Розрахунок характеристик компенсаторів похибок

Для розрахунку характеристик компенсатора похибок слід користуватися наступними співвідношеннями:

- залишкова недокомпенсація часткової похибки рівна:

    ,                         (2.27)

де – компенсуюча дія компенсатора;  – часткова похибка, що компенсується.

    – коефіцієнт впливу недокомпенсації:

    .                                  (2.28)

Якщо   – компенсатор розроблений правильно.

Якщо ж   – похибка не усунена, компенсатор розроблений неправильно.

Можуть бути визначені допустимі значення недокомпенсації, при цьому максимальне і мінімальне їх значення рівні:

                                (2.29).

                                (2.30).

Якщо виходити з рівності (2.29), похибка, що компенсується, переводиться в розряд допустимих, а якщо ж виходити з рівності (2.30), то похибка, що компенсується, переводиться в розряд нікчемно малих. Тому перед розробкою наступного компенсатора потрібно уточнити значення , віднявши від похибок, що діють, ті, що компенсуються. Правила уточнення значення коефіцієнта впливу після введення першого компенсатора наступні.

Якщо за допомогою одного компенсатора усувається  похибок, то можливі наступні випадки:

    1. , тоді при розрахунку наступного компенсатора і при визначенні значення   всі ці похибки необхідно виключити з подальшого розрахунку оскільки вони переведені в розряд нікчемних.

    2. , що означає, що похибки переведені в розряд допустимих, але нікчемними не стали. В цьому випадку з подальшого розрахунку виключається  похибка.

    3. , це означає, що конструкція компенсатора вибрана неправильно.

Після введення першого компенсатора коефіцієнти впливу похибок, що залишилися, необхідно порівнювати із значенням . Розрахунок на точність вважається закінченим, коли не залишилося похибок, для яких виконується наступна нерівність:

                                               ,

де   – уточнений коефіцієнт впливу після введення k-того компенсатора.

    При проведенні точностного розрахунку по цій методиці необхідно знати значення первинних похибок і значення часткових похибок. Значення систематичних первинних похибок визначають розрахунком, значення технологічних первинних похибок задають допусками на виготовлення і збірку приладів. Ці допуски визначають технологічність і вартість приладу. Розрізняють економічний, виробничий і технічний рівні точності.

Економічний рівень досягається в серійному виробництві на автоматичному універсальному устаткуванні і відповідає 9-11 квалитетам точності. Якщо на цьому рівні точність приладу досягти не можна, то переходять до виробничого рівня точності, який досягається на універсальному устаткуванні, але із застосуванням спеціального устаткування і оснащення. Це відповідає 6-8 квалітетам. Найвищий рівень відповідає технічному рівню точності, який може бути досягнутий лише на спеціальному устаткуванні, і відповідає 4-5 квалітетам точності.

    Послідовність розрахунку на точність приладу наступна.

1. Розібратися в схемі і конструкції приладу.

2. Виявити первинні похибки приладу.

3. Систематизувати похибки, розділивши їх на групи, , і .

4. Визначити

5. Визначити  .

6. Визначити передавальні функції похибок.

7. Визначити значення первинних похибок.

8. Визначити часткові похибки і їх коефіцієнти впливу.

9. Виявити нікчемні похибки.

10. Уточнити значення , визначивши  .

11.Виявити похибки, що вимагають компенсації.

12. Запропонувати конструкцію компенсатора. В першу чергу розробити такий компенсатор, який одночасно усуває декілька похибок.

13.Уточнити значення , визначивши значення  .

14.Прийняти рішення про необхідність розробки наступного компенсатора на підставі порівняння коефіцієнтів впливу похибок, що залишилися, з коефіцієнтом

15.Продовжити розробку компенсаторів доки дотримуватиметься нерівність .

Лекція 7. Методи підвищення точності при проектуванні оптичних приладів

Застосовуються 3 основних методи підвищення точності приладів:

- технологічний;

- проектний;

- компенсаційний.

