Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

 где m₀ – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v²/c² = 1∙ 10^-6  и m > m₀ на величину 5 ∙ 10^-7 m₀ .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv ) равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

.

 

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt, получим

Из выражения для массы  определим 

.

Продифференцируем выражение v².

  Подставим v²  и d(v²) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc².

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

E = pc,

которое легко получить математически: E =mc² , p = mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с²

E² = m² c⁴ ,    p² c² = m² v² c² .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E² – p² c²  = m² c⁴-m² v² c² = m² c⁴ (1-v² / c² ).

Учитывая, что  получим

Так как масса покоя m₀ и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E²  - p² c² ) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод: энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c²dm. Интегрирование левой части в пределах от E₀  до Е, а правой от m₀  до m, дает

E – E₀ = c² (m – m₀) = mc² – m₀ c²,

где E = mc² - полная энергия материальной точки,

E₀ =m₀ c² - энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е₀ есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v «c, разложим  в ряд:

=   .

Учитывая, что v «c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии .

Контрольные вопроси.

1. Дайте определение инерциальным и неинерциальным системам отсчёта.

2. В чём физическая сущность механического принципа относительности?

3. Назовите основные постулаты специальной энергии относительности?

4. Приведите преобразование Галлея и вытекающей из них закон сложения скоростей в классической механике.

5. Приведите преобразования Лоренца и продемонстрируйте следствие из них:

а) закон сложения скоростей в релятивистской механике.;

б) относительность одновременности событий;

в) относительность длительности событий;

г) относительность размеров тел.

6. Приведите основной закон релятивистской динамики и поясните его отличие от основного закона классической динамики.

Приведите выражение для кинетической, полной и энергии покоя в релятивистской динамике и связь между ними.

Тесты.

1. Является ли вращающееся тело инерциальной системой отсчета?                          а) да; б) нет; в) да, если скорость вращения постоянна.

2. Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для кинетической энергии в релятивистской механике?

а) E=mν²/₂; б) E=mc²; в) E= m₀с²; г) T=mc²-m₀c²

3. Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для полной энергии в релятивистской механике?                                     

  а) E=mν²/₂; б) E=mc²; в) E₀= m₀c²; г) T=mc²-m₀c²

4. Какая из приведенных ниже формул определяет выражения для импульса в релятивистской механике?                                              

а) p=mv;  б) ; в) ; г) .

Пример решения задач.

Протон движется со скоростью 0,7 скорости света. Найти импульс и кинетическую энергию протона.

Дано: m₀=1,67^.10^-27кг; β=0,7; c=3^.10⁸м/с.

Найти: p, T.

Решение. Импульс частицы в релятивистской механике определяется по формуле

                                 (1)

                                  (2)

Подставив в формулу (2) числовые значения, получим

(кг^.м/с).

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы Т определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы: Т=Е-Е₀, где

.

Тогда формула Т имеет вид:

.

Подставляя в формулу числовые значения, получим

.(Дж)

Вопросы для самопроверки

I. Механическое движение. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория, путь и перемещение. Скорость и ускорение. Тангенциаль­ная и нормальная составляющие ускорения.

2. Твёрдое тело. Поступательное и вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями. Период и частота вращения.

3. Первый закон Ньютона и инерциальные системы отсчёта. Сила. Второй закон Ньютона. Масса. Импульс. Третий закон Ньютона.

4. Механическая система. Внутренние и внешние силы. Импульс сис­темы и закон его изменения. Замкнутая система и закон сохранения импульса. Центр масс и закон его движения.

5. Момент силы и момент импульса относительно точки и оси. Закон изменения момента импульса материальной точки и механической сис­темы. Закон сохранения момента импульса.

6.Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения. Момент инерции. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения.

7. Работа силы. Работа при вращательном движении. Мощность. Кинетическая энергия, закон её изменения. Кинетическая энергия посту­пательного и вращательного движения твёрдого тела.

8. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Внутренняя энергия. Общефи­зический закон сохранения энергии.

9. Принцип относительности и принцип постоянства скорости света. Относительность длин и промежутков времени. Преобразования Лорен­ца и Галилея. Сложение скоростей.

10. Основной закон релятивистской динамики. Релятивистский импульс и релятивистская масса. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Полная энергия и энергия по­коя.

Тесты по дисциплине.

1. Какая из приведенных ниже формул соответствует определению мгновенной скорости? 

а)   б)   в)   г)

2. Какая из приведенных ниже формул соответствует определяют определению тангенциального ускорения?  

а)     б)     в)    г)

3. Какая из перечисленных ниже физических величин является скалярной?

а) сила;  б) скорость; в) перечисление; г) ускорение; д) путь.

4. Какая из приведенных зависимостей пути от времени описывает равноускоренное прямолинейное движение?

а)   б)   в)   г)

5. На тело, движущееся со скоростью v, на пути S действует сила F под углом α. Может ли быть при этом работа силы отрицательной?

а) не может; б) может, если модуль скорости очень мал; в) может, если α = 0; г) может, если 90⁰< α <180⁰.

6.  Какая из приведенных ниже формул выражает второй закон Ньютона? 

а) ; б) ; в) ; г) .

7.  Какая отрицательная величина измеряется в джоулях?

а) сила; б) работа; в) мощность; г) энергия; д) вес.

8. Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела массой m движущейся со скоростью v?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

9. Чему равен момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии ¼ длины от его конца?                                                                                             а) ¹/₁₂ml²; б) ¹/₃ ml²; в) ¹/₅ ml²; г) ²/₅ ml²; д) ⁷/₈ ml²

10.  Чему равна кинетическая энергия поступательного движения шара, скатывающегося без трения с наклонной плоскости высотой h в конце наклонной плоскости?

а) mgh; б) ⁵/₇ mgh; в)¹/₂ mgh; г) ^¼ mgh; д) ³/₅ mgh.

11.  От чего зависит момент инерции тела, вращающегося относительно закрепленной оси?

а) от момента приложения сил?

б) от распределения массы относительно оси вращения;

в) от углового ускорения.

12. Физический смысл момента инерции:

а) произведение силы на плечо;

б) произведение момента силы на время действия;

в) мера инертности во вращательном движении.

13.   Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела при вращательном движении?

а) Iω²/₂; б) I²ω/₂; в) Iω²; г) Iω; д) I²ω².

14.  Является ли вращающееся тело инерциальной системой отсчета?

а) да; б) нет; в) да, если скорость вращения постоянна.

15.  Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для кинетической энергии в релятивистской механике?

а) E=mν²/₂; б) E=mc²; в) E= m₀ с²; г) T=mc²-m₀c²

16.  Какая из приведенных ниже формул определяет выражение для полной энергии в релятивистской механике?                              

  а) E=mν²/₂; б) E=mc²; в) E₀= m₀c²; г) T=mc²-m₀c²

17.  Какая из приведенных ниже формул определяет выражения для импульса в релятивистской механике?                                       

а) p=mv; б) ; в) ; г) .

 

ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ.

Глава I. 1. б); 2. а); 3. д); 4. б).

Глава II. 1. г); 2. г); 3. б); 4. б).

Глава III. 1. д); 2.а); 3. б); 4. в); 5. а).

Глава IV. 1. б); 2. г); 3. б); 4. б).

ЛИТЕРАТУРА

1. Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. – М.: Высшая школа, 2001, 2003 г.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1996 и последующие годы издания.

3. Детлаф А.А., Яворский Ю.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989 и последуюие годы издания.

4. Яворский Ю.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1998 и последующие годы издания.

5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1981 и последующие годы издания.

6. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука, 1985 и последующие годы издания.

Гладской Владимир Матвеевич, Самойленко Петр Иванович.  

ФИЗИКА (Часть 1).

Учебно–практическое пособие.

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ: