Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема 2. Предельный признак сравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, не равный нулю, предел , то ряды (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно. Пример 2. Исследовать сходимость ряда: Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии . Этот ряд сходится, т.к. q=1/2<1. Мы имеем . Следовательно, по теореме 1 исходный ряд сходится. Пример 3. Исследовать сходимость ряда: Решение. Сравним данный ряд с гармоническим расходящимся рядом. Мы имеем . Следовательно, исходный ряд расходится. Ряд, с которым сравнивают исследуемый ряд, называется эталонным. В качестве эталонных рядов используются: 1) гармонический ряд Он расходится. 2) обобщенный гармонический ряд . При α>1 ряд сходится, а при - расходится. 3) Геометрический ряд . Ряд сходится при |q|<1, и расходится при . Замечания: a) при решении примеров иногда требуется отбросить несколько членов ряда, если сначала есть отрицательные члены, а затем ряд знакоположительный. По третьему свойству это не влияет на сходимость ряда. b) Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение α выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя. II. Признак Даламбера Теорема. Пусть дан ряд (13.1)с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Замечания: а) если l=1, то ряд (13.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся; б) признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или аn.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда: Решение:
Пример 5. Исследовать сходимость ряда: Решение:
III. Радикальный признак Коши Теорема. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Пример 6. Исследовать сходимость ряда: Решение: IV. Интегральный признак Коши Теорема. Если члены знакоположительного ряда (1) могут быть представлены как числовые значения некоторой монотонно убывающей на [1;+∞) функции f(х) так, что , то: 1) если сходится, то сходится и ряд (1); 2) если расходится, то расходится и ряд (1)
Замечание: Вместо можно брать . Отбрасывание k первых членов ряда в ряде (1) не влияет на сходимость или расходимость ряда. Пример 7. Исследовать сходимость ряда: Решение: Функция удовлетворяет условиям теоремы. .
Лекция 14 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующимся рядом называется ряд вида: (14.1). . Теорема. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (14.1) сходится, если: 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ; 2. Общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма S ряда (14.1) удовлетворяет неравенствам: . (14.2) Замечания: 1) Исследование знакочередующегося ряда вида (с отрицательным первым членом) сводится к исследованию ряда (14.1) путем умножения всех его членов на «-1»; 2) Соотношение (14.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, поэтому ошибка меньше чем модуль первого из отброшенных членов.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 80; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.140.188.16 (0.01 с.) |