Паритет опционов (Put-call parity relationship) означает паритет их покупательной способности.

Паритет – состояние опциона на момент его истечения, когда премия по нему состоит только из внутренней стоимости.

Можно создать портфель с гарантированной минимальной стоимостью при использовании стратегии, предусматривающей вложение части денег в акции, а части в опционы «колл». Существует также и иной путь: покупка акций и опциона «пут». 

Можно комбинировать также бескупонные облигации с опционами и акциями. Портфель, состоящий из акций плюс европейский «пут»(с ценой исполнения Е) эквивалентен портфелю, состоящему из безрисковой бескупонной облигации (с номинальной стоимостью Е) и европейского «колл» (с ценой исполнения Е). В соответствии с законом единой цены они должны иметь одинаковую стоимость.

Эта связь следующая:

                                                                 (66)

где S – курс акций,

Е – цена исполнения опциона,

P – цена опциона «пут»,

r – безрисковая процентная ставка,

T – промежуток времени до даты истечения опциона,

C – цена опциона «колл»,

е − экспонента.

Равенство (48) представляет собой уравнение паритета опционов «пут» и «колл».

Цена исполнения приведена к текущей стоимости по непрерывной ставке начисления, знакомой из курса финансовой математики. Напомним, нарощенная сумма за n лет, при непрерывном начислении процентов

FV = PV (1+r/m)^mt → e^rt при m→ ∞                                      (67)

Ставка непрерывного начисления весьма удобна, когда заранее не известная продолжительность временного интервала: на промежутках менее года она дает результат, близкий к наращению по ставке простого процента, на интервале более года – к наращению по ставке сложных процентов. Таким образом, ставка непрерывного начисления позволяет абстрагироваться от вопроса «длинных» или «коротких» денег.

Таким образом, уравнение паритета показывает взаимосвязь между премиями опционов по одному и тому же базисному активу с одинаковыми датами истечения, что исключает возможность арбитража. Иметь базовую акцию и купить опцион пут обеспечит такую же прибыль, как покупка колл и инвестирование величины Е под безрисковую ставку.

 Помимо использования с целью определения цены одной из любой четырёх ценных бумаг по стоимости трёх других, уравнение паритета можно применять в качестве своеобразного «рецепта» для синтезирования одной из указанных ценных бумаг с помощью остальных трёх.

Например, «колл» может быть получен в результате следующих действий: инвестор приобрёл акции, одновременно одолжив сумму, соответствующую приведённой стоимости цены исполнения и купил «пут»:

                                                                  (68)

Уравнение (50) даёт представление о природе опциона «колл». Оно не учитывает выплат дивидендов по акциям. Его можно рассматривать как формулу для конвертации «пут» в «колл» и обратно.

4.Базовые модели стоимостной оценки опционов

Было бы желательно иметь возможность рассчитывать цену на опцион «колл», не зная цену на «пут». Для этого необходимо сделать некоторые предположения относительно распределения вероятностей для предполагаемого в будущем курса акций.

Предположим, что курс акций при наступлении срока истечения может принимать только одно из двух значений. Такое нереальное предположение создаёт основу для реалистичной биномиальной модели оценки стоимости опционов, широко используемой на практике. Интуитивное представление о стоимости опционов на основании двухступенчатой модели ведёт также и к модели Блэка-Шоулза.

Рассмотрим вначале двухступенчатую модель.

При использовании только акций и безрискового займа конструируется синтетический опцион «колл». Далее в соответствии с законом единой цены определяется цена «колл», которая должна равняться цене построенного таким образом синтетического «колла». Рассмотрим одногодичный «колл» с ценой исполнения 100. Мы исходим из того, что цена подлежащего пакета акций в течение года вырастет или упадёт на 20 %. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых. Сравним теперь доходы по «колл» с доходом портфеля, составленного с использованием средств, взятых в кредит. Сумма, которую можно получить сегодня, равна 80/1.05 = 76,19, поскольку минимальная гарантированная цена акций (для чего занимается и «под что»), через год равна 80.

 

 

На сегодня                                                              Через 1 год

Затраты на формирование                 цена акций     доход портфеля

портфеля                                            |------- 120                 40

23,81------------------------------------------|                               

                                                      |------- 80                                 0

Рис. 19 Результат инвестиций в двухступенчатой модели

Далее следует найти, какая часть пакета акций необходима для дублирования дохода по опциону «колл». Такая часть называется коэффициентом хеджирования опциона.

В более широком смысле коэффициент хеджирования – это разность стоимости опционов / разность цен акции в лучшем и худшем случае.

h = ΔPo/ΔS                                                                                         (69)

где Po – стоимость опциона

В нашем приемре h = (20-0) /(120 – 80) = 0,5. Таким образом, если бы мы купили ½ пакета акций и заняли для этих целей 38,095, у нас получился бы синтетический «колл» с С = 11,905.

Биномиальная модель. Для того, чтобы анализ был более реалистичен, разделим годичный срок на два периода по полгода и предположим, что курс акций может вырасти либо снизиться в течение каждого полугодия на 10. Теперь нужно рассматривать три возможных курса: 120, 100 и 80, а соответствующие доходы по «колл» составят 20, 0 и 0. Используемый метод состоит в нахождении стратегии инвестиционного самофинансирования, способной продублировать структуру платежей по опциону «колл». Эта стратегия называется динамической, требующей корректировки количества акций и объёма займа по истечении шести месяцев соответствии со сложившимся к этому моменту курсу.

Примем также, что средства, вложенные в инвестиционный портфель, не добавляются и не забираются. В каждый момент времени данная стратегия сводится к тому, что было рассмотрено в приведённой двухступенчатой модели. Имеем дерево решений (рис.20).

