Аналитическая кинематика плоских рычажных механизмов

Достоинства графических методов исследования механизмов заключаются в их большой наглядности и простоте. Недостатки метода - ограниченная точность и громоздкость, связанные с большим количеством построений.

В тех случаях, когда необходимо получить кинематические характеристики механизма с высокой, заранее заданной точностью, применяют аналитические методы. Широкое развитие в настоящее время электронно-вычислительной техники позволяет с помощью аналитических методов получить очень быстро и точно различные кинематические характеристики механизмов.

 

Основные этапы кинематического анализа механизма

 аналитическим методом

1. Выбор системы отсчёта (прямоугольной или другой системы координат).

2. Введение системы параметров, определяющих положения подвижных звеньев механизма относительно стойки. Параметры, определяющие положения начальных звеньев, предполагаем независимыми.

3. Используя геометрические соотношения, устанавливаем зависимости параметров выходных звеньев механизма от параметров начальных звеньев.

4. Определение скоростей и ускорений выходных звеньев путём дифференцирования полученных равенств по времени.

Рассмотрим использование аналитического метода кинематического анализа механизма в общем виде на примере (рис. 5.1).

j

О

1

y

x

j i

i

k

sk

Рис. 5.1. Плоский рычажный механизм

 

 

 

1. В качестве системы отсчёта примем прямоугольную систему координат x, y с началом в точке О.

2. В качестве    параметров, определяющих положения подвижных звеньев механизма относительно стойки, примем следующие:

j - угловая координата начального звена 1;

j _i - угловая координата выходного звена i;

s_k - линейная координата выходного звена k.

3. Обозначим через j _i = j _i (j) функцию угла поворота j _i в зависимости от угла j. Аналогично обозначим через s_k = s_k (j) функцию перемещения s_k в зависимости от угла j.

4. Угловая скорость w _i выходного звена i определяется дифференцированием по времени:

 ,                                                                           (5.1)

где  -  аналог угловой скорости выходного звена i;

  - угловая скорость начального звена 1.

Тогда из (5.1) получим:

,

или  .                                                                                                  (5.2)

Аналогично определяется скорость выходного звена k:

 ,                                                                                (5.3)

где   аналог скорости выходного звена k.

 

Из (5.3) получим:

 

или  .                                                                                           (5.4)                                                   

Чтобы найти ускорения выходных звеньев механизма, необходимо продифференцировать полученные выражения (5.2) и (5.4) по времени.

Определим угловое ускорение e _i выходного звена i:

×   

,                                                                                 (5.5)                                                                  

где - аналог углового ускорения выходного звена i.

Аналогично определим ускорение a_k  выходного звена k механизма:

  

,                                                                                        (5.6)                                                                  

где - аналог углового ускорения выходного звена k.

 

Примеры кинематического анализа механизмов

Аналитическим методом

Пример 1. Определить функцию положения   j ₃ = j ₃ (j) кулисы 3 в зависимости от угла поворота j кривошипа 1 кулисного механизма (рис. 5.2). Заданы размеры звеньев механизма: l _ОА, l _ОВ и угол j, определяющий положение кривошипа 1.

Из треугольника АВС следует  . Из треугольника О АС следует АС = l ОА × sin j и ОС = l ОА × cos j. Учитывая, что ВС = ВО +ОС или ВС = l ОВ + l ОА × cos j, получим  . Или , где l =  . Тогда j3 = arc tg  .

Рис. 5.2. Кулисный механизм

j

3

О

В

А

2

j 3

1

С

 

 

Пример 2. Определить скорость выходного звена 3 в заданном положении тангенсного механизма (рис. 5.3). Кривошип 1 является входным звеном механизма. Заданы: расстояние h = 0,1 м, угол, определяющий положение кривошипа j = 45^о, угловая скорость кривошипа w = 20 рад / с.

Рис. 5.3. Тангенсный механизм

j

w

О

А

В

s А

x

y

h

3

1

2

Перемещение выходного звена 3 определяется линейной координатой s А.  Из треугольника ОАВ следует s А = АВ = h × tg j. Скорость V А звена 3 определяется производной перемещения s А по времени:   где  = w. Определим аналог скорости звена 3. .

