Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией. В механике различают два вида энергии - потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия - это энергия движения. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, обусловленная взаимным расположением тел. Пусть тело 1 массой m (рис.9), движущееся со скоростью v, действует на соприкасающееся с ним тело с силой F.

За время dt точка приложения силы получила приращение d s = v dt, вследствие чего тело 1 совершит работу над телом 2

        δА = F d s = Fv dt 

Очевидно, что в данном случае тело 1 совершает работу δА над телом 2 за счет запаса энергии dE_к, которой оно обладает в силу своего движения, т.е. за счет кинетической энергии δА=dE_к.

Известно, что F dt = d p = d(m v) =md v, и тогда δА = Fv dt = m v d v = dE_к

Интегрируя это уравнение, получим

Е_к

Отметим, что работа А, совершаемая над телом, равна приращению его кинетической энергии ΔЕ_к

А = Е₂ – Е₁ = ΔЕ_к.

Энергия имеет ту же размерность, что и работа– 1 Дж =1Нм=кгм²/c.

Взаимодействие тел осуществляется не только непосредственным их контактом, но и бесконтактным способом через образуемые ими поля. Свойства твердых тел не локализованы только в той области пространства, где находится центр массы, а распределены в окружающем тело пространстве, образуя силовое поле.

Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено действию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил. Например, тело у поверхности Земли находится в гравитационном поле Земли.

Поле – это один из видов материи. Как и вещество, оно обладает массой и энергией. Поле - это не абстракция, вводимая для объяснения взаимодействия. Поле – это физическая сущность, обладающая определенными физическими свойствами, по которым мы его обнаруживаем и по которым о нем судим. Поле существует в пространстве. Однако не следует понимать поле как пространство. Пространство, как и движение, есть форма существования материи и нельзя его смешивать с самой материей.

Итак, тела создают в окружаемом пространстве силовое поле. Поле сил, в котором работа, совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называется потенциальным, а действующие в нем силы называются консервативными силами (в отличие от диссипативных). В потенциальном поле работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. По определению поля сил (если тело подвергается действию со стороны других тел, закономерно изменяющемуся от точки к точке) каждой точке поля можно приписать значение некоторой функции E_п(r), которая будет отражать эту закономерность. С помощью этой функции можно определить работу, совершаемую над телом, силами поля. Эта функция является выражением потенциальной энергии поля E_п(r).

Конкретный вид этой функции зависит от характера силового поля. Так для поля тяготения Земли выражение потенциальной энергии имеет вид

E_n = mgh,

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения. Знак потенциальной энергии может быть (+) или (-) в зависимости от выбора начала отсчета высоты h (рис.10). Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) перемещении d r равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком “минус”, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

δА= - dE_п

Известно, что δА = F d r, следовательно, можно записать

F d r = – dE_п.

Отсюда потенциальная энергия E_п(r) будет

E_п(r) = – ∫ F d r + С,

где С- постоянная интегрирования. Из выражения F d r = – dE_n  видно, что для консервативных сил их связь с потенциальной энергией будет иметь вид

F_x= – ∂E_п / ∂x; F_y= - ∂E_п / ∂y; F_z= - ∂E_п / ∂z,

 

или в векторном виде F = – grad E_п, где grad · i + · j + · k.

Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости пропорциональна деформации x

F_{x упр}  = – kx,

где F_{x упр} - проекция силы упругости на ось x; k –коэффициент упругости; x – деформация. По третьему закону Ньютона деформирующая сила F_x равна

F_x = – F_{x упр} = kx.

Элементарная работа δА, совершаемая силой F_x,равна δА = F_x dx = kx dx,

а полная работа  идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела E_п = kx² / 2.

Полная механическая энергия системы Е – есть энергия механического движения Е_к и энергия взаимодействия Е_п (потенциальная энергия)

Е = Е_к + Е_п.

Так, тело, находящееся на высоте h над поверхностью Земли и движущееся со скоростью v, обладает полной механической энергией Е, равной

.

При движении тел системы кинетическая энергия Е_к может превращаться в потенциальную Е_п и наоборот. Пусть в замкнутой системе Земля - тело поднятое на высоту h тело массой m обладает потенциальной энергией E_п = mgh и начинает свободно падать. У поверхности Земли его скорость будет равна   и оно приобретает кинетическую энергию

.

