Кучеренко Олег Костянтинович

Кучеренко О.К.

К50 Розрахунок і конструювання оптичних приладів: Навч.   посіб.- К.: ІВЦ «Політехніка», 2011. 335 с.:іл.

              ISBN 5-7325-0563-6

 

    Розглянуто основи конструювання деталей та з’єднань, принципи розрахунку і конструювання оптичних приладів (ОП) виходячи з умов точності і надійності, особливості конструювання основних функціональних вузлів ОП, захист ОП від дії зовнішних факторів, вимоги до оформлення креслень, а також принципи розрахунку і компонування приладів на базі основних оптичних схем.

    Для студентів, магістрів, аспірантів, викладачів приладобудівного профіля вищих закладів освіти, а також інженерно- технічних працівників промисловості.

УДК 681.7

 ББК 22.34

ISBN5-7325-0563-6                                               О.К.Кучеренко,2011

 

 

Навчальне видання

 

Кучеренко Олег Костянтинович

 

РОЗРАХУНОК І КОНСТРУЮВАННЯ ОПТИЧНИХ ПРИЛАДІВ

 

Навчальний посібник

 

 

 

Темплан 2011р.

Тема 1. Конструкторська підготовка при виробництві оптичних приладів

Лекція №1. Зміст і задачі дисципліни. Основні поняття. Елементарні логічні методи конструювання

Зміст і задачі дисципліни

Даний учбовий посібник присвячений основам конструювання точних оптичних приладів, що містять механічні, оптичні і електронні функціональні пристрої і елементи. Особливості конструювання таких приладів полягають в тому, що їх показники якості і в першу чергу точність, надійність і технологічність залежать від дотримання певних правил та принципів конструювання, способів функціонального і точносного синтеза конструкцій, знання шляхів підвищення якості приладів при проектуванні.

В теперешній час технічної літератури по питанням прикладного конструювання оптичних приладів бракує. Найбільш відомі: довідник конструктора оптико-механічних приладів[1], довідник оптика - технолога[10], підручники і учбові посібники по конструюванню оптичних приладів[2,3,5,6,8]. Ці видання в більшості найменувань носять рецептурний характер і не є узагальнюючими, у звязку з роками видання застарілі, і не завжди в повному обсязі містять  питання пов’язані з конструюванням точних оптичних приладів.

Слід зазначити, що розглянути всі теоретичні і практичні питання конструювання оптичних приладів в одному учбовому посібнику неможливо. Автор вважає, що студенти і інші читачі знайомі з такими необхідними основами і розділами конструювання, як «Допуски і посадки», «Опір матеріалів»,«Деталі приладів»,«Технічна механіка», «Матеріалознавство», «Теоретична механіка»,«Технологія приладобудування і оптичного приладобудування», «Теорія оптичних систем». Тому основний акцент в даному учбовому посібнику поставлений на питаннях конструювання пов’язаних з показниками точності приладів і їх елементів.

Учбовий посібник написаний на базі учбової дисципліни, яка на протязі багатьох років викладається на кафедрі оптичних та оптико-електронних приладів. Мета дисципліни здобуття студентами знань, потрібних для розуміння принципів розрахунку та конструювання типових оптичних приладів, дії оптичних приладів та їх елементів, а також вмінь та навичок, які потрібні для оволодіння та засвоєння знань, на базі яких грунтується розробка, розрахунок та конструювання таких приладів. Завдання дисципліни вивчення основних положень теорії точності та надійності приладів, особливостей розрахунку та конструювання вузлів оптичних приладів, вивчення основних етапів проектування типових оптичних приладів та захисту їх від дії зовнішніх факторів.

Існує велика кількість видів оптичних приладів. Їх номенклатура сягає декілька тисяч найменувань. Декілька десятків тисяч найменувань сягає номенклатура функціональних пристроїв і елементів, що використовує промисловість у точному приладобудуванні[12].

