Относительность продолжительности событий. Эффект замедления времени.

Продолжительность событий в классической механике не зависит от выбора системы отсчета. Пусть в движущейся со скоростью v₀  системе отсчета K' в неподвижной точке x'  произошло событие длительностью Δt = t'₂ – t'₁, где t'₁ и t'₂ – моменты начала и конца события (например, включения и выключения лампочки по часам, покоящимся в системе отсчета K' ). Наблюдатель в неподвижной системе K отметит по своим часам (часам своей системы) начало и конец события в моменты t₁  и t₂ , которые будут связаны с моментами t'₁ и t'₂ соотношениями:

                                              

 

Отсюда длительность события Δt= t₂-t₁ в неподвижной системе отсчета K равна

т.е. представляется более длительным, чем в системе K′ (эффект замедления времени).

Относительность длины. Пусть в движущейся вдоль оси х' системе K' покоится отрезок длиной   Здесь x'₂  и x'₁ координаты начала и конца отрезка, отмеченные в один и тот же момент времени t'. Если измерение длины проведено в системе отсчета, в которой отрезок покоится, ее называют собственной длиной и обозначают . Какова будет длина того же отрезка, если ее измерить в неподвижной системе отсчета K? Для наблюдателя в системе отсчета K отрезок будет двигаться со скоростью v_0. Чтобы измерить длину движущегося отрезка, наблюдатель в системе K должен в один и тот же момент времени t (по часам своей системы) отметить на оси х положение концов движущегося отрезка. Отметки эти нужно сделать именно в один и тот же момент времени, так как отрезок и его концы постоянно смещаются вдоль оси х.

Пусть этими отметками будут координаты х₁ и х₂ . Но координаты х₁ и х₂  связаны с х'₁ и х'₂ соотношением

 

     отсюда

Введя обозначения l = x₂ -x₁; l₀ = x'₂ – x'₁ , получим

.

Таким образом, наблюдатель в неподвижной системе K находит, что длина движущегося отрезка в  раз меньше его собственной длины, измеренной в системе, где этот отрезок покоится. Наблюдатель в системе K обобщит этот факт следующим образом: в любой движущейся относительно него инерциальной системе отсчета, все отрезки укорачиваются в направлении движения системы и тем значительнее, чем больше скорость, с какой движется эта система. Другие координаты y и z будут неизменными.

Какой вывод можно сделать из сказанного?

Относительность одновременности, длины предметов, продолжительности событий свидетельствуют о взаимосвязи пространства и времени, о том, что пространство и время зависят от движения материальных объектов, с которыми связываются инерциальные системы отсчета. Чтобы это понять, нужно отрешиться от привычных ньютоновских представлений об абсолютности пространства и времени.

Постоянство скорости света не согласуется с преобразованиями Галилея. В самом деле, если скорость света в системе отсчета K' равна c, то в неподвижной системе K, согласно преобразованиям, она должна равняться c + v₀. Оставаясь на позициях ньютоновской механики, невозможно понять, почему c + v₀ должно равняться c.

В классической механике расстояния между двумя точками, а также промежутки между двумя событиями, считались одинаковыми во всех системах отсчета. Другими словами обе эти величины считались инвариантными при переходе от одной системы отсчета к другой. В релятивистской механике эта инвариантность не соблюдается. Вместо этих двух инвариантов – пространственного и временного – в ней сохранился один инвариант – пространственно-временной, выражение для которого имеет вид:

c² t² – x²  = c² t' ² – x' ² = Inv,

т.е. при переходе из одной системы отсчета к другой неизменными остаются не пространство и время, а разность между произведением c²t²  и квадратом координаты.

Из того, что c²t² – x² остается неизменной явно следует взаимосвязь пространства и времени. Если увеличивается t, то возрастает и х– координата и наоборот, если изменится в сторону увеличения координата, то возрастает и время перемещения тела из начала координат в точку с этой координатой.

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть тело в системе отсчета K' обладает скоростью v', направленной по оси x'  (и x): . В системе отсчета K скорость этого тела будет . Выясним каково соотношение между скоростями v' и v. Рассмотрим производную  как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt' и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в  раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью света v'_x = c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v₀  = c. С какой скоростью v_x  движется тело относительно неподвижной системы координат?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v'_x + v₀ = 2c. По преобразованию Лоренца