Определение положений звеньев механизма

Размеры звеньев: lOA = 0,2 м, lA В = 0,3 м, l СВ = 0,4 м, lO С = 0,6 м, j = 60^о.

Рис. 3.1. Шарнирный четырёхзвенник

x

В

y

1

2

3

j

А

О

С

Рассмотрим графическое решение данной задачи на примере шарнирного четырёхзвенного механизма, схема которого изображена на рис. 3.1. Механизм состоит из начального звена 1, входящего во вращательную пару со стойкой, и структурной группы звеньев 2, 3.

 

 

Последовательность графического решения задачи о положении механизма:

1. Выберем масштабный коэффициент длин µ _l, который показывает, сколько единиц натуры (метров) содержится в 1 мм чертежа. При этом рекомендуется делать выбор из стандартного ряда масштабов. Примем длину отрезка OA, изображающего звено ОА на чертеже, равной 20 мм. Тогда

µ_l = l_OA /OA = 0,2 / 20 = 0,01 м / мм.

2. Определим длины отрезков, изображающих остальные звенья на чертеже с учётом масштаба.

ОС = l_{O С} / µ _l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АВ = l_{A В} / µ _l = 0,3 / 0,01= 30 мм;

СВ = l _СВ / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм.

3.  Построим на рис. 3.2 положения неподвижных опор О и С на расстоянии ОС = 60 мм друг от друга.

Рис. 3.2. План положений механизма

1

2

3

x

j

А

В

О

С

y

В 1

a

b

4. Построим положение звена 1, изобразив отрезок ОА = 20 мм под углом       j = 60^о  к оси х. 5. Построим положения звеньев структурной группы 2, 3. Для этого проведём дугу окружности a радиусом        АВ = 30 мм с центром в точке А и дугу окружности b   радиусом СВ = 40 мм с центром в точке С. Точки пересечения окружностей a и b обозначим через    В и В 1. Получим положения шарнира В для двух вариантов сборки механизма.

 

Соединив прямыми линиями точки А и В, а также точки А и В ₁, получим два положения шатуна АВ, каждое из которых соответствует своему варианту сборки механизма. Соединив прямыми линиями точки С и В, а также точки С и В ₁, получим два положения коромысла ВС, каждое из которых также соответствует своему варианту сборки механизма.

Полученная на рис. 3.2 картина называется планом положений механизма. Изложенный метод построений называется методом засечек.

 

Графоаналитический метод планов скоростей и ускорений

 

Основа метода заключается в следующем. Плоское движение твёрдого тела (звена) можно представить как состоящее из двух движений: переносного и относительного.

Рассмотрим уравнения, связывающие скорости, а также ускорения точек звеньев плоского рычажного механизма, для двух случаев.

Случай 1.  Две точки А и В принадлежат одному звену и лежат на расстоянии l _АВ друг от друга, как это показано на рис. 3.3.

Рис. 3.3.Звено АВ

А

В

В^¢

В 1

А 1

Сложное движение звена из положения АВ в положение А 1 В 1 можно разложить на переносное поступательное движение вместе с точкой А (до положения А 1 В ¢) и относительное вращение звена вокруг точки А (до положения А 1 В 1). Тогда скорость точки В можно определить векторной суммой: ` VB = ` VA + ` VBA,                   ^ АВ

 

где ` V_A – скорость точки А в переносном поступательном движении звена;

   ` V_BA – скорость точки В при вращении звена вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ).

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

` а<sub>В</sub> = ` а_А + ` а <sup>n</sup> <sub>ВА</sub> + ` а ^t _ВА,

                Ý ВА ^ АВ

где ` а_А – ускорение точки А;

  ` а <sup>n</sup> <sub>ВА</sub> и ` а ^t _ВА - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (` а <sup>n</sup> <sub>ВА</sub> направлено от точки В к точке А, т.е. параллельно ВА, ` а ^t _ВА – перпендикулярно АВ).

Величина ускорения ` а ⁿ _ВА определяется формулой

а ⁿ _ВА = V ² _ВА / l _АВ.

 

Случай 2.  Две точки принадлежат разным звеньям 1 и 2, образующим поступательную кинематическую пару между собой, как это показано на рис. 3.4. Точка В ₁принадлежит звену 1, а точка В ₂ –  звену 2. Точки В ₁ и В ₂  в данный момент времени совпадают друг с другом.

