Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрические приложения определенного интеграла
Определение площадей плоских фигур Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой в прямоугольных координатах имеет вид y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b (a<b) находится по формуле: Отрезок [a;b] следует разделить на части, в каждой из которых функция f(x) сохраняет один и тот же знак. При этом следует соблюдать такое правило знаков: площади, находящиеся над осью Ох, берутся со знаком плюс, а площади, расположенные под осью Ох, со знаком минус. Если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми, уравнения которых в прямоугольных координатах , причем всюду на отрезке [a;b] и двумя прямыми х=а и х=b, то площадь определяется по формуле: и в этом случае надо соблюдать указанное правило знаков. Примеры. Найти площадь, ограниченную осью Ох и параболами: 1) Решение: Найдем вершину параболы. Найдем корни параболы: Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом ставим знак минус при определении площади фигуры: 2) Решение: Найдем вершину параболы. Найдем корни параболы: Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом ставим знак минус при определении площади фигуры:
Лекция 12 Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (I рода) Пусть функция интегрируема на любом отрезке . Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом: (3.1) (3.2) (3.3), где с – произвольное число (обычно с=0). Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях формул (3.1), (3.2), (3.3). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися. Существуют три признака сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода: 1. Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Этот признак называется признаком сравнения. 2. Если при и существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Этот признак называется предельным признаком сравнения.
3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся. Примеры. Выяснить, сходятся ли интегралы: 1) 2) Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода) Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет разрыв II рода при x=b. Тогда несобственные интегралы от неограниченной функции определяются следующим образом: (3.4) Если предел, стоящий в правой части равенства (3.4) существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично, если функция имеет разрыв II рода в точке x=a, то полагают: (3.5) Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке , то (3.6) В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба правые интегралы сходятся. Существуют два признака сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода: 1. Если на промежутке функции и непрерывны, при x=b имеют разрыв II рода и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . 2. Пусть на промежутке функции и непрерывны и при x=b имеют разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Примеры. 1) 2) Лекция 13 Числовые ряды Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида: (13.1) где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда; - общий член ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: = f(n) (1.2) Сумма первых n членов ряда (13.1) называется частичной суммой ряда и обозначается: (13.2) Рассмотрим последовательность частичных сумм: Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают сумму ряда так: (13.3) Если не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Рассмотрим некоторые важные свойства рядов: 1) Если ряд (1.1) сходится и его сумма S, то ряд
(13.4), где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1.1) расходится и с≠0, то и ряд (13.4) расходится. 2) Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд и их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого ряда соответственно равна . Следствия: а) сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд; б) сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть сходящимся или расходящимся рядом. 3) Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся одновременно. Следствие: если ряд (13.1) сходится, то его остаток: (13.5) стремиться к нулю при n→∞, т.е. .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 43; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.231.184 (0.017 с.) |