Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса.

Импульсом тела при всяком движении, как известно, называют величину р= mv. При изучении вращательного движения тела аналогично моменту силы вводят векторную величину L =[ rp ] =m [ rv ], называемую момента импульса. Выясним, чем определяется изменение моментом импульса L со временем. Для этого продифференцируем L по t

 

Если мы рассматриваем материальную точку, то ее расстояние от оси вращения остается неизменным r = const. Т.е. d r /dt = 0, а следовательно,

Рассмотрим изменение момента импульса L c другой стороны, исходя из уравнения вращательного движения: M = Jε, ε = M/J. Если вращательный момент M постоянен, то и угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить 

где Δt = t – t₀; ω₀ – начальная угловая скорость; ω – угловая скорость через промежуток времени Δt. Тогда уравнение вращательного движения, можно записать в виде

или MΔt

Сравнивая это выражение с dL/dt = M, нетрудно убедиться, что Jω = L – есть момент импульса. Импульс момента силы и момент импульса являются величинами векторными и совпадают по направлению с M и ω. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью v_i = ω r_i, где r_i - радиус окружности, которую описывает частица массой m; ω – угловая скорость, одинаковая для всех точек тела. Момент импульса каждой частицы тела равен L_i = m_i  r_i  v_i  = m_i  ω  = ωJ_i. Суммарный момент импульса тела будет

ω  ωJ,

или в векторном виде L = J ω. Известно, что d L /dt = M, откуда d L = M dt. Рассматривая это выражение, можно отметить, что если M = 0, то , a следовательно, L = const, т.е. J ω = const, если М = 0.

Эта формула является выражением закона сохранения момента импульса тел системы. Если вектор суммарного момента внешних сил, действующих на систему тел относительно неподвижной оси, равен нулю M = 0, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется со временем, т.е. остается постоянной

J ω = const.

Значит, сумма моментов импульсов всех тел замкнутой системы сохраняется неизменной. Допустим, что у вращающегося тела происходит изменение момента инерции. Это приводит к изменению скорости вращения. Если J возрастает, то ω убывает, и наоборот, т.е. J₁ ω₁ = J₁ ω₂. При вращательном движении справедлив также закон, аналогичный III закону Ньютона для поступательного движения.

При взаимодействии двух вращающихся тел момент M₁ , с которым первое тело действует на второе, равен вращающему моменту M₂ , с которым второе тело действует на первое и противоположен ему по направлению

M ₁ = – M _2.

Если они взаимодействуют в течении промежутка времени Δt, то

M ₁ Δt = – M ₂ Δt.

Используя формулу основного закона вращательного движения, это выражение можно переписать в (скалярном виде) J₁ (ω'₁ – ω₁) = –J₂ (ω'₂ – ω₂),

где ω₁ и ω₂ – угловые скорости до, а ω'₁ и ω'₂ – после взаимодействия вращающихся тел. Преобразуем это выражение:

J₁ ω₁ + J₂ ω₂ = J₁ ω' ₁ + J₂  ω' ₂.

Отсюда следует, что сумма моментов импульса тел замкнутой системы в результате их взаимодействия остается неизменной. Обобщая этот вывод на произвольное число тел в замкнутой системе, можно записать

т.е. опять получили выражение закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с изотропностью пространства. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы тел не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол. Изотропность - равноправность всех направлений в пространстве.

Однородность пространства - равноправность всех точек пространства. Пространство, как таковое не может изменить импульс в силу отсутствия выделенных точек, в силу их равноправия. Закон сохранения момента импульса не зависит от выбора осей координат, в чем и проявляется его фундаментальность.

Контрольные вопроси.

1. Какое движение называют вращательным?

2. Назовите характеристики вращательного движения и их связь с линейными характеристиками?

3. Что такое момент инерции материальной точки и твёрдого тела?

4. Что такое момент силы относительно неподвижной оси?

5. Вывести и сформулировать уравнение динамики вращательного движения?

6. Вывести уравнение кинетической энергии при вращательном движение?

7. Привести уравнение кинетической энергии тела участвующего одновременно в двух движениях.

8. Что такое момент импульса материальной точки?

9. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется? Приведите пример.

Тесты.

1. Чему равен момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии ¼ длины от его конца?                                                                            а) ¹/₁₂m ²; б) ¹/₃ m ²; в) ¹/₅ m ²; г) ²/₅ m ²; д) ⁷/₈ m ²

2. Чему равна кинетическая энергия поступательного движения шара, скатывающегося без трения с наклонной плоскости высотой h в конце наклонной плоскости?

а) mgh; б) ⁵/₇ mgh; в)¹/₂ mgh; г) ¼ mgh; д) ³/₅ mgh.

3. От чего зависит момент инерции тела, вращающегося относительно закрепленной оси?

а) от момента приложения сил?

б) от распределения массы относительно оси вращения;

в) от углового ускорения.

4. Физический смысл момента инерции:

а) произведение силы на плечо;

б) произведение момента силы на время действия;

в) мера инертности во вращательном движении.

5. Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела при вращательном движении?

а) Iω²/₂; б) I²ω/₂; в) Iω²; г) Iω; д) I²ω².

Пример решения задач.

К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1кг приложили силу 1Н и остановили его. Путь торможения составил 1м. Определить скорость шара до начала торможения.

    Дано: m=1кг; F=1Н; s=1м.

    Найти: v.

    Решение. Кинетическая энергия катящегося шара складывается из энергии поступательного и вращательного движений:

,

где m – масса шара, J – момент инерции, v и ω – линейная и угловая скорости, которые связаны соотношением , r – радиус шара. Момент инерции шара J=0.4mr². С учетом этого

.

Работа А тормозящей силы F на пути s A=Fs будет равна изменению кинетической энергии шара, которое в условии задачи равно E_к (кинетическая энергия остановившегося шара равна 0).

  ; , откуда

; .(м/с)