В 1

В2

1

2

S

w 1

` VB 2 , В 1

Рис. 3.4. Поступательная пара

Рис. 3.5. Схема для определения направления ускорения Кориолиса

` VB 2 , В 1

` а ^к B 2 , В 1

w 1

90^о

 

 

Сложное движение звена 2 можно разложить на переносное движение вместе со звеном 1 и относительное скольжение вдоль направляющей s. Скорость точки В ₂ определяется векторной суммой:

` V<sub>B 2</sub> = ` V_{B 1} + ` V_{B 2, B 1},

                     // s

где ` V_{B 1} – скорость точки В ₁;

` V_{B 2, B 1} – скорость точки В ₂ относительно точки В ₁ (направлена параллельно оси s).

Ускорение точки В ₂определяется векторной суммой:

` а <sub>B 2</sub> = ` а _{B 1} + ` а <sup>k</sup> <sub>B 2, B 1</sub> + ` а ^r _{B 2, B 1},

                                     // s

где ` а _{B 1} – ускорение точки В ₁;

` а ^k _{B 2, B 1} – ускорение Кориолиса;

` а ^r _{B 2, B 1}– ускорение скольжения точки В₂ относительно точки В ₁ (направлено параллельно оси s).

Величина ускорения Кориолиса определяется формулой

а ^k _{B 2, B 1} = 2 × w ₁ × V_{B 2, B 1}.

Для определения направления ускорения Кориолиса необходимо повернуть на 90^о векторотносительной скорости ` V_{B 2, B 1}в сторону угловой скорости w ₁ переносного движения, как это показано на рис.3.5.

Планом скоростей звена называется фигура, образованная концами векторов скоростей точек этого звена с общим полюсом.

План скоростей механизма представляет собой совокупность планов скоростей звеньев этого механизма с общим полюсом.

Понятия плана ускорений звена и плана ускорений механизма аналогичны понятиям плана скоростей звена и плана скоростей механизма.

Если найдены скорости и ускорения каких-либо двух точек звена, то скорости и ускорения других точек звена можно определить, используя свойство подобия планов положений, скоростей и ускорений звена. Свойство подобия планов заключается в следующем.

Фигура, образованная точками одного звена, подобна каждой из фигур, образованных концами векторов скоростей, и соответственно ускорений тех же точек звена на планах скоростей и ускорений звена.

Так, треугольник, образованный точками B, C и D звена на рис. 3.6, подобен треугольнику bcd на плане скоростей и треугольнику bcd на плане ускорений звена.

Например, если найдены скорости точек B и D звена, то нахождение скорости точки С этого звена сводится к построению на отрезке bd плана скоростей звена треугольника bdc, подобного треугольнику BDC. При этом  каждая из сторон треугольника bdc на плане скоростей будет перпендикулярна соответствующей стороне треугольника BDC плана положений звена. Аналогично можно определить и ускорение точки С звена. Однако, треугольник bdc на плане ускорений будет повёрнут относительно треугольника BDC на угол, отличный от 90^о.

Рис. 3 6.  Планы положения, скоростей и ускорений звена: а – план положения; б – план скоростей; в – план ускорений

а

B

D

C

б

` VB

` VD

` VC

^ BC

^ CD

^ BD

c

d

p

b

в

` aB

` aD

` aC

c

d

p

b

 

Из свойства подобия планов следуют соотношения:

где BC, BD и CD - длины отрезков на плане положений звена,

bc, bd и cd - длины отрезков на плане скоростей или плане ускорений.

 

ЛЕКЦИЯ 4

  Примеры кинематического анализа плоских рычажных механизмов

 

Рассмотрим примеры построения планов положений, скоростей и ускорений различных плоских механизмов: кривошипно-ползунного, шарнирного четырёхзвенника, кулисного и механизма с качающимся цилиндром.

Пример 1. Кривошипно-ползунный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.1. Размеры звеньев: l _ОА = 0,2 м,      l _АВ = 0,6 м, l _АС = l _СВ = 0,4 м, l _{А S} = 0,2 м, угол j = 150^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w ₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ _l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ _l = l _ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

АВ = l _АВ / µ _l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = l _АС / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

СВ = АС = 40 мм,

AS = l _{А S} / µ _l = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.1 план положений механизма.

` VB = ` VA + ` VBA //x ^ OA ^ AB

` aB = ` aA + ` a^nBA+ ` a^tBA //x Ý AO Ý BA ^ A В

Порядок построения плана ускорений 1. ` p а Ý АО. 2. ` an Ý BA. 3. a ^ АВ. 4. b // х. 5. b = a Ç b. 6. D abc ~ D ABC. 7. as / ab = AS /AB.

