Кафедра математики и информатики

Кафедра математики и информатики

 

 

Майорова В.А.

 

Математика

Конспект лекций

Раздел «Математический анализ»

Часть II

 

 

Москва

2010

Лекция 1

Дифференциал функции

Пусть функции  определена на промежутке  и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная .

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать: ,  - бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение функции  состоит из двух слагаемых:

 1) линейного слагаемого относительно ; 2) нелинейного слагаемого – бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно  часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Пример 1.1.

Найти приращение и дифференциал функции  при .

Решение.

При  имеем

Различия между приращением функции и ее дифференциалом всего 0,02 (или 0,5%).

Пример 1.2.

Найти дифференциал функции .

Решение.

Отсюда следует важный вывод: дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде , откуда можно записать и формулу для производной: .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции  в данной точке, когда х получает приращение .

Свойства дифференциала:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6.  где

Свойство 6 называется инвариантностью формулы дифференциала.

Понятие первообразной функции

Функция F (x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции f (x) на интервале (a; b), если в любой точке x интервала (a; b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F ′(x), равную f (x), или дифференциал F ′(x) dx = f (x) dx.

Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a; b), то, очевидно, и функция F (x)+ C, где С – любое постоянное число, также является первообразной функции f (x) на интервале (a; b). Естественно возникает вопрос о том, как связаны между собой различные первообразные одной и той же функции f (x). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Если F ₁ (x) и F ₂ (x) – любые две первообразные функции f (x) на интервале (a; b), то всюду на этом интервале F ₁ (x) - F ₂ (x) = C, где C - некоторая постоянная.

Следствие. Если функция F (x) является одной из первообразных функции f (x) на интервале (a; b), то любая первообразная Ф(х) функции f (x) на этом интервале имеет вид Ф(х)= F (x)+ C, где C - некоторая постоянная.

Неопределенный интеграл

 Совокупность всех первообразных функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и обозначается формулой:

                 (1.1)

В формуле (1.1) знак называется знаком интеграла, выражение f (x) dx -подынтегральным выражением, сама функция f (x) – подынтегральной функцией, переменная х – переменной интегрирования.

Подчеркнем, что если первообразная функции f (x) на интервале (a; b) (а стало быть, и неопределенный интеграл от этой функции) существует, то в формуле (1.1) подынтегральное выражение f (x) dx равно дифференциалу dF (x) любой из первообразных F (x) функции f (x).

На вопрос о существовании у функции f (x) первообразной и неопределенного интеграла отвечает следующая теорема.

Теорема 2 (Теорема Коши). У любой непрерывной на интервале (a; b) функции f (x) существует на этом интервале первообразная и неопределенный интеграл.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство “параллельных” кривых y = F (x)+ C. Каждому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Таблица основных неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (из таблицы дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла, например: .

Интегралы в приводимой ниже таблице, называются табличными.

В таблице основных интегралов переменная интегрирования x может быть как независимой переменной, так и функцией от независимой переменной.

Таблица основных интегралов

1. ;

2.

3.

4.

5. ;

6. ;

7.

8.

9. ;

10. ;

11.

12.

13.

14.

15.

16. ;

17.

18.

Рекурсивная формула:

Формула интегрирования иррациональностей следующего вида:

 

Лекция 2

Примеры.

1)

2)

 

Лекция 3

Лекция 4

Метод частных значений

Задают переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получают систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя дроби  просты и действительны. Тогда удобно последовательно задавать х значения, равные корням знаменателя.

Общие правила интегрирования рациональных дробей:

1) Если дробь неправильная, то ее надо представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2) Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей.

3) Интегрируют многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Примеры.

1)

 

Лекция 5

Интегралы вида

,

где α, β, γ – дробно-рациональные числа.

Интегралы вычисляются постановкой , где n – наименьшее общее кратное знаменателей дробей α, β, γ. С помощью такой подстановки интеграл приводится к интегралу дробно-рациональной функции.

