ставится так: спроектировать антенну, диаграмма направленности которой имеет наименьшую ширину главного лепестка при заданном уровне боковых лепестков, или наименьший уровень боковых лепестков при заданной ширине главного максимума. В обоих случаях размеры антенны считаются заданными или выбираются вначале до решения основной задачи нахождения токов в излучателях. Оптимальные антенны позволяют получить высокую направленность при низком, наперед заданном уровне боковых лепестков. Соответственно областью применения таких антенн являются системы, в которых предъявляются жесткие требования к уровню бокового излучения. Как правило, это приемные антенны. Примером может служить антенна системы, работающей в условиях большого уровня помех, отстройка от которых производится пространственной селекцией.

 

 

Антенна с оптимальной диаграммой направленности представляет собой линейную или двумерную решетку излучателей, размещенных на одинаковом расстоянии друг от друга со специальным амплитудным распределением тока вдоль антенны. Если все излучатели возбуждаются в фазе, то луч направлен по нормали к антенне. Если задать постоянный сдвиг фаз между излучателями, то луч можно отклонить на необходимый угол.

 Для того чтобы диаграмма направленности антенны обладала указанными оптимальными свойствами, необходимо чтобы она описывалась полиномом Чебышева.

Остановимся кратко на свойствах полиномов Чебышева. Это полезно, так как математический аппарат полиномов Чебышева широко применяется на практике не только при расчете оптимальных диаграмм антенн, но и в теории фильтров, широкополосных согласующих трансформаторов, направленных ответвителей и ряда других СВЧ устройств.

 

 

Свойства полиномов Чебышева

 

 Полиномами Чебышева называются полиномы вида

 

 (4.1)

 

Здесь — аргумент полинома;  — порядок полинома, определяемый наивысшей степенью переменной .

Заменив косинус кратного аргумента степенным рядом, получим формулы для полиномов Чебышева в виде многочленов.

 При  — четном

.                                       (4.2)

 

При  — нечетном

 

.

 

В формулах (4.2) коэффициенты  - коэффициенты полинома Чебышева порядка а при в степени переменной x.

Эти коэффициенты вычисляются по формулам

 

 (4.3)

 

Первые 12 полиномов Чебышева записываются формулами

 

 

Полиномы Чебышева разных порядков связаны рекуррентным соотношением

 

 

На рис. 4.1 приведен график полинома Чебышева . Из приведенного рисунка видно, что полином Чебышева в пределах изменения аргумента  представляет собой знакопеременную функцию с несколькими максимумами. Все максимумы одинаковы и по модулю равны единице. За пределами  полином по модулю неограниченно возрастает.

Полином Чебышева обладает следующими свойствами, которые и обусловили его широкое применение при построении различных систем.

 

 

Из всех степенных полиномов той же степени с действительными коэффициентами и коэффициентом при высшем члене, равном :

 а) в пределах изменения аргумента  полином Чебышева наименее уклоняется от нуля, т. е. абсолютные значения максимумов будут наименьшими;

Рис. 4.1. График полинома Чебышева .

Рис. 4.2. График полинома Чебышева .

б) полином Чебышева имеет наибольшее значение наибольшего корня, т. е. интервал от наибольшего корня до  будет наименьшим. При  полином возрастает, причем скорость нарастания наибольшая.

Теперь рассмотрим те же полиномы, с теми же пределами изменения аргумента , но с несколько измененным масштабом , где . На рис. 4.2 изображен тот же полином, что и на рис. 4.1, но при . Как следует из рисунка, график полинома Чебышева теперь приобрел вид диаграммы направленности с главным максимумом и серией боковых лепестков. Уровень боковых лепестков равен 1, а значение функции в максимуме равно . Свойства полинома остались прежними. Он имеет наименьшее значение модуля лепестков по отношению к максимуму при  и наибольшее значение наибольшего корня (наименьшую величину ). Отсюда следует, что для того, чтобы диаграмма направленности являлась оптимальной, она должна описываться полиномом Чебышева.

Положение нулей функции  определяется соотношением

 

,                                                (4.5)

 

а положение максимумов - формулой

 

,                                                  (4.6)

 

где  порядковый номер нуля или максимума.