Порядок построения плана скоростей 1. ` ра ^ ОА. 2. a ^ АВ. 3. b // х. 4. b = a Ç b. 5. D abc ~ D ABC. 6. as /ab = AS /AB.

П лан скоро стей, µ V = 0,1 (м/с)/мм

План ускорений, µа = 2 (м/с^2)/мм

План положений, µ l = 0,01 м/мм

w 1

А

j

О

В

С

х

1

2

3

S

b // x

s

a ^ AB

p, o

b

a

c

` VA ^ OA

` VB //x

`VBA ^ AB

^ AC

^ BC

b //х

p, о

а

` aB //х

b

a ^ AB

` aA Ý AO

` a^n BA Ý BA

` a^t BA ^ AB

s

n

c

` a^t BA

`VBA

w 2

e 2

А

В

Направления угловой скорости w 2 и углового  ускорения e 2 звена АВ

Рис. 4.1. Кривошипно-ползунный механизм

 

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

V_A = l _ОА × w ₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ _V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего векторскорости ` V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ _V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор ` ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор ` ра изображает скорость ` V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

 Скорость точки В определяется векторной суммой

` V<sub>B</sub> = ` V_A + ` V_BA,

      // х ^ ОА ^ АВ

где ` V_A  - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

  ` V_BA - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

` V_B – вектор скрости точки В, направлен параллельно направляющей оси х.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора ` ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора ` р b, который изображает скорость ` V <sub>В</sub> точки В. Вектор ` а b изображает относительную скорость ` V_BA.

На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abc  перпендикулярна соответствущей стороне треугольника ABC. Через точку а проведём прямую линию перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную BC. Точка пересечения этих прямых даст точку с.

Определим на плане скоростей точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

    AS и АВ – длины отрезков на плане положения.

 Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

V_B = pb × µ _V = 15× 0,1=1,5 м/с;

V_BA = ab × µ _V = 35× 0,1=3,5 м/с.

 

Определим угловую скорость звена 2 по величине.

w ₂ = V_BA / l_AB = 3,5 / 0,6 = 5,8 рад/с.

Направление угловой скорости w ₂звена 2 определяется направлением относительной скорости ` V_BA (см. схему на рис. 4.1).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е.

    а_А  = а ⁿ _А = l _ОА × w ²₁ = 0,2 × 20² = 80 м / с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка p а, изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем p а = 40 мм.

Тогда µ_а = а _A / p а = 80 / 40 = 2 (м / с²) / мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор ` p а, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор ` p а изображаетускорение ` а _A точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

  ` а <sub>B</sub> = ` а _A + ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> + ` а ^t _BA,

  // х Ý АО Ý B А ^ АВ

где ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> и ` а ^t _BA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> направлено от точки В к точке А,       ` а ^t _BA – перпендикулярно АВ).

Определим нормальное ускорение ` а ⁿ _BA по величине.

а ⁿ _BA = V ² _BA / l _АВ = 3,5² / 0,6 = 20,4 м/с².

Определим длину отрезка an, изображающего ускорение ` а ⁿ _BA на чертеже.

  an = а ⁿ _BA / µ_а = 20,4 / 2 = 10,2 мм.

Векторное уравнение, связывающее ускорения точек, решим графическим способом.  Проведём вектор ` an с началом в точке а, направленный из точки В в точку А. Через точку n проведём прямую a, перпендикулярную АВ, а через точку p – прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора ` p b, который изображает ускорение ` а<sub>В</sub> точки В. Вектор ` nb, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорение ` а ^t _BA. Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. При этом направление обхода по контуру ab с на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру AB С плана положений.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

  AS и AB - длины отрезков на плане положений. 

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

а _B = p b × µ_а = 23 × 2 =  46 м/с²;

а ^t _BA = nb × µ_а = 20 × 2 = 40 м/с².

Определим угловое ускорение звена 2 по величине:

e ₂ =  а ^t _BA / l_AB = 40 / 0,6 = 66,7 рад / с².

Направление углового ускорения e ₂звена 2 определяется направлением тангенциального ускорения ` а ^t _BA (см. схему на рис. 4.1).

 

Пример 2. Шарнирный четырёхзвенный механизм. 

