Импульс. Закон сохранения импульса

 

Векторная величина p, равная произведению массы m на скорость v, называется импульсом материальной точки.

p = m v.

Из выражения II закона Ньютона следует, что

.

Интегрирование этого выражения в пределах от t₁ до t₂ дает приращение импульса за промежуток времени Δt = t₂ – t₁

 если   то .

Таким образом, зная изменение импульса со временем, можно установить силу, действующую на тело.

И наоборот, зная импульс силы F Δt, можно определить изменение импульса Δ p и изменение скорости тела. Размерность импульса кг·м/c.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (систему тел). Введем определение внутренних и внешних сил. Внутренние силы – силы, с которыми на данное тело воздействуют другие тела системы. Внешние силы – силы, обусловленные воздействием со стороны тел, не принадлежащих системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Импульсом системы называется векторная сумма

p = p ₁ + p ₂ + …+ p_n =

Точка, положение которой в пространстве задается радиусом-вектором r _c

,

называется центром инерции системы (здесь m_i и r_i - масса и радиус-вектор i – го тела системы, m - суммарная масса системы).Отметим, что центр инерции системы совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра инерции v _c

.

Учитывая, что m _i v _i = p _i, а  , можно записать p = m v _c.

Таким образом, импульс системы равен произведению массы m на скорость V_c центра инерции системы.

Пусть система состоит из трех тел (рис.6). В системе действуют: F ₁₂ , F ₂₃ и т.д. – внутренние силы; F ₁, F ₂, F ₃ - равнодействующие внешних сил. Для каждого из тел системы можно записать

Из закона Ньютона следует, что F ₁₂ = - F _{2 1}, F ₁₃ =- F ₃₁, F ₂₃ = - F ₃₂. Поэтому суммируя левые и правые части этих уравнений, получим:

Если внешние силы отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), то d p /dt = 0, а p = const. Следовательно, для замкнутой системы импульс есть постоянная величина. Полученный результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного n числа тел

          (i = 1, 2, 3, …. n)

Суммируя эти равенства для всех n тел системы и учитывая, что F _ik= - F _ki, получим , т.е., производная импульса по времени равна сумме внешних сил. Для замкнутой системы сумма внешних сил равна нулю  и для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

.

Если внешние силы действуют, но их равнодействующая равна нулю, то импульс также остается постоянным. Если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но ее проекция на некоторое направление, например, x, равна нулю, то для составляющей импульса на данное направление выполняется

_срх

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр инерции замкнутой системы тел либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно.

Работа и мощность

 

Действие силы F на пути s характеризуется работой, которая является количественной мерой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Энергия - это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи (механическая, тепловая, электромагнитная ядерная и др.).

1

Под действием силы F тело проходит путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, либо компенсирует действие других сил, препятствующих движению (например, силы трения). Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы, и направление силы F совпадает с направлением перемещения s, то работа А равна скалярному произведению F и s.

А= F · s = F · s [Дж =Н · м ].

Если сила F составляет с направлением перемещения угол α (рис. 7), то работа

A =F_s · s = F·s · cos α,

где F_s=F·cosα - проекция силы на направление перемещения. Работа - величина алгебраическая.

Если: 0 ≤ α < π / 2, то cos α > 0 и А > 0;

   α = π / 2, то cos α = 0 и А = 0;

   π / 2 < α ≤ π, то cos α < 0 и А < 0.

В общем случае движение может быть не прямолинейным и сила может изменяться по величине и по направлению.

Для вычисления работы разобьем путь на элементарные участки Δs столь малые, что проекцию силы F_s  на таком участке можно считать постоянной (рис.7).

Тогда работа на каждом таком участке будет равна ΔA_i ≈ F_si · Δs_i Работа на всем пути s будет равна .                                 

При Δs_i →0 это приближенное равенство перейдет в строгое

 

На графике (рис.8) полная работа силы на участке 1-2 равна площади фигуры 1234.

Скорость совершения работы характеризуется мощностью:

N = dA/dt  [Вт], 1Вт= 1 Дж/c.

За время dt сила F совершает работу F_s ds и мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, равна . Если направление действия силы совпадает с направлением скорости, то N=F ·v. В случае, если

F ≠ const, то