У поверхности Земли (h = 0) потенциальная энергия окажется равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается в эквивалентное количество кинетической энергии. Обратное превращение происходит в случае, если тело брошено вертикально вверх с некоторой скоростью v. По достижении телом высоты h, которая определится из условия v = , cкорость тела будет равна нулю и кинетическая энергия mv²/2 превратится в потенциальную энергию mgh. При этом полная энергия тела остается неизменной. Такой переход энергии возможен при условии, что тело находится под действием только силы, обуславливающей наличие потенциальной энергии (сила mg есть внутренняя сила в системе Земля - тело). При наличии внешних сил (в случае незамкнутой системы тел) изменение полной энергии будет происходить за счет работы, совершаемой этими силами.

Рассмотрим общий случай изменения кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе тел. В такой системе внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю. Пусть система состоит из N тел. Уравнение движения каждого i-го тела системы имеет вид:

m_i∙a_i =f_i, или ,

где f_i - суммарная внутренняя сила, действующая на i-е тело со стороны остальных (N-1) тел системы.

Пусть внутри системы каждое из его тел за промежуток времени dt совершает перемещение ds_i. Умножим скалярно левую и правую части уравнения на ds_i

Учитывая, что ds_i/dt = v_i, получим m_i v _id v _i = f_i ds_i. Левую часть этого равенства можно представить в виде  а правая часть есть элементарная работа δA_i=f_i ∙ds по перемещению i-го тела системы. Тогда d(E_k)_i = δA_i, т.е. изменение кинетической энергии i-го тела системы равно работе внутренних сил. Просуммируем последнее выражение по всем N телам системы

В замкнутой системе действуют консервативные силы и их работа δА равна убыли потенциальной энергии dE_п

δ А = -dE_п.

Следовательно, предыдущее равенство можно переписать в виде

dE_k =-dE_п или dE_k +dE_п =0; d(E_k +Е_п)=0,

откуда следует, что 

E =E_k+Е_п = const,

Т.е. полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Эта формула и формулировка выражают существо закона сохранения механической энергии.

Если в системе действуют и неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется и в этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии.

 

Контрольные вопроси.

1. Дайте формулировку законов Ньютона?

2. Дайте характеристику массы и силы в механике?

3. Что называется механической системой? Какие системы называются замкнутыми?

4. Дайте определение импульсу сформулируйте законы сохранения импульса?

5. Дайте определение работы и энергии. Какие виды энергии рассматривают в механике?

6. Сформулируйте закон сохранение энергии в механике и проиллюстрируйте его выполнение на примере свободно подающего тела?

7. Какова связь между силой и потенциальной энергией?  

Тесты.

1. На тело, движущееся со скоростью v, на пути S действует сила F под углом α. Может ли быть при этом работа силы отрицательной?

а) не может; б) может, если модуль скорости очень мал; в) может, если α = 0; г) может, если 90⁰< α <180⁰.

2. Какая из приведенных ниже формул выражает второй закон Ньютона?   

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Какая физическая отрицательная величина измеряется в джоулях?

а) сила; б) работа; в) мощность; г) энергия; д) вес.

4. Какая из приведенных ниже формул определяет кинетическую энергию тела массой m движущейся со скоростью v?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример решения задач.

Груз массой 700 кг падает с высоты 5м для забивки сваи массой 300кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.

         Дано: m₁=700кг; h=5м; m₂=300кг; s=4см=0.04м

         Найти: F_ср.

         Решение. По условию задачи удар неупругий, и поэтому груз и свая после удара двигаются вместе, их путь s=4см. На движущуюся систему действует сила тяжести и сила сопротивления грунта F_ср. По закону сохранения энергии

Т+П=А, (1)

Где Т- кинетическая энергия; П- потенциальная энергия; А- работа сил сопротивления, которую можно определить по формуле А= F_срs. При движении системы на пути s изменяются её потенциальная и кинетическая энергия

П=(m₁+m₂)gs;

,

где u – общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного движения). Используя это, запишем равенство (1) в виде

. (2)

Для оценки средней силы сопротивления F_ср установим значение общей скорости и сваи, для чего применим закон сохранения импульса:

.    (3)

Для системы «груз - свая» закон сохранения импульса имеет вид:

,  (4)

где v – скорость груза в конце его падения с высоты h; m₁ν – импульс груза в конце его падения до удара о сваю;  - импульс груза и сваи после удара.

Скорость груза v в конце падения с высоты h определяются без учета сопротивления воздуха и трения:

.               (5)

Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (4) и (5):

         (6)

Определим среднюю силу сопротивления материала F_ср из формул (2)и (6):

F_ср  (7)

(8)

. F_ср