 

Технологічний метод

Технологічний метод заснований на тому, що при виготовленні приладу використовують матеріали з більш високим показником за якістю, застосовуються джерела і приймачі вищої якості, призначаються жорсткіші допуски на розміри деталей і вузлів. Недоліком цього методу є підвищення вартості приладу.

Проектний метод

Проектний метод заснований на раціональному розподілі допусків і параметрів приладу, зміні конструкцій деталей або вузлів, зміні схеми або принципу дії приладу. Перевагою методу є можливість його вживання на етапі розробки проектної документації приладу.

Як приклад раціонального перерозподілу параметрів приладу можна привести схему лінзового компенсатора далекоміра (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4. Лінзовий компенсатор далекоміра

На рисунку показані: 1,2-лінзи компенсатора; 3,4- важелі передавального механізму, 5 – гвинтовий механізм, що переміщає одну з лінз. Типові значення параметрів такого механізму: вимірюваний кут y, фокусна відстань лінз компенсатора f і крок гвинтового механізму   p рівні:

Паралактичний кут, що компенсується, пов'язаний з конструктивними параметрами наступним співвідношенням:

,                                    (2.31)

де x – кут повороту гвинта.

Вимір паралактичного кута повинен проводитися з точністю

 . Це відповідає відносній похибці .

Основними чинниками, що впливають на точність, є відхилення фокусної відстані лінзи і похибки і  довжин важелів. Часткові похибки обумовлені цими чинниками рівні:

                     (2.32)

                                          (2.33)

                                (2.34)

У співвідношенні (2.33) відношення  складає 1-2%, що недопустимо, оскільки допустиме значення . Зменшити величину сумарної похибки можна забезпечивши конструктивними методами регулювання одного з плечей важеля (наприклад ), характер похибки якого також мультиплікативний, а знак як випливає з (2.34) відємний.

Прикладом зміни конструкції приладу є зміна конструкції компаратора, призначеного для атестації лінійних шкал.

Рис. 2.5.Компаратор  для атестації лінійних шкал

У  схемі на рис. 2.5похибка атестації рівна Y= = H ,

де -можливий кут повороту столу компаратора в наслідок зазору в направляючих.

    Раціональніша схема конструкції компаратора має наступний вигляд (Рис.2.6):

Рис. 2.6.Раціональна схема конструкції компаратора

У конструкції компаратора на рис 2.6 дотриманий принцип Аббе коли еталон і контрольована деталь розташовані в одну лінію при цьому похибка атестації зменшується до величини Y= 0,5L ²,

тобто є величиною другого порядку крихти.

Прикладом зміни схеми приладу з метою підвищення точності є зміна схеми гвинтового окулярного мікрометра на спіральний окулярний мікрометр (Рис.2.7). В результаті такої заміни удається виключити вплив мертвих ходів в гвинтовому механізмі на точність виміру.

 

Рис. 2.7.Гвинтовий та спіральний окулярні мікрометри.

Прикладом зміни принципу дії приладу є заміна внутрішньо базового оптичного далекоміра локаційним далекоміром.

Компенсаційний метод

Компенсаційний метод найчастіше застосовується при конструюванні високоточних оптичних приладів. На практиці застосовуються три методи компенсації похибок приладів:

1. Технологічний.

2. Організационно- технічний.

3. Конструкторський.

Технологічний метод полягає в додатковій обробці деталей приладів, а також в регулюваннях і юстуваннях в процесі збірки. Додаткова обробка деталей називається пригоном або доведенням

(шабрування, притирання, розгортання і тому подібне). Даний метод застосовується тоді, коли потрібно отримати високу надійність компенсації. Наприклад, при точному базуванні дзеркал в інтерферометрах.

Організаційно- технічний метод полягає в селекції деталей, у введенні поправок, рандомізації похибок, перерахунку оптичної системи приладу на плавки скла. Наприклад, селекція обєктивів і окулярів при збірці біноклів. Рандомізація похибок шляхом переводу систематичних похибок у випадкові. Подальше підвищення точності може бути досягнуте збільшенням кількості вимірів, наприклад в кутовимірювальних лімбах в теодолітах.

