Структура механизмов. Кинематические пары и их классификация

ТЕОРИЯ  МЕХАНИЗМОВ И МАШИН.

ЧАСТЬ 1.

СТРУКТУРА, КИНЕМАТИКА

И КИНЕТОСТАТИКА МЕХАНИЗМОВ

КУРС ЛЕКЦИЙ

 

 

Новосибирск 2013

 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

 

Ю.И. ЕВДОКИМОВ

 

 

ТЕОРИЯ  МЕХАНИЗМОВ И МАШИН.

ЧАСТЬ 1.

СТРУКТУРА, КИНЕМАТИКА

И КИНЕТОСТАТИКА МЕХАНИЗМОВ

КУРС ЛЕКЦИЙ

Новосибирск 2013

 

УДК 621.01

ББК 34.41

 

Кафедра теоретической и прикладной механики

Рецензент канд. техн. наук, проф. В.В. Коноводов

 

Евдокимов Ю.И. Теория механизмов и машин. Часть 1: Структура, кинематика и кинетостатика механизмов: курс лекций / Новосиб. гос. аграр. ун-т. Инженер. ин-т.- Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2013. - 96 с.

 

Курс лекций содержит основные положения курса «Теория механизмов и машин», изложенные в краткой конспективной форме. В первой части представлены теоретические положения разделов: структурный анализ и синтез, а также классификация механизмов; кинематический анализ и элементы геометрического синтеза плоских рычажных механизмов; силовое исследование плоских рычажных механизмов. Изложение дано на основе графических, аналитических и графоаналитических методов определения параметров механизмов.

По каждому разделу приведены примеры решения задач на основе рассмотренного теоретического материала. 

 

Предназначен  для студентов Инженерного института всех форм обучения, обучающихся по следующим направлениям и профилям:

Направление 110800  «Агроинженерия». Профили:110801.62 «Машины и оборудование в агробизнесе»; 110802.62 «Электрооборудование и электротехнологии в АПК»; 110803.62 «Технологическое оборудование для хранения и переработки с.х. продукции»; 110804.62 «Технический сервис в агропромышленном комплексе».

Направление 051000  «Профессиональное обучение».   Профиль 051001.62  «Профессиональное обучение (сельское и рыбноехозяйство».

Направление 190600  «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». Профиль 190601.62 «Автомобили и автомобильное хозяйства».

Направление 190700  «Технология транспортных процессов». Профиль 190709.62     «Организация и безопасность движения».

Утверждён и рекомендован к изданию методической комиссией Инженерного института (протокол № 8 от 20 декабря 2012 г.).

 

 

Ó Новосибирский государственный аграрный университет, 2013

                Ó Евдокимов Ю.И., 2013

 

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ____________________________________________	6
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА_________________________	7
ЛЕКЦИЯ 1_________________________________________________	7
Введение_______________________________________________	7
Краткий исторический очерк_______________________________	8
Структура механизмов. Кинематические пары и их классификация______________________________________	11
Кинематические цепи. Механизм___________________________	15
ЛЕКЦИЯ 2_________________________________________________	18
Классификация механизмов_______________________________	18
Число степеней свободы механизма_________________________	21
Структурный анализ и синтез плоских рычажных механизмов__	23
ЛЕКЦИЯ 3_________________________________________________	30
Кинематический анализ механизмов. Основные цели, задачи и методы___________________________	30
Определение положений звеньев механизма__________________	30
Графоаналитический метод планов скоростей и ускорений____	31
ЛЕКЦИЯ 4_________________________________________________	34
Примеры кинематического анализа плоских рычажных механизмов____________________________	34
ЛЕКЦИЯ 5_________________________________________________	52
Аналитическая кинематика плоских рычажных механизмов____	50
Основные этапы кинематического анализа механизма аналитическим методом___________________________________	52
Примеры кинематического анализа механизмов аналитическим методом___________________________________	54
ЛЕКЦИЯ 6_________________________________________________	57
Геометрический синтез плоских рычажных механизмов____________________________	57
Этапы проектирования механизмов_________________________	58
Условия существования кривошипа в шарнирном четырёхзвенном механизме____________________	60
Синтез шарнирного четырехзвенного механизма по двум крайним положениям коромысла____________________	61
Синтез шарнирного четырёхзвенника по коэффициенту изменения средней угловой скорости выходного звена_________	62
Синтез шарнирного четырёхзвенника по углам давления в крайних положениях выходного звена_____	64
Синтез кривошипно-ползунного механизма по крайним положениям ползуна___________________________	65
Синтез кривошипно-ползунного механизма по коэффициенту изменения средней скорости ползуна___________	67
Синтез кривошипно-ползунного механизма с учётом углов давления в кинематических парах_____________	69
Синтез кулисного механизма по коэффициенту изменения средней скорости выходного звена___	70
Синтез механизма с качающимся цилиндром_________________	72
ЛЕКЦИЯ 7_________________________________________________	74
Силовой анализ плоских рычажных механизмов______________	74
Классификация сил, действующих в механизмах______________	74
Метод кинетостатики_____________________________________	75
Силы инерции звеньев механизма__________________________	76
Условия статической определимости кинематической цепи_____	78
Общий план силового расчёта плоского рычажного механизма__	80
Силовой расчёт двухповодковых структурных групп__________	81
Силовой расчёт начального звена___________________________	91
ЛЕКЦИЯ 8_________________________________________________	92
Рычаг Н.Е. Жуковского___________________________________	92