Примеры.

1).

2)

3)

 

Интегралы вида

,

где α, β, γ – дробно-рациональные числа.

Интегралы вычисляются постановкой , где n – наименьшее общее кратное знаменателей дробей α, β, γ. С помощью такой подстановки интеграл приводится к интегралу дробно-рациональной функции.

Частным случаем этого интеграла является интеграл с рациональной функций R от линейной функции (ax+b) c различными показателями. Тогда применяется подстановка .

Примеры.

1)

2)

3)

 

5.3. Применение тригонометрических подстановок для вычисления интегралов вида  

Для интегралов, не содержащих других иррациональностей, кроме квадратичного корня из квадратного трехчлена, применяются также тригонометрические подстановки, которые приводят интеграл от рациональной функции синуса и косинуса.

Чтобы применить эти подстановки, следует выполнить ряд преобразований. Из квадратного трехчлена, находящегося под корнем, надо выделить полный квадрат, после чего применить линейную подстановку. Это дает возможность получить под корнем следующие выражения:

1) при a>0 – сумму квадратов вида .или . После того, как под корнем окажется выражение вида (1) для уничтожения иррациональности в подынтегральном выражении следует применить подстановку . Если под корнем окажется выражение вида (2), то для уничтожения иррациональности в подынтегральном выражении надо применить подстановку

2) при a<0 – выражения  вида .или . После того, как под корнем окажется выражение вида (3) для уничтожения иррациональности в подынтегральном выражении следует применить подстановку . Если под корнем окажется выражение вида (4), т.е. отрицательное выражение, по подстановки не применяются.

При решении интегралов используются следующие табличные интегралы:

Примеры:

1)

2)

 

3)

 

 

Лекция 6

Примеры

1)

 

 

2)

3)

 

4)

5)

 

Лекция 8

Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на [a;b], то имеет место формула:

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке [a;b], надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений первообразной на концах отрезка [a;b].

Примеры:

1)

2)

3)

4)

 

Лекция 9

Лекция 10

 Вычисление определенного интеграла

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Формула применяется во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f(x).

Пример.

2. Интегрирование подстановкой (замена переменной).

Теорема. Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции была сделана подстановка х=φ(t), причем эта функция удовлетворяет следующим условиям: 1) функция х=φ(t) и ее производная х’=φ’(t) непрерывны при ; 2) отрезок  является областью определения функции х=φ(t), а отрезок [a;b] является областью ее значений; 3)  .

 Тогда справедлива следующая формула:

Пример.

3. Интегрирование по частям.

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула:

Пример.

1)

2)

4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

 Пусть задана функция  непрерывная на отрезке [-a;a], симметричном относительно точки х=0. Тогда справедлива следующая формула:

Пример.

1) ; 2)

Лекция 11

Лекция 12

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы

 с бесконечными пределами интегрирования (I рода)

 Пусть функция  интегрируема на любом отрезке . Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом:

(3.1)

(3.2)

(3.3), где с – произвольное число (обычно с=0).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях формул (3.1), (3.2), (3.3). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Существуют три признака сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода:

1. Если на промежутке непрерывные функции  и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла . Этот признак называется признаком сравнения.

2. Если при  и существует конечный предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно. Этот признак называется предельным признаком сравнения.

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры.

Выяснить, сходятся ли интегралы:

1)

2)

Несобственные интегралы

 от неограниченных функций (II рода)

 Пусть функция  непрерывна на промежутке  и имеет разрыв II рода при x=b. Тогда несобственные интегралы от неограниченной функции определяются следующим образом:

(3.4)

Если предел, стоящий в правой части равенства (3.4) существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если функция  имеет разрыв II рода в точке x=a, то полагают:

(3.5)

Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке , то     (3.6)

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба правые интегралы сходятся.