Тогда скорость звена 3 определяется соотношением:

 

Пример 3. Определить скорость и ускорение выходного звена 3 в заданном положении синусного механизма (рис. 5.4). Кривошип 1 является входным звеном механизма. Заданы: размер кривошипа l _ОА = 0,1 м,угол, определяющий положение кривошипа j = 45^о, угловая скорость кривошипа w = 100 рад / с.

Рис. 5.4. Синусный механизм

j

w

А

В

s В

x

y

С

3

1

2

О

Перемещение выходного звена 3 определяется линейной координатой s В.  Из треугольника ОАС следует s В = АС = l ОА × sin j. Скорость V В звена 3 определяется производной перемещения s В по времени:   Определим аналог скорости звена 3.   .

 

 

 

Тогда скорость выходного звена 3 определяется соотношением:

 

Ускорение звена 3 определяется производной скорости V_B  по времени:

  × ×

Определим аналог ускорения звена 3.

.

Тогда ускорение выходного звена 3 определяется соотношением:

 

Отрицательный знак ускорения а _B здесь указывает на замедленное движение выходного звена 3, так как знак скорости V _В не совпадает здесь со знаком ускорения а _B.

 

Пример 4. Определить зависимости перемещения, скорости и ускорения ползуна 3 кривошипно-ползунного механизма (рис. 5.5) от угла поворота кривошипа 1. Кривошип 1 является входным звеном механизма. Заданы: l _ОА, l _АВ - размеры звеньев, j  - угол, определяющий положение кривошипа, w - угловая скорость кривошипа.

Рис. 5. 5. Кривошипно-ползунный механизм

А

2

S

В

b

j

О

C

w

3

х

y

1

 

Введём обозначения: r = l _ОА; l = l _АВ; l = r / l.

Из построений на рис. 5.5 выразим перемещение S ползуна:

S = ОС + CB = r × cos j + l × cos b.                                                     (5.7)

Из треугольников ОАС и АВС на рис. 5.5 следует:

АС = r × sin j и АС = l × sin b.

Откуда

  r × sin j = l × sin b   или sin b = l × sin j.

Отсюда, в свою очередь, можно записать:

Разлагая это выражение в ряд, и отбросив сравнительно малые его члены, получим:

                                                                             (5.8)

После подстановки (5.8) в (5.7) и некоторых преобразований получим выражение для определения перемещения S ползуна 3:

                                                              (5.9)

Продифференцировав (5.9) по времени, получим выражение для определения скорости V ползуна 3:

                                                              

или                                                 (5.10)   

Выполнив дифференцирование (5.10) по времени, получим выражение для определения ускорения a ползуна 3 механизма:

 

или                                             (5.11)

 

ЛЕКЦИЯ 6

Геометрический синтез

 плоских рычажных механизмов

Плоские рычажные механизмы, звенья которых обра­зуют вращательные или поступательные кинематические пары, получили широкое распространение в современном машино-  и приборостроении. К достоинствам таких механизмов относятся высокая технологичность изготовления, возмож­ность выполнения шарнирных соединений на подшипниках качения и небольшой износ соприкасающихся поверхно­стей, долговечность и надежность в работе. Кроме того, для механизмов, образованных при помощи звеньев, входящих в низшие пары (в отличие от кулачковых механизмов), не требуется пружин и других устройств, обеспечивающих постоянное замыкание кинематических пар. Подавляющее большинство шарнирно-рычажных механизмов преобразу­ет равномерное движение ведущего звена в неравномерное движение ведомого и относится к механизмам с нелиней­ной функцией положения ведомого звена.

Решение многих задач синтеза и анализа рычажных механизмов связано с большим объемом вычислительных операций. Поэтому автоматизация проектирования являет­ся одной из важнейших задач -  фактором, определяющим технический уровень, качество и эффективность новой техники. Можно с полным основанием утверждать, что ав­томатизация проектирования в ближайшие годы станет од­ной из основных областей применения ЭВМ.