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Развитие сельского хозяйства и повышение производительности труда невозможны без широкого применения механизации и автоматизации трудоёмких технологических процессов. Эффективная эксплуатация современной сложной сельскохозяйственной техники требует знания многих научных дисциплин, и в первую очередь теории механизмов и машин (ТММ). ТММ является базой для подготовки к освоению специальных курсов, на которых изучаются различные машины, применяемые в сельском хозяйстве.

Учебная дисциплина «Теория механизмов и машин» базируется на механико-математической подготовке студентов, обеспечиваемой предшествующими курсами: «Физика», «Высшая математика», «Теоретическая механика».

Являясь научной основой специальных курсов по проектированию и эксплуатации машин отраслевого назначения, она ставит задачи научить студентов:

общим методам исследования и проектирования механизмов и машин;

пониманию общих принципов реализации движения с помощью механизмов и взаимодействия механизмов в машине;

определять основные кинематические и динамические свойства различных механических систем;

системному подходу к проектированию машин и механизмов, нахождению оптимальных параметров механизмов по заданным условиям работы.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Теория механизмов и машин: учеб. для втузов / К.В. Фролов, С.А. Попов и др.; под ред. К.В. Фролова. - М.: Высш. шк., 1987, 1998, 2001, 2004.

2. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский. - М.: Наука, 1988.

3. Левитская О.Н. Курс теории механизмов и машин / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский. - М.: Высш. шк., 1985.

4. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин: учеб. пособие / Г.А. Тимофеев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт; ИД Юрайт, 2010.

 

Дополнительная

5.   Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин / С.Н. Кожевников. - М., 1977.

6. Кожевников С.Н. Механизмы: справ. пособие / С.Н. Кожевников, Я.И. Есипенко, Я.М. Раскин; под ред. С.Н. Кожевникова.- М., 1976.

7.   Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам / А.Ф. Крайнев.- М., 1987.

8. Попов С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / С.А. Попов, Г.А. Тимофеев.- М., 1998, 2002,2004, 2008.

9. Лабораторные работы по теории механизмов и машин / Новосиб. гос. аграр. ун-т; сост. Ю.И. Евдокимов. - Новосибирск, 2009.

10. Тесты по теории механизмов и машин / Новосиб. гос. аграр. ун-т; сост. Ю.И. Евдокимов. - Новосибирск, 2007.

11. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин в примерах: учеб-метод. пособие / Новосиб. гос. аграр. ун-т; сост. Ю.И. Евдокимов. - Новосибирск, 2011.

ЛЕКЦИЯ 1

Введение

Теория механизмов и машин - наука об общих методах анализа и синтеза механизмов и машин.

Анализ механизма состоит в исследовании кинематических и динамических свойств механизма по заданной его схеме.

Синтез механизма заключается в проектировании схемы механизма по заданным его свойствам.

Машина   есть устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целью замены или облегчения физического и умственного труда человека.

Технологическая машина изменяет форму, размеры, свойства, состояние исходных материалов и заготовок.

Транспортные машины преобразуют только положение материала в пространстве с требуемой скоростью.

Энергетическая машина  предназначена для преобразования одного вида энергии в другой.

Машина-двигатель преобразует какой-либо вид энергии в механическую.

Машина-генератор преобразует механическую энергию в другой вид энергии.

Рабочая машина предназначена для преобразования материалов.

Информационная машина предназначена для получения и преобразования информации.

Контрольно-управляющая машина предназначена для преобразования информации с целью управления энергетическими или рабочими машинами.

Математическая машина предназначена для получения математических образов, соответствующих свойствам объекта.