Схема механизма изображена на рис. 4.2. Размеры звеньев:   l _ОА = 0,2 м,    l _ОС = 0,7 м, l _АВ = 0,4 м, l _ВС = 0,4 м, l _{А D} = l _{В D} = 0,25 м, l _{А S} = 0,1 м. Угол j = 120^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w ₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ _l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено 1, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ _l = l _ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОС = l _ОС / µ _l = 0,7 / 0,01 = 70 мм;

АВ = l _АВ / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

ВС = l _ВС / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

А D = l _{А D} / µ _l = 0,25 / 0,01 = 25 мм;

BD = А D = 25 мм;

AS = l _{А S} / µ_l = 0,1 / 0,01 = 10 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.2 план положений механизма.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

V_A = l _ОА × w ₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ _V таким, чтобы длина отрезка   ра, изображающего вектор скорости ` V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ _V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор ` ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор ` ра изображает скорость ` V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

 Скорость точки В определяется векторной суммой

` V<sub>B</sub> = ` V_A + ` V_BA,

  ^ В C ^ ОА ^ АВ

где ` V_A  - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

` V_{B А}  - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

` V_B – вектор скорости точки В, направлен перпендикулярно ВС.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора ` ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора

` р b, который изображает скорость ` V _В точки В. Точки а и b соединим прямой линией. Вектор ` а b изображает скорость ` V_BA.

На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abd  на плане скоростей перпендикулярна соответствующей стороне треугольника ABD плана положений. Через точку а проведём прямую линию, перпендикулярную А D, а через точку b – прямую, перепендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

  AS  и AB – длины отрезков на плане положений.

 Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим по величине скорости точек.

V_B = pb × µ _V = 24× 0,1=2,4 м/с.

V_BA = ab × µ _V = 36× 0,1=3,6 м/с.

Определим по величине угловые скорости звеньев 2 и 3.

w ₂ = V_BA / l_AB = 3,6 / 0,4 = 9 рад/с,

w ₃ = V_B / l_BC = 2,4 / 0,4 = 6 рад/с.

Направления угловых скоростей w ₂и w ₃   определяются направлениями относительных скоростей ` V<sub>BA</sub> и ` V_B  соответственно (см. схему на рис. 4.2).

План ускорений, µа = 2 (м /с^2)/мм

` aB = ` aA + ` a^nBA+ ` a^tBA     Ý AO Ý BA ^ BA ` aB = ` aC + ` a^nBC+ ` a^tBC      =0 Ý BC ^ BC

` a^nBA Ý BA

s

p, о, с

b

n 1

n 2

a

` a^nBC Ý BC

` aA Ý AO

` a^tBA ^ BA

` a^tBC ^ BC

a ^ BA

d

` aB

b ^ BC

Порядок построения плана скоростей 1. ` ра ^ ОА. 2. a ^ АВ. 3. b ^ ВС. 4. b = a Ç b. 5. D abd ~ D ABD. 6. as/ab = AS /AB.

Порядок построения плана ускорений 1. ` p а Ý АО. 2. ` an1 Ý BA. 3. a ^ АВ. 4. ` с n2 Ý BC. 5. b ^ BC 6. b = a Ç b. 7. D abd ~ D ABD. 8. as/ab = AS /AB.

Рис. 4.2. Шарнирный четырёхзвенный механизм

Направления угловых скоростей w 2, w 3 и угловых ускорений e 2, e 3 звеньев

` a^tB С

w 3

e 3

В

С

` V B С

` VBA

w2

e 2

В

А

` a^tBA

План скоростей, µ l = 0,1 (м/с)/мм     ` VB = ` VA + ` VBA             ^ВС        ^ OA ^ AB

b ^ B С

р, о, с

а

b

d

a ^ AB

` VB   ^ВС

` VA   ^ OA

` VBA ^ AB

^ AD

^ BD

s

О

В

С

1

2

3

j

D

А

w 1

S

План положений, µ l = 0,01 м / мм

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е.          а_А  = а ⁿ _А = l _ОА × w ²₁ = 0,2 × 20² = 80 м/с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка p а, изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем p а = 40 мм.

Тогда µ_а = а _A / p а = 80 / 40 = 2 (м/с²)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор ` p а, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор ` p а изображаетускорение ` а _A точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

` а <sub>B</sub> = ` а _A + ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> + ` а ^t _BA,

       Ý АО Ý B А ^ АВ

где ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> и ` а ^t _BA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> направлено от точки В к точке А,    ` а ^t _BA – перпендикулярно АВ).