Однак підготовка спеціалістів по проектно –конструкторській діяльності не повинна носити рецептурний характер і базуватися на вивченні певного конструкторського виробу. Потрібно вивчати загальні правила і принципи проектування і конструювання, які використовуються при створенні всіх видів технічних виробів.

Методи проектування і конструювання описують можливі шляхи і засоби пошука ідей інженернихї рішень проектно- конструкторських задач. Принципами конструювання є такі правила і конструктивні рішення, які дозволяють отримати потрібні цільові функції виробу

(основні показникі якості виробу: точність, надійність, технологічність).

Основні поняття

Створення нового зразка приладу включає наступні етапи:

1. Розробка фундаментальної ідеї приладу і первинних технічних умов для його реалізації.

2. Вибір технічного принципу реалізації ідеї і розробка принципової схеми приладу.

3. Розробка конструкції приладу.

4. Виготовлення і випробування дослідного зразка приладу.

Другу і третю стадію об'єднують терміном проектування приладів. Тобто конструювання – це друга частина процесу проектування і слідує за розробкою принципової схеми приладу. Конструювання розпадається на ряд етапів регламентованих ДСТУ. Розрізняють етапи:

1. Технічне завдання.

2. Технічна пропозиція.

3. Ескізний проект.

4. Технічний проект

5. Робоче конструювання.

6. Виготовлення і випробування дослідного зразка.

7. Коректування конструкторської документації.

Відповідно до ДСТУ встановлюють наступні види виробів:

1. Деталь (виріб, виготовлений з одного матеріалу).

2. Складальна одиниця (виріб, складові частини якого підлягають з'єднанню на підприємстві виготівнику).

3. Комплекс (два і більш специфікованих вироби не сполучених на підприємстві виготівнику складальними операціями, але передбачувані для взаємозв'язаних експлуатаційних функцій).

4. Комплект (набір виробів, що має загальне експлуатаційне призначення допоміжного характеру).

Технічне завдання (ТЗ)

    На цій стадії проводять розробку, узгодження і затвердження технічного завдання на прилад. Зміст ТЗ наступний (ДСТУ 15. 001-73):

1. Вступ.

2. Мета розробки, призначення і сфера застосування.

3. Джерела фінансування.

4. Технічні вимоги до приладу.

5. Вимоги безпеки.

6. Вимоги до технологічності.

7. Вимоги до контролю і випробування.

8. Стадії розробки приладу.

9. Техніко-економічні вимоги.

10. Спеціальні вимоги.

11. Застосування.

 

Технічна пропозиція

При розробці технічної пропозиції вирішують наступні питання

 (ДСТУ 2.118-73):

1. Підбирають і вивчають публікації по темі розробки.

2. Встановлюють головні відмінні ознаки приладу, поліпшуючі конструкцію.

3. Визначають принципову можливість виконання ТЗ, проводять розрахункі  і експерименти.

4. Складають перелік необхідних науково-дослідних робіт.

5. Проводять технічне і техніко-економічне обґрунтування для розробки приладу.

6. Уточнюють ТЗ.

7. Розробляють пояснювальну записку(ПЗ) до цього етапу.

 

Ескізний проект (ЕП)

Ескізний проект починається з розробки основних схем приладу. Види і типи схем встановлені ДСТУ 2.119-73. Розрізняють наступні види схем і їх позначення:

1. Електричні схеми-[Э].

2. Гідравлічні схеми-[Г].

3. Пневматичні схеми-[П].

4. Кінематичні схеми-[К].

5. Оптичні схеми-[Л].

Типи схем:

1. Структурна схема......«1».

2. Функціональна схема....«2».

3. Принципова схема....«3».

4. Схема з'єднань......«4».

5. Схема підключень....«5».

6. Загальна схема.......«6».

