Раздел «математический анализ»

Часть II

 

 

Москва

2010

Лекция 1

Дифференциал функции

Пусть функции  определена на промежутке  и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная .

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать: ,  - бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение функции  состоит из двух слагаемых:

 1) линейного слагаемого относительно ; 2) нелинейного слагаемого – бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно  часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Пример 1.1.

Найти приращение и дифференциал функции  при .

Решение.

При  имеем

Различия между приращением функции и ее дифференциалом всего 0,02 (или 0,5%).

Пример 1.2.

Найти дифференциал функции .

Решение.

Отсюда следует важный вывод: дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде , откуда можно записать и формулу для производной: .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции  в данной точке, когда х получает приращение .

Свойства дифференциала:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6.  где

Свойство 6 называется инвариантностью формулы дифференциала.

Понятие первообразной функции

Функция F (x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции f (x) на интервале (a; b), если в любой точке x интервала (a; b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F ′(x), равную f (x), или дифференциал F ′(x) dx = f (x) dx.

Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a; b), то, очевидно, и функция F (x)+ C, где С – любое постоянное число, также является первообразной функции f (x) на интервале (a; b). Естественно возникает вопрос о том, как связаны между собой различные первообразные одной и той же функции f (x). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Если F ₁ (x) и F ₂ (x) – любые две первообразные функции f (x) на интервале (a; b), то всюду на этом интервале F ₁ (x) - F ₂ (x) = C, где C - некоторая постоянная.

Следствие. Если функция F (x) является одной из первообразных функции f (x) на интервале (a; b), то любая первообразная Ф(х) функции f (x) на этом интервале имеет вид Ф(х)= F (x)+ C, где C - некоторая постоянная.

Неопределенный интеграл

 Совокупность всех первообразных функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и обозначается формулой:

                 (1.1)

В формуле (1.1) знак называется знаком интеграла, выражение f (x) dx -подынтегральным выражением, сама функция f (x) – подынтегральной функцией, переменная х – переменной интегрирования.

Подчеркнем, что если первообразная функции f (x) на интервале (a; b) (а стало быть, и неопределенный интеграл от этой функции) существует, то в формуле (1.1) подынтегральное выражение f (x) dx равно дифференциалу dF (x) любой из первообразных F (x) функции f (x).

На вопрос о существовании у функции f (x) первообразной и неопределенного интеграла отвечает следующая теорема.

Теорема 2 (Теорема Коши). У любой непрерывной на интервале (a; b) функции f (x) существует на этом интервале первообразная и неопределенный интеграл.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство “параллельных” кривых y = F (x)+ C. Каждому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.