Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интервал и радиус сходимости степенного ряда ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-| |;| |) весь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значениях х, а вне этого интервала ряд расходится. Положив | |=R, интервал можно записать в виде (-R;R). Этот интервал называется интервалом сходимости. Число R называют радиусом сходимости, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых |x|<R ряд абсолютно сходится, а при |x|>R ряд расходится. В частности, когда ряд сходится лишь в одной точке , то R=0, если же ряд сходится при всех значениях , то R=∞. Сходимость ряда на концах интервала сходимости при проверяют отдельно. Радиус сходимости можно найти по формуле, которая следует из признака Даламбера: (14.8) Используя радикальный признак Коши, можно установить, что (14.9)
Замечания: 1) Если , то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R=∞. Если , то R=0. 2) Интервал сходимости степенного ряда (14.7) находят из неравенства . 3) Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяют признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей исходного ряда. Пример 2.2. Найти область сходимости ряда: Решение: , т.е. ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Пример 2.2. Найти область сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала сходимости:
Решение: Ряд неполный, поэтому используем признак Даламбера: ; По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при l<1, т.е. . Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала сходимости. При х=-1 имеем ряд -1+1/3-1/5+1/7-1/9+… Этот ряд сходится по признаку Лейбница. При х=1 имеем ряд 1-1/3+1/5-1/7+… Этот ряд также сходится по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости ряда [-1;1].
Лекция 15 Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена Для любой функции f(x), определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора: (15.1) где (15.2) – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде . Формулу (15.1) можно записать в виде: (15.3), где (15.4) – многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член (), то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням , которое называется рядом Тейлора: (15.5) Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции f(x) по степеням х в ряд Маклорена: (15.6) Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x): он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так например, функция имеет в точке х=0 производные всех порядков при всяком n. Ряд Маклорена имеет вид: Ряд сходится, но его сумма равна 0, а не f(x). Теорема. Для того, чтобы ряд Тейлора (3.5) сходился к f(x) в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы (15.1) стремился к нулю при n→∞, т.е. . Замечание: Если ряд Тейлора (15.5) сходится к порождающей его функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора (15.1) равен остатку ряда Тейлора, т.е. (напомним, что , а , где S(x) – сумма ряда Тейлора).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 69; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.21.229 (0.006 с.) |