Конструкторські методи полягають в розробці ступінчастих компенсаторів похибок, плавних регулювальних пристроїв, що дозволяють компенсувати похибки елементів приладу або що зменшують безпосередньо похибку вихідного інформативного параметра приладу (гвинтові, ексцентрикові механізми). Компенсатори в більшості випадків зменшують вихідну похибку через зміну конструктивних параметрів приладів.

З врахуванням компенсуючої дії компенсатора рівняння точності набуває вигляду:

    (2.35)

де   – компенсуюча дія компенсатора похибок; – кількість компенсаторів похибок в приладі; – кількість конструктивних параметрів, на які впливає компенсатор похибок.

 

Лекція №8. Теоретико - вірогідносний підхід при оцінці точності приладу

 

Якщо похибки приладу є випадковими, то передбачити їх значення заздалегідь не можна. В той же час середні значення цих похибок мають  певні значення, які  характеризують імовірнісними величинами. У статичному режимі похибки приладів є випадковими величинами, а в динамічному режимі – випадковими функціями. Для випадкових величин основними характеристиками є закони розподілу. Відомо два види законів розподілу випадкових похибок: інтегральний і диференціальний.

    Інтегральний закон розподілу  встановлює залежність між фіксованою величиною похибки і вірогідністю того, що будь-яке її значення  не перевищує   . Вигляд цього закону ілюструє рис.2.8, а аналітична залежність наступна:

                               (2.36)

Рис. 2.8.Інтегральний закон розподілу похибок

    Як випливає з рисунка

, ;                   (2.37)

, .                 (2.38)

Недолік цього закону в тому, що він має обмежену інформативність і не показує, яка кількість похибок відповідає тій або іншій вірогідності.

Більш інформативним є диференціальний закон розподілу, який є похідною від інтегрального закону розподілу і носить назву щільності вірогідності появи похибок. Цей закон характеризується залежністю:

                                 (2.39)

 Закон характеризує вірогідність того, що випадкова похибка поміщена в інтервалі похибок . (Рис.2.9).

    Тобто аналітично отримаємо:

    .                   (2.40)

Рис. 2.9. Диференціальний закон розподілу похибок

називається елементом вірогідності і визначає щільність попадання похибок на елементарний інтервал .Умовою нормування цього закону є виконання наступного співвідношення:

    .                             (2.41)

Різні технологічні процеси виготовлення деталей характеризується різними законами розподілу випадкових похибок. На практиці ці закони отримують побудовою гістограм з подальшою їх апроксимацією. Вид гістограми показаний на рис.2.10.

Рис. 2.10. Вид гістограми

На рисунку по вертикалі відкладена частота появи похибок. Для виконання точносних розрахунків використовують числові характеристики законів розподілу. Основними є:

    – математичне чекання похибки ;

    – дисперсія похибки  .

              Додатковими є:

    – середнє квадратичне відхилення  ;

    – гранична похибка .

Математичне чекання або середнє значення похибки характеризує положення центру групування випадкових величин. Теоретично для безперервних випадкових похибок визначається із співвідношення:

    .                             (2.42)

На практиці  наближається до середнього арифметичного значення і називається оцінкою математичного чекання:

    .                                      (2.43)

    Дисперсія похибки  характеризує розкид випадкової величини відносно середнього значення і характеризуює форму кривої диференціального закону розподілу похибок. Математично дисперсія може бути отримана для безперервних випадкових похибок на основі співвідношення:

    .                       (2.44)

На практиці може бути обчислена оцінкою дисперсії, яка визначається відповідно до формули Беселя:

                              (2.45)

Допоміжні характеристики закону розподілу визначаються із співвідношень:

     ,                                    (2.46)

    ,                                        (2.47)

де   – коефіцієнт, залежний від вигляду закону розподілу випадкової похибки.

Існують різні види диференціальних законів розподілу похибок. Найбільш відомі наступні. Закон рівної імовірності має місце, наприклад, тоді, коли проводяться округлення чисел до найближчого цілого значення. Для цього закону розподілу основні характеристики визначаються співвідношеннями:

    ,                                  (2.48)

    ,                                   (2.49)

                       ,                ,                 (2.50)

Вигляд закону розподілу представлений на рисунку 2.11.