Рекомендації по виконанню схем наступні:

Функціональна електрична схема (Е2)

На цій схемі електронні блоки (мікропроцесор, підсилювач і тому подібне) зображають у вигляді прямокутників. Оптичні елементи зображаються із спрощеннями, наприклад: складні об'єктиви однією лінзою, дзеркально-призматичні вузли одним плоским дзеркалом і тому подібне. На схемі обов'язково вказують хід променів, замість позицій на виносних полицях вказують найменування елементів. На полі креслення вказують типи приймачів, джерел і інших купівельних елементів. Функціональна схема виконується не в масштабі, електричні зв'язки зображаються суцільною лінією, а механічні пунктирною.

Оптична схема (Л3)

1. Оптична схема виконується обов'язково в масштабі.

2. На полі креслення обов'язкова специфікація. Позиції специфікації заповнюються по ходу променя.

3. Необхідна таблиця, в якій вказують фокусні відстані і фокальні відрізки силових оптичних елементів за формою (Табл.1.3)

Табл1.3.

Найменування Позиція

 

4. Всі оптичні елементи викреслюються в масштабі, з вказівкою відстаней між елементами схеми уздовж осі, а так само положення площин вхідної зіниці, вихідної зіниці, модулятора і таке інше.

5. Позиції від джерел і приймачів не виносяться.

6. На полі креслення в примітках вказують основні технічні і оптичні характеристики приладів.

 

При розробці ЕП проводять загальну компоновку приладу і взаємну ув'язку всіх вузлів, блоків і елементів приладу. Це креслення виконують із спрощеннями, змальовують лише крупні, основні, складальні одиниці. Запозичені і купувальні вироби змальовують лише контуром.

При розробці ЕП, конструктор враховує необхідність попереднього узгодження стикувальних баз приладу з суміжними організаціями. До стикувальних баз відносять:

1. Габаритні.

2. Посадочні.

3. Приєднувальні.

4. Кріплення приладу.

5. Вхідні і вихідні зв'язки.

В результаті виконання ескізного проекту здаються:

1. Необхідні схеми.

2. Креслення загального вигляду із спрощеннями.

3. Пояснювальна записка з розрахунками.

За підсумками захисту ескізного проекту приймається рішення про необхідність подальших етапів розробки приладу.

Технічний проект

Відрізняється від ескізного детальною і остаточною розробкою конструкції приладу. Креслення загального вигляду і вузлів, що розробляються, мають бути конструктивно закінчені на стільки, що б можна було надалі виконати робочі креслення кожної деталі.

Після виконання технічного проекту складається (ДСТУ 2.120-73):

1.  Пояснювальна записка (ПЗ).

2. Креслення загального вигляду і основних вузлів.

3. Відомість технічного проекту(скорочений опис приладу).

 

Технічний проект приймається Замовником

Розробка конструкторської документації

Остаточно розробляється конструкторська документація для подальшого виробництва дослідного зразка:

1. Розробляються всі види схем.

2. Складальні креслення, деталі.

3. Інструкції по юстуванню і експлуатації.

4. Технічні умови, формуляр і паспорт на прилад.

 

В ході цього етапу можуть розроблятися контрольні складальні креслення. Цей процес полягає в здобутті креслень загального вигляду, на підставі робочих креслень збираних деталей. На цьому етапі остаточно розробляються ТУ на прилад.

Виготовлення дослідного зразка

Дослідний зразок виготовляють в дослідному цеху відповідно до робочих креслень на прилад. Зауваження що виникли при виготовленні реєструють з метою подальшого внесення змін до креслень.

Випробування дослідних зразків

Ці випробування підрозділяються на попередні і державні. Попередні випробування проводять з метою перевірки дослідного зразка вимогам ТУ. Ці випробування підрозділяють на:

1. Конструкторсько-доводочні випробування (КДВ).

2. Лабораторно-заводські випробування (ЛЗВ).

 

КДВ проводять за програмою затвердженою розробником з метою виявлення можливостей приладу і відповідності приладу ТУ. При цьому можливе доопрацювання КД.

ЛЗВ проводять за програмою погодженою із Замовником. Результат випробування оформляють відповідним актом.