Кибернетическая машина предназначена для имитации или замены человека в процессах деятельности, присущих только ему или объектам живой природы, и обладающая элементами искусственного интеллекта;

Машинный агрегат - техническая система, состоящая из одной или нескольких машин, соединённых последовательно или параллельно между собой, и предназначенная для выполнения каких-либо требуемых функций.

Машина осуществляет свой рабочий процесс посредством вы­полнения закономерных механических движений. Носителем этих движений является механизм. Следовательно,    механизм есть система твердых тел, подвижно связанных путем соприкосновения и движущихся определенным, требуемым образом относительно одного из них, принятого за неподвижное. Очень многие механизмы выполняют функцию преобразования механического движения твер­дых тел.

Краткий исторический очерк

 

Простейшие механизмы (рычаж­ные, зубчатые и др.) были известны с давних времен; постепенно шел процесс их исследования, совершенствования и внедрения в практику с целью облегчить труд человека, повысить производи­тельность труда.

Так, известно, что выдающийся деятель культуры эпохи Воз­рождения и ученый Леонардо да Винчи (1452-1519) разработал проекты конструкций механизмов ткацких станков, печатных и деревообрабатывающих машин, им сделана попытка определить экспериментальным путем коэффициент трения. Итальянский врач и математик Д. Кардан (1501-1576) изучал движение механизмов часов и мельниц. Французские ученые Г. Амонтон (1663-1705) и Ш. Кулон (1736-1806) первыми предложили формулы для определения силы трения покоя и скольжения.

Выдающийся математик и механик Л. Эйлер (1707-1783), швейцарец по происхождению, 30 лет жил и работал в России, профессор, а затем действительный член Петербургской Академии наук, автор 850 научных трудов, решил ряд задач по кинематике и динамике твердого тела, исследовал колебания и устойчивость упругих тел, занимался и вопросами практической механики, исследовал, в частности, различные профили зубьев зубчатых колес и пришел к выводу о том, что наиболее перспек­тивный профиль - эвольвентный.

Известный русский механик и изобретатель И. И. Ползунов (1728-1766) впервые разработал проект механизма двухцилинд­рового парового двигателя (осуществить который ему, к сожале­нию, не удалось), сконструировал автоматический регулятор пи­тания котла водой, устройство для подачи воды и пара и другие механизмы. Выдающийся механик И. И. Кулибин (1735-1818) создал знаменитые часы в форме яйца, представляющие собой сложнейший по тем временам механизм автоматического действия.

В связи с развитием машиностроения как отрасли промышлен­ности появилась потребность в разработке общих научных методов исследования и проектирования механизмов, входящих в состав машин. Эти методы способствовали созданию наиболее совершен­ных для своего времени машин, выполняющих наилучшим обра­зом определенные требуемые функции. Известно, что машино­строение как отрасль промышленности начала складываться еще в XVIII в., а в XIX в. она стала быстро развиваться, особенно в Англии и США.

В России первые машиностроительные заводы появились в  XVIII в.; в 1861 г. их было уже свыше ста, а в 1900 г. пример­но 1417.

Высокоразвитое отечественное машиностроение было одним из факторов, обеспечивших победу в Великой Отечественной войне; в настоящее время машиностроение в числе других отраслей народ­ного хозяйства успешно решает задачи ускорения научно-техни­ческого прогресса страны.

Как наука теория механизмов и машин под названием «При­кладная механика» начала формироваться в начале XIX в., причем тогда разрабатывались в основном методы структурного, кинема­тического и динамического анализа механизмов. И лишь с середины XIX  в. в теории механизмов и машин получают развитие общие методы синтеза механизмов. Так, знаменитый русский ученый,
математик и механик академик П.Л. Чебышев (1821-1894) опубликовал 15 работ по структуре и синтезу рычажных механиз­мов, при этом на основе разработанных методов он изобрел и построил свыше 40 различных новых механизмов, осуществляющих заданную траекторию, останов некоторых звеньев при движении других и т. д.; структурная формула плоских механизмов называется сейчас формулой Чебышева.

Немецкий ученый  Ф. Грасгоф (1826-1893) дал математическую формулировку условия проворачиваемости звена плоского рычаж­ного механизма, которое необходимо при его синтезе. Английские математики Д. Сильвестр (1814-1897) и С. Робертс (1827-1913) разработали теорию рычажных механизмов для преобразования кривых (пантографов).

И. А. Вышнеградский (1831-1895), известный как один из основоположников теории автоматического регулирования, скон­струировал