Визначення рівня надійності систем з послідовним з’єднанням елементів

План лекції

1. Методика визначення рівня надійності відновлюваних систем з послідовно з’єднаними елементами.

2. Методика визначення рівня надійності не відновлюваних систем.

3. Аналітичні співвідношення для розрахунку рівня надійності систем з послідовно з’єднаними елементами.

 

Блоки як елементи ЕА, які реалізують в системі алгоритм функціонування, можуть бути з’єднанні між собою різним чином: послідовно, паралельно, комбіновано, а також без резервування або з резервуванням. Причому, резервування може бути побудоване в активному або пасивному варіантах.

Розглянемо, як розраховується рівень надійності для систем з різними варіантами з’єднання елементів (блоків).

Системи з послідовним з’єднанням елементів. Структурна схема розрахунку надійності для послідовного з'єднання елементів може бути представлена як показано на рис.1.

 

 

Рис. 1 Структура послідовно з’єднаних елементів

При розрахунках надійності такої системи передбачаємо, що кількість елементів кінцева, а відмова одного елемента приводить до відмови всієї системи. Враховується припущення, що всі відмови елементів незалежні.

Розглянемо випадок, коли всі послідовно з’єднанні елементи системи працюють до першої відмови. Враховуючи, що відмови незалежні, запишемо

,                                  (1)

де  - імовірність безвідмовної роботи за час t для і-го елементу.

Тоді,

.                 (2)

В практиці при вирішенні задач, коли  використовуються наступні співвідношення

.                      (3)

Якщо для елементів системи відомі інтенсивності відмов λ_і, то інтенсивність відмови всієї системи буде

.                                           (4)

Якщо імовірність безвідмовної роботи всіх елементів системи має експоненціальний закон розподілу, то

.                                     (5)

З урахуванням (3); (4); (5) визначимо математичне очікування системи до першої відмови або середній час роботи системи

,                    (6)

де  - середній час роботи і-го елементу системи.

Поставимо умову, що в системі з послідовно з’єднаними елементами кожний із елементів відновлюється миттєво і в повному обсязі. Тоді, випадкова величина кількості відмов такої системи {r(t)} до моменту часу t може бути представлена як сума незалежних випадкових величин r_i(t) кількості відмов і-го елементу до моменту t:

.                                  (7)

Враховуючи (7), інтенсивність (функція) відновлювання системи може бути представлена:

,                       (8)

де  - функція відновлення і-го елементу.

Якщо справедливе співвідношення (8), то з визначенням щільності відновлення аналітичний вираз буде наступним:

,                (9)

де  - параметр потоку відмовлень (щільність відновлення) і-го елементу.

У тому випадку, коли потоки відмов усіх елементів можуть бути представлені експоненціальним законом, тоді параметр потоку відмов і-го елементу є постійним .

Тому, щільність відновлення і параметр потоку відмов системи також будуть постійними і можуть бути представлені наступним чином:

                     (10)

Якщо система складається із достатньо великої кількості незалежних елементів з миттєвим і повним відновленням і при цьому інтенсивність відмов кожного із елементів в системі мала, то сумарний потік може бути представлений як пуасонівський потік без наслідків. Тоді аналітично імовірність появи рівно m відмов (відновлювань) системи за час t може бути представлена:

.            (11)

Із викладеного матеріалу очевидно, що для не відновлюваних і відновлюваних систем розрахунки рівня надійності мають власні особливості. Ці обставини необхідно враховувати при практичних розрахунках. При цьому, необхідно пам’ятати, що якість отриманих результатів суттєво залежить від точності обробки статистичних даних щодо відмови блоків ЕА.

 

Контрольні питання

1. Які ознаки характеризують відновлювальні системи?

2. Які ознаки характеризують не відновлювальні системи?

3. Які основні параметри надійності застосовуються для аналізу системи з послідовним з’єднанням елементів?

 

Рекомендована література [6].