Державні випробування проводять з метою повної перевірки відповідності дослідного зразка ТУ і можливості запуску приладу в серійне або масове виробництво. Ці випробування проводить державна комісія. Результати державних випробувань оформлюються у вигляді акту. Як попередні, так і державні випробування можуть бути як  лабораторними (стендовими) так і полігонними (польовими).

Поняття точності приладу

Точність функціонування є однєю з основних характеристик якості оптичного приладу. Забезпечення точності вимагає від конструктора знань джерел похибок ОП, уміння визначати їх вплив на точність, навиків розрахунку точності. Прилад називається ідеальним, якщо положення ланок приладу або сигнали на вході елементів приладу мають розрахункові (номінальні) значення. На практиці ідеальних приладів не існує. Всі прилади, реалізують дану функціональну залежність з деяким наближенням. Такі прилади називаються реальними.

Кількісною мірою точності є похибка, що є різницею розрахункового і дійсного значень відповідного параметра. Класифікація похибок проводиться по різних ознаках, які є незалежними одна від одної. Один з варіантів класифікації наступний.

Класифікація похибок

По причинах появи похибки.

    За цією ознакою похибки діляться на два види:

1. Методичні.

2. Інструментальні.

Методичні похибки обумовлені похибками в прийнятій теорії функціонування приладів, погрішностями у взаємному положенні прилада і вимірюваного об'єкта (це доприладові похибки). Цей вид похибок характерний для приладів заснованих на непрямих методах вимірів, наприклад локаційних оптичних далекомірів.

Інструментальні похибки – це найбільш широкий клас похибок приладу. Цей клас ділиться на групи:

1. Теоретичні інструментальні похибки приладу. До них відносяться

допущення у функції перетворення приладу. Характер цих похибок можна розглянути на прикладі схеми автоколіматора, яка представлена на рис. 2.1:

 

Рис. 2.1. Схема автоколіматора

    На рисунку показані наступні елементи схеми приладу:

1 – джерело випромінювання; 2 – конденсор; 3 – тест-об'єкт; 4 – світлоподільна призма-куб; 5 – об'єктив коліматора; 6 – вимірювальна сітка; 7 – окуляр.

При повороті дзеркала на кут  відбитий промінь відхилиться на кут , а зрушення автоколімаційного зображення пов'язане з вимірюваним кутом залежністю (див. рис. 2.1.):

.                                    (2.1)

Тоді точна функція перетворення  дорівнює:

.                             (2.2)

Враховуючи, що вимірювані кути малі при градуюванні приладу можна використовувати наближену функцію перетворення:

 .                                    (2.3)

Тоді теоретична інструментальна похибка автоколіматора дорівнює        

 .;                          (2.4)

    Також доцих похибок відносяться округлення параметрів приладу до найближчих значень з ДСТУ. До них відносяться, наприклад, округлення радіусів кривизни лінз до ряду, що рекомендується, або округлення модуля зубчастих передач до ряду, що рекомендується, і тому подібне.

Теоретичними похибками є допущення в конструкціях вищих кінематичних пар. Характер цієї похибки пояснює рис 2.2. На рисунку показаний механізм повороту плоского дзеркала встановленого на поворотній штанзі, яка приводиться в рух штовхальником розташованим на відстані L від шарніра. При переміщенні штовхальника на величину x штанга обертається на кут  . На рисунку зліва наконечник штовхальника має форму вістря. Насправді в реальних кінематичних парах наконечник має форму сфери і має місце похибка кутового положення дзеркала на штанзі на величину

 

Рис. 2.2. Пристрій повороту дзеркала

 

2. Похибки виготовлення і збірки елементів приладів. Це найбільша група інструментальних похибок приладу. Ці похибки є технологічними і є відхиленням від розрахункових значень розмірів деталей, характеристик матеріалів, похибок розташування і форми деталей.

3. Експлуатаційні інструментальні похибки є погрішностями форми, розмірів, розташування деталей і зміни їх характеристик, обумовлені впливом умов експлуатації (коливання температури, тиску, вологісті, сили тертя, радіаційного випромінювання і таке інше).

      4. Похибки реєстрації. Обумовлені втратами інформації при реєстрації результатів роботи приладів. Ці похибки, як правило, пов'язані з оператором, похибками прочитування результатів виміру, неправильною обробкою результатів виміру і так далі.

Всі перераховані похибки є первинними похибками приладів і позначаються таким чином:

                                        (2.5)

–похибка вхідного параметра приладу;

                                        (2.6)

–похибка конструктивного параметра приладу;     

                                  (2.7)

–похибка конструктивного параметра, обумовлена впливом умов експлуатації;           

Тут ,    – дійсне значення відповідного параметра;

,   – номінальне значення відповідного параметра.

Кожна первинна похибка певним чином впливає на помилку

вихідних параметрів приладу. Цей вплив називається частковим впливом первинної похибки і позначається відповідно:

; ; .

У свою чергу часткова похибка може бути визначена наступним співвідношенням:

                                       (2.8)

де – А передавальна функція первинної похибки.

Для визначення передавальної функції використовується ряд методів:

    – метод диференціювання;

    – геометричний метод;

– метод  розкладання функції перетворення в ряд;

– метод перетворення  схем пристрою;

– векторно-матричний метод;

– метод побудови плану швидкостей або малих переміщень.

По закономірності прояву похибок при багатократних випробуваннях.

По закономірності прояву похибок при багатократних випробуваннях похибки поділяються наступним чином. За природою виникнення всі похибки можна розділити на випадкові і невипадкові (систематичні). По результату дії похибки підрозділяють на ті, що надають випадкову і невипадкову дію на якість партії приладів і якість кожного приладу окремо.

Випадковими за своєю природою є похибки, що змінюються нерегулярно при багатократних випробуваннях. Вони не можуть бути визначені заздалегідь, але можуть характеризуватися статистичними характеристиками (математичне чекання, дисперсія і інші). Прикладом таких похибок є всі похибки технологічного характеру, відхилення властивостей матеріалів від розрахункових значень, експлуатаційні похибки, обумовлені дією випадкових чинників. Деякі випадкові похибки мають систематичну складову, обумовлену однобічним зрушенням поля допуску, що дорівнює:

,                              (2.9)

де  і   - верхнє і нижнє граничне відхилення розмірів.

До систематичних похибок відносяться похибки, що не змінюються або змінюються регулярно при багатократних випробуваннях. До таких похибок відносяться теоретичні інструментальні похибки або експлуатаційні, обумовлені дією стаціонарних температурних полів.

По характеру дії на якість приладу похибки можна розділити на ті, що надають випадкову і невипадкову дію. Цю класифікацію розглядають по відношенню до точності партії приладів або кожного приладу окремо. Деякі випадкові похибки (в основному технологічного походження), які характеризують точність партії приладів для кожного окремого приладу після їх вимірів, можуть бути переведені в розряд систематичних.

 

Лекція № 5. Класифікація похибок (продовження). Рівняння точності прилада

Технологічний метод

Технологічний метод заснований на тому, що при виготовленні приладу використовують матеріали з більш високим показником за якістю, застосовуються джерела і приймачі вищої якості, призначаються жорсткіші допуски на розміри деталей і вузлів. Недоліком цього методу є підвищення вартості приладу.

Проектний метод

Проектний метод заснований на раціональному розподілі допусків і параметрів приладу, зміні конструкцій деталей або вузлів, зміні схеми або принципу дії приладу. Перевагою методу є можливість його вживання на етапі розробки проектної документації приладу.