        

Рис. 2.11. Закон рівної імовірності

Закон розподілу Сімпсона або закон трикутника. Вигляд закону розподілу показаний на рисунку 2.12.

        

.

Рис. 2.12.Закон розподілу Сімпсона

 

Нормальний закон розподілу похибок або закон Гауса. Цей закон найчастіше зустрічається на практиці. Обгрунтуванням цього закону є теореми Ляпунова, які показують, що сума великого числа незалежних випадкових похибок, що підкоряються яким завгодно законам розподілу за відсутності явного переважання однієї похибки над іншими, приблизно підкоряється нормальному закону розподілу.

    Щільність вірогідності появи похибок для цього закону розподілу визначається співвідношенням:

    .                  (2.51)

Вигляд закону розподілу показаний на рисунку 2.13.

 

Рис. 2.13. Нормальний закон розподілу похибок

Аналіз цього закону показав, що вірогідність появи випадкових похибок у відповідних інтервалах наступна:

    ,

    ,

    .

              Гранична похибка для такого закону

    ,

Тобто . Це правило носить назву правила трьох сигм.

 

При точносних розрахунках із застосуванням числових характеристик випадкових похибок необхідно використовувати наступні теореми теорії вірогідності:

    1. , де C – невипадкова величина.

    2. .

    3. .

    4. .

    5. , де і      – незалежні випадкові величини.

    6. , де і      – незалежні випадкові величини.

На підставі цих теорем для математичного чекання і дисперсії часткових похибок отримаємо формули

,                                (2.52)

,                                  (2.53)

де А – невипадкова величина рівна передавальній функції випадкової похибки.

Найбільшого поширення на практиці набули наступні методи розрахунку точності: max-min, квадратичного підсумовування, Ренча, вірогідносний, Монте-Карло. При розрахунку по методу max-min випадковим погрішностям привласнюються граничні значення допусків, а результат їх дії знаходять алгебраїчним підсумовуванням при найнесприятливішому їх поєднанні:

                                                    (2.54)

Цей метод розрахунку дає завищене значення сумарної похибки по відношенню до того, що виходить на практиці, оскільки вірогідність того, що всі погрішності набудуть граничних значень нікчемна.

    Результуючу похибку по методу квадратичного підсумовування визначають по формулі:

 

                                          (2.55)

Цей метод дає занижене значення сумарної похибки оскільки тут не враховуються систематичні складові випадкової похибки і вигляд закону розподілу. Коли систематичних складових немає цей метод дозволяє набути значення сумарної похибки близьке до реального.

    Розрахунок по методу Ренча усуває завищеність і заниженість значень оскільки дозволяє знайти результат як середнє геометричне між алгебраїчним підсумовуванням і квадратичним підсумовуванням:

.                    (2.56)

Розрахунок по методу Ренча дає задовільний результат, коли всі випадкові первинні похибки підкоряються нормальному закону розподілу і мають систематичні складові, рівні половині їх поля допуску. При наявності більшого числа випадкових похибок що не мають або мають незначні систематичні складові цей метод дає завищений результат.

    Вірогідносний метод дозволяє отримати правильніший результат, оскільки він заснований на правилах підсумовування випадкових величин і враховує наявність систематичних складових випадкових похибок і вигляд закону розподілу останніх:

 

,                 (2.57)

де C_pi - коефіцієнт, що враховує систематичну складову закону розподілу; K_pi  - коефіцієнт,що враховує відхилення закону розподілу похибки від закону Гауса.

    Теоретично найбільш точний результат дозволяють отримати методи статистичного моделювання, наприклад метод Монте- Карло. При цьому моделюються випадкові значення первинних похибок, розподілених в полі допуску по заданому закону. Перейшовши від випадкового поєднання похибок до випадкового поєднання дійсних параметрів приладу, знаходять j-ю реалізацію результуючої похибки:

                       _{j= f(x,qi) j – f0(x0,qi0).                                                                        (2.58)}

           Після здобуття достатнього числа таких реалізацій виконують статистичну обробку результатів моделювання і визначають необхідні характеристики точності.