:
Курс акций/действия    Курс акций/действия                   Курс акций Конечная стоимость

в данный момент       через 6 месяцев                 через 1 год    портфеля  

                                                                                 

                                                                              120     

                                                                                               Продажа акций 120

                                                                                               Возврат займа -100

                              110. Покупка ещё                                  Всего                   20

                              ½ пакета акций и

увеличение займа до 100

100                                           Всего 10

Покупка ½ пакета акций                                                            Продажа акций 100

заём 45                                                                             100               Возврат займа -100

Всего инвестиций 5.                                                                            Всего 0

 

                              90.                                                                             

                              Продажа пакета акций

                              и возврат займа.

Всего 0.        

 

                                                                               80        Всего 0.

 

Рис. 20. Результат инвестиций в биномиальной модели

Применение такой стратегии к концу года обеспечит те же платежи, что и реализация опционного контракта. Она называется биномиальной моделью оценки стоимости опциона. Число используемых промежутков времени зависит от требуемой в данном конкретном случае точности.

Модель Блэка-Шоулза. В 1973 году Фишером Блэком и Майроном Шоулзом были опубликованы работы, содержащие анализ взаимосвязи премий опционов с различными страйками и для различных серий. Позднее, в 1997 году Шоулзу и Мертону, развившему модель, была вручена Нобелевская преvия по экономике. Вооружив спекулянтов и арбитражеров инструментом оценки справедливой рыночной цены опционов, авторы модели способствовали беспрецендентному росту ликвидности рынка опционов и развитию Чикагской фондовой биржи.

 При выводе модели использованы соображения, аналогичные описанным выше, однако при этом предполагается осуществление непрерывной корректировки дублирующего портфеля.

Модель предполагает, что цена акций подчиняется логнормальному (логирифмически нормальному) распределению. Или, иначе говоря, доходность акций подчиняется нормальному распределению (см. рис.21).

Отступление по поводу логарифма: для получения доходности на основе непрерывного начисления вычисляется логарифм отношения курсов акции S_новый/S_{прежний.} Полученная доходность является «шаговой», то есть измеряет, в какой степени возрос инвестированный в акцию капитал за единичный период наблюдении.

r_t = ln (S_t/S_t-1), где S_t – рыночный курс акции в момент t.

Отступление по поводу распределения: если случайная величина распределена логнормально, это значит, что ее натуральный логарифм распределен нормально. Логнормальное распределение типично для случайных величин, которые скорее растут, чем уменьшаются.

 

Рис. 21 Логарифмически нормальное распределение – плотность вероятности

 

Модель позволяет оценивать только европейский опцион, базисный актив которого – обыкновенная акция.

Допущения:

 - волатильность курсовой цены акции σ известна и не меняется;

- дивиденды по акции не выплачиваются;

- базисные акции бесконечно делимы;

- колебания курса обусловлены только диффузионным процессом, т.е меняться скачкообразно, пропуская промежуточные значения, не могут.

Для оценки опциона колл модельная оценка:

                       ,               (70)

                       ,                 (71)

Где C - цена опциона «колл»

S - курс базовых акций

E - цена исполнения опциона

R - безрисковая процентная ставка

T - промежуток времени

σ - риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент

N(d) - вероятность того, что значение нормально распределённой случайной переменной меньше d.

Если по формуле (70) получена оценка выше рыночной стоимости опциона – значит он недооценен рынком и его целесообразно покупать.

 

Для опциона пут формула Блэка-Шоулза записывается так:     .                           (72)

Предполагается, что до срока истечения выплата дивидендов не производится.

Позже Роберт Мертон обобщил эту модель, добавив к ней постоянный дивиденд. В результате:                       

,                            (73)  

В реальной ситуации ни изменчивость, ни дивидендная доходность акции не известны с полной определённостью, подвержены случайным изменениям с течением времени. Существуют модели, которые учитывают вероятностный характер этих переменных.

Один из понижающих коэффициентов модели - N(d1) имеет важный практический смысл. Данная величина соответствует коэффициенту хеджирования опциона колл. Графически N(d1) соответствует наклону кривой стоимости опциона.

 

Рис. 22 Кривая стоимости опциона согласно Модели Блэка - Шоулза

 

Наклон кривой в любой точке представляет собой ожидаемое изменение стоимости опциона колл при изменении цены базисной акции на 1 д.е.

Поскольку коэффициент хеджирования обычно меньше 1, то увеличение курса акции на 1 руб. ведет к росту стоимости опциона колл на меньшую сумму, например 50 коп. Но опционная премия стоит в десятки раз меньше, чем базовый актив, и в процентном отношении изменение его цены больше. Именно это позволяет говорить, что опционы предлагают «сильный финансовый рычаг».

Смысл коэффициента хеджирования одинаков в обеих моделях: за счет одновременно продажи опциона колл и покупки акций в количестве, равном коэффициенту хеджирования N(d1) = h, можно построить хеджированный, то есть практически безрисковый портфель.

ПРИМЕР N(d1) = h = 0,88. Безрисковый портфель можно получить, выписав 1 опцион колл и купив 0,88 акции.

Таким образом, основными моделями ценообразования опционов являются модель Блэка-Шоулза, разработанная для европейского опциона, базисным активом которого является обыкновенная акция. Биномиальная модель свободна от ограничений на тип опциона и может использоваться также для оценки американских опционов. По ней можно оценить стоимость опциона за ряд периодов до даты исполнения.

 

5.Характеристики и типы фьючерсных контрактов

Фьючерсная торговля - это форма биржевой торговли некоторым биржевым товаром посредством фьючерсных (срочных) контрактов.

Фьючерсный контракт - это стандартный биржевой договор на поставку биржевого актива в указанный в договоре срок по цене, определенной сторонами при совершении сделки.