Як приклад раціонального перерозподілу параметрів приладу можна привести схему лінзового компенсатора далекоміра (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4. Лінзовий компенсатор далекоміра

На рисунку показані: 1,2-лінзи компенсатора; 3,4- важелі передавального механізму, 5 – гвинтовий механізм, що переміщає одну з лінз. Типові значення параметрів такого механізму: вимірюваний кут y, фокусна відстань лінз компенсатора f і крок гвинтового механізму   p рівні:

Паралактичний кут, що компенсується, пов'язаний з конструктивними параметрами наступним співвідношенням:

,                                    (2.31)

де x – кут повороту гвинта.

Вимір паралактичного кута повинен проводитися з точністю

 . Це відповідає відносній похибці .

Основними чинниками, що впливають на точність, є відхилення фокусної відстані лінзи і похибки і  довжин важелів. Часткові похибки обумовлені цими чинниками рівні:

                     (2.32)

                                          (2.33)

                                (2.34)

У співвідношенні (2.33) відношення  складає 1-2%, що недопустимо, оскільки допустиме значення . Зменшити величину сумарної похибки можна забезпечивши конструктивними методами регулювання одного з плечей важеля (наприклад ), характер похибки якого також мультиплікативний, а знак як випливає з (2.34) відємний.

Прикладом зміни конструкції приладу є зміна конструкції компаратора, призначеного для атестації лінійних шкал.

Рис. 2.5.Компаратор  для атестації лінійних шкал

У  схемі на рис. 2.5похибка атестації рівна Y= = H ,

де -можливий кут повороту столу компаратора в наслідок зазору в направляючих.

    Раціональніша схема конструкції компаратора має наступний вигляд (Рис.2.6):

Рис. 2.6.Раціональна схема конструкції компаратора

У конструкції компаратора на рис 2.6 дотриманий принцип Аббе коли еталон і контрольована деталь розташовані в одну лінію при цьому похибка атестації зменшується до величини Y= 0,5L ²,

тобто є величиною другого порядку крихти.

Прикладом зміни схеми приладу з метою підвищення точності є зміна схеми гвинтового окулярного мікрометра на спіральний окулярний мікрометр (Рис.2.7). В результаті такої заміни удається виключити вплив мертвих ходів в гвинтовому механізмі на точність виміру.

 

Рис. 2.7.Гвинтовий та спіральний окулярні мікрометри.

Прикладом зміни принципу дії приладу є заміна внутрішньо базового оптичного далекоміра локаційним далекоміром.

Компенсаційний метод

Компенсаційний метод найчастіше застосовується при конструюванні високоточних оптичних приладів. На практиці застосовуються три методи компенсації похибок приладів:

1. Технологічний.

2. Організационно- технічний.

3. Конструкторський.

Технологічний метод полягає в додатковій обробці деталей приладів, а також в регулюваннях і юстуваннях в процесі збірки. Додаткова обробка деталей називається пригоном або доведенням

(шабрування, притирання, розгортання і тому подібне). Даний метод застосовується тоді, коли потрібно отримати високу надійність компенсації. Наприклад, при точному базуванні дзеркал в інтерферометрах.

Організаційно- технічний метод полягає в селекції деталей, у введенні поправок, рандомізації похибок, перерахунку оптичної системи приладу на плавки скла. Наприклад, селекція обєктивів і окулярів при збірці біноклів. Рандомізація похибок шляхом переводу систематичних похибок у випадкові. Подальше підвищення точності може бути досягнуте збільшенням кількості вимірів, наприклад в кутовимірювальних лімбах в теодолітах.

Конструкторські методи полягають в розробці ступінчастих компенсаторів похибок, плавних регулювальних пристроїв, що дозволяють компенсувати похибки елементів приладу або що зменшують безпосередньо похибку вихідного інформативного параметра приладу (гвинтові, ексцентрикові механізми). Компенсатори в більшості випадків зменшують вихідну похибку через зміну конструктивних параметрів приладів.

З врахуванням компенсуючої дії компенсатора рівняння точності набуває вигляду:

    (2.35)

де   – компенсуюча дія компенсатора похибок; – кількість компенсаторів похибок в приладі; – кількість конструктивних параметрів, на які впливає компенсатор похибок.