Существуют два признака сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:

1. Если на промежутке  функции  и непрерывны, при x=b имеют разрыв II рода и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

2. Пусть на промежутке  функции  и непрерывны и при x=b имеют разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1)

2)

Лекция 13

Числовые ряды

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида:

(13.1)

где  - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда;  - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n:

= f(n) (1.2)

Сумма первых n членов ряда (13.1) называется частичной суммой ряда и обозначается:     (13.2)

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают сумму ряда так:

(13.3)

Если  не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:

1) Если ряд (1.1) сходится и его сумма S, то ряд

(13.4),

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1.1) расходится и с≠0, то и ряд (13.4) расходится.

2) Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд и их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого ряда соответственно равна .

Следствия:

а) сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд;

б) сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть сходящимся или расходящимся рядом.

3) Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие: если ряд (13.1) сходится, то его остаток:

(13.5) стремиться к нулю при n→∞, т.е. .

Гармонический ряд

Теорема. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд (13.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Следствие. Достаточное условие расходимости ряда.

Если или предел не существует, то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

.

Гармоническим рядом называется ряд:

Данный ряд расходится (доказательство не приводим), хотя , так как этот признак не является достаточным для того, чтобы утверждать, что ряд сходится.

II. Признак Даламбера

Теорема. Пусть дан ряд (13.1)с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Замечания:

а) если l=1, то ряд (13.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся;

б) признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или аⁿ.

 

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

 

Пример 5. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

 

Лекция 14

 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

 (14.1).

.

Теорема. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд (14.1) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда (14.1) удовлетворяет неравенствам:

. (14.2)

Замечания:

1) Исследование знакочередующегося ряда вида  (с отрицательным первым членом) сводится к исследованию ряда (14.1) путем умножения всех его членов на «-1»;

2) Соотношение (14.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, поэтому ошибка меньше чем модуль первого из отброшенных членов.

Степенные ряды

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:    (14.4)

Придавая х определенное значение , получаем числовой ряд:

(14.5). Этот ряд может сходиться или расходиться. Если полученный ряд сходится, то точка  называется точкой сходимости ряда (14.4), если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством: .

Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. степенной ряд имеет вид:    (14.6),

где - коэффициенты ряда действительные или комплексные числа,

- действительные переменные.

Степенной ряд, разложенный по степеням ,имеет вид:

(14.7),

где - некоторое постоянное число.

Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку

Теорема Абеля. Сходимость степенных рядов.

Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Следствие: Если степенной ряд расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству .

Лекция 15

 Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена

Для любой функции f(x), определенной в окрестности точки  и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

(15.1)

где      (15.2) – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде .

Формулу (15.1) можно записать в виде:

(15.3),

где      (15.4) – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки  и остаточный член  (), то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням  , которое называется рядом Тейлора:

(15.5)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции f(x) по степеням х в ряд Маклорена:

(15.6)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x): он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так например, функция  имеет в точке х=0 производные всех порядков при всяком n. Ряд Маклорена имеет вид:

Ряд сходится, но его сумма равна 0, а не f(x).

Теорема. Для того, чтобы ряд Тейлора (3.5) сходился к f(x) в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы (15.1) стремился к нулю при n→∞, т.е. .

Замечание: Если ряд Тейлора (15.5) сходится к порождающей его функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора (15.1) равен остатку ряда Тейлора, т.е.  (напомним, что , а , где S(x) – сумма ряда Тейлора).

Таблица разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1)

2)

3)

4)

Этот ряд называется биноминальным. На концах интервала при  cходимость ряда зависит от конкретных значений m:

Если m – целое положительное число, то биноминальный ряд представляет собой формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1, n-й член ряда и все последующие члены равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5)

6)

7)

8)

Пример. Разложить в ряд функции а) ; б)

Решение: а) Используем ряд , заменяя :   ;

 

и, наконец,

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

б) В разложении  заменим х на (-х):

Теперь:

Кафедра математики и информатики

 

 

Майорова В.А.

 

Математика

Конспект лекций