Вычисление платежей при страховании на дожитие

Определим размер единовременной премии страхователя в возрасте х лет, если при дожитии до х+ п лет он должен получить от страховщика 1 д.е. Обозначим размер этой премии символом _пЕ_х. Так как эта премия вносится безусловно, то соответствующая ей вероятность равна единице. Поэтому, если современная стоимость премии равняется _пЕ_х. то соответствующая ей вероятная стоимость платежа страховщика определяется как vⁿ*_np_x, где , l — число лиц в возрасте х лет. l_{x + n} — число лиц и возрасте х + п лет. Отсюда  —-. Умножив данное отношение на величину , получим видоизмененное равенство, которое преобразуется в формулу

                                   (3)

где показатели D_x, D_{x + n} — коммутационные числа (табл. 1 и 2).

Таблица 1. Таблица коммутационных чисел

(фрагмент, для числа живущих лиц l_x)

Возраст, х лет	lx	v^x	Dx=lx*v^x	Nx
40	88 565	0,3066	27 154	585 814
41	88 246	0,2976	26 262	558 659
42	87910	0.2890	25 406	532 397
43	87 558	0,2805	24 560	506 991
44	87 189	0,2724	23 750	482 413
45	86 805	0.2644	22 951	458 681
46	86 405	0,2567	22 180	435 730
47	85 982	0,2492	21 427	413 550

Таблица 2. Таблица коммутационных чисел

(фрагмент, для числа умерших лиц d_x)

Возраст, х лет	dx	V^x+1	Cx = dx *v^x+1	Mx
40	319	0.2976	95	10 053
41	336	0.2S90	97	9958
42	352	0.2805	99	9861
43	369	0.2724	101	9762
44	384	0.2644	102	9661
45	400	0.2567	102	9559
46	423	0.2492	105	9456
47	454	0.2420	110	935!

Данные таблицы составлены при процентной ставке i = 3%.

Например, 40 -летнему страхователю по условию договора страхов­щик обязан выплатить страховую сумму только при дожитии до 45 лет. При ставке 3% единовременная премия, которую застрахованный дол­жен уплатить при заключении договора, равняется:

Число 0,8455 —тарифная ставка для лиц в возрасте 40 лет, страхую­щихся на дожитие до 45 лет. Ее значение определяется также посредст­вом коммутационных чисел (табл. 1):

Если страховая сумма по данному договору равнялась бы 300 д.е., то страхователь должен внести 254 д.е. (300 • 0,8455).

При единовременном взносе страхователя страховщик может вы­плачивать по 1 д.е. ежегодно в течение всей жизни застрахованного с момента заключения договора (или- как пенсию — по истечении не­которого времени). В этом случае размер единовременной премии дол­жен соответствовать современной стоимости всех вероятных платежей страховщика, производимых им в конце периода (постнумерандо):

            (4)

где N _{x +1} = D _x+1 + D_{x +2} + D_{x + з}⁺…- коммутационное число. Оно полу­чается в результате накапливания значений D_x снизу вверх таблицы смер­тности. Значения N_x для некоторых возрастов приведены в табл. 1.

Например, страхователю 40 лет. то страховщик может выпла­чивать пожизненно но 1 д.е. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос составит:

При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страхов­щиком в конце каждого года (постнумерандо) размер единовременно­го взноса определяется в соответствии с равенством:

Например: Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 д.e. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя пять лет.

В этом случае единовременный взнос страхователя, чей возраст 40 лет, должен составить:

По договору страхования страхователь может вносить премии не единовременно, а периодически. Чтобы равенство в ответственности двух сторон по договору не изменилось, современная стоимость веро­ятных платежей страхователя приводится к единовременному взносу.

Размер периодического взноса определяется по формуле

                              (5)

где α_х – годовые платежи страхователя

а_х=N_x/D_x

Числитель и знаменатель данной формулы модифицируется в за­висимости от условий выплаты страховой суммы страховщиком.

Например, нетто-ставка для страхователей, чей возраст 40 лет, за­ключивших договор на дожитие до 45 лет, определяется следующим образом. Размер единовременного взноса страхователя, который заменяется периодическими платежами, равен  Так как по усло­вию договора предполагается, что страхователь будет платить до насту­пления возраста х + п лет, то при платежах в начале каждого периода (пренумерандо) их современная стоимость составляет разницу между немедленной пожизненной и отсроченной рентой пренумерандо:

Отсюда размер годовой нетто-премии равняется:

По условию примера

Если договор страхования на дожитие заключен на сумму 300 д.е., то размер годовой премии составит 54 д.е.