 

Лекція №8. Теоретико - вірогідносний підхід при оцінці точності приладу

 

Якщо похибки приладу є випадковими, то передбачити їх значення заздалегідь не можна. В той же час середні значення цих похибок мають  певні значення, які  характеризують імовірнісними величинами. У статичному режимі похибки приладів є випадковими величинами, а в динамічному режимі – випадковими функціями. Для випадкових величин основними характеристиками є закони розподілу. Відомо два види законів розподілу випадкових похибок: інтегральний і диференціальний.

    Інтегральний закон розподілу  встановлює залежність між фіксованою величиною похибки і вірогідністю того, що будь-яке її значення  не перевищує   . Вигляд цього закону ілюструє рис.2.8, а аналітична залежність наступна:

                               (2.36)

Рис. 2.8.Інтегральний закон розподілу похибок

    Як випливає з рисунка

, ;                   (2.37)

, .                 (2.38)

Недолік цього закону в тому, що він має обмежену інформативність і не показує, яка кількість похибок відповідає тій або іншій вірогідності.

Більш інформативним є диференціальний закон розподілу, який є похідною від інтегрального закону розподілу і носить назву щільності вірогідності появи похибок. Цей закон характеризується залежністю:

                                 (2.39)

 Закон характеризує вірогідність того, що випадкова похибка поміщена в інтервалі похибок . (Рис.2.9).

    Тобто аналітично отримаємо:

    .                   (2.40)

Рис. 2.9. Диференціальний закон розподілу похибок

називається елементом вірогідності і визначає щільність попадання похибок на елементарний інтервал .Умовою нормування цього закону є виконання наступного співвідношення:

    .                             (2.41)

Різні технологічні процеси виготовлення деталей характеризується різними законами розподілу випадкових похибок. На практиці ці закони отримують побудовою гістограм з подальшою їх апроксимацією. Вид гістограми показаний на рис.2.10.

Рис. 2.10. Вид гістограми

На рисунку по вертикалі відкладена частота появи похибок. Для виконання точносних розрахунків використовують числові характеристики законів розподілу. Основними є:

    – математичне чекання похибки ;

    – дисперсія похибки  .

              Додатковими є:

    – середнє квадратичне відхилення  ;

    – гранична похибка .

Математичне чекання або середнє значення похибки характеризує положення центру групування випадкових величин. Теоретично для безперервних випадкових похибок визначається із співвідношення:

    .                             (2.42)

На практиці  наближається до середнього арифметичного значення і називається оцінкою математичного чекання:

    .                                      (2.43)

    Дисперсія похибки  характеризує розкид випадкової величини відносно середнього значення і характеризуює форму кривої диференціального закону розподілу похибок. Математично дисперсія може бути отримана для безперервних випадкових похибок на основі співвідношення:

    .                       (2.44)

На практиці може бути обчислена оцінкою дисперсії, яка визначається відповідно до формули Беселя:

                              (2.45)

Допоміжні характеристики закону розподілу визначаються із співвідношень:

     ,                                    (2.46)

    ,                                        (2.47)

де   – коефіцієнт, залежний від вигляду закону розподілу випадкової похибки.

Існують різні види диференціальних законів розподілу похибок. Найбільш відомі наступні. Закон рівної імовірності має місце, наприклад, тоді, коли проводяться округлення чисел до найближчого цілого значення. Для цього закону розподілу основні характеристики визначаються співвідношеннями:

    ,                                  (2.48)

    ,                                   (2.49)

                       ,                ,                 (2.50)

Вигляд закону розподілу представлений на рисунку 2.11.

        

Рис. 2.11. Закон рівної імовірності

Закон розподілу Сімпсона або закон трикутника. Вигляд закону розподілу показаний на рисунку 2.12.

        

.

Рис. 2.12.Закон розподілу Сімпсона