Точка B лежит на звене 3, которое вращается вокруг неподвижного центра С. Ускорение точки B при этом определяется векторной суммой:

` а <sub>B</sub> = ` а_С + ` а <sup>n</sup> <sub>B С</sub> + ` а ^t _{B С},

       =0 Ý B С ^ ВС

где ` а_С – ускорение точки С (равно нулю);

` а <sup>n</sup> <sub>B С</sub> и ` а ^t _{B С} - нормальное и тангециальное ускорения точки В при вращении звена 3 вокруг точки С (` а <sup>n</sup> <sub>B С</sub> направлено от точки В к точке С,                       ` а ^t _{B С} – перпендикулярно ВС).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим нормальные ускорения ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> и ` а ⁿ _{B С} по величине:

а ⁿ _BA = V ² _BA / l _АВ = 3,6² / 0,4 =32,4 м/с²;

а ⁿ _{B С} = V ² _{B С} / l _ВС =2,4² / 0,4 = 14,4 м/с².

Здесь V_{B С} = V_B = 2,4 м/с.

Определим длину отрезков an ₁ и   cn ₂,изображающих нормальные ускорения ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> и ` а ⁿ _{B С} , соответственно, на чертеже:

an ₁ = а ⁿ _BA / µ_а = 32,4 / 2 = 16,2 мм;

с n ₂ = а ⁿ _{B С} / µ_а =14,4 / 2 = 7,2 мм.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор ` an <sub>1</sub> с началом в точке а, направленный из точки В в точку А. Через точку n <sub>1</sub> проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Проведём вектор ` с n ₂ с началом в точке с, направленный из точки В в точку С. Точка с совпадает с полюсом p, так как ускорение точки С равно нулю.Через точку n ₂ проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора ` p b, который изображает ускорение ` а_В точки В. Вектор ` n <sub>1</sub> b, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорение ` а ^t _BA. Вектор ` n <sub>2</sub> b, перпендикулярный ВС, изображает тангенциальное ускорение ` а ^t _{B С}. Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. При этом направление обхода по контуру abd на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру ABD плана положения.

Длины сторон треугольника abd определим из соотношений

bd = ad = 11,25 мм,

где ad, а b, bd – длины отрезков на плане ускорений;

AD и AB и В D – длины отрезков на плане положения.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

  AS и AB – длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

а _B = p b × µ_а = 50 × 2 = 100 м/с²,

а ^t _BA = n ₁ b × µ_а = 5 × 2 = 10 м/с²,

а ^t _{B С} = n ₂ b × µ_а = 49 × 2 = 98 м/с².

Определим угловые ускорения e ₂и e ₃звеньев 2 и 3 по величине:

e ₂ =  а ^t _BA / l_AB = 1 0 / 0,4 = 25 рад/с²;

e ₃ =  а ^t _{B С} / l_{B С} = 98 / 0,4 = 245 рад/с².

Направления угловых ускорений e ₂ и e ₃ звеньев 2 и 3 определяются направлениями тангенциальных ускорений ` а <sup>t</sup> <sub>BA</sub> и ` а ^t _{B С}, соответственно (см. схему на рис. 4.2).

Пример 3. Кулисный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.3. Размеры звеньев: l _ОА = 0,2 м,      l _ОВ = 0,5 м, l _СВ = 0,8 м, l _{С D} = 0,25 м, у гол j = 60^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w ₁ = 20 рад/с.

Введём в рассмотрение точку А ₃, принадлежащую кулисе 3 и совпадающую с точкой А кулисного камня 2.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ _l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ _l = l _ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОВ = l _ОВ / µ _l = 0,5 / 0,01 = 50 мм;

СВ = l _СВ / µ _l = 0,8 / 0,01 = 80 мм;

С D = l _{С D} / µ _l = 0,25 / 0,01 = 25 мм.

Определим расстояние между точками А ₃ и В кулисы 3:

l _{А 3, В} = А ₃ В × µ _l = 60 × 0,01 = 0,6 м,

где А ₃ В – длина отрезка на плане положений механизма.

На рис. 4.3 построим план положений механизма. Сначала построим положения неподвижных опор О и В, затем положение начального звена ОА под углом j = 60^о к прямой ОВ, затем положение кулисы 3.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А.

V_A = l _ОА × w ₁= 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ _V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ _V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.3 вектор ` ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор ` ра изображает скорость ` V_A точки А.

Движение кулисы 3 разложим на переносное движение вместе со звеном 2 и движение скольжения относительно звена 2.

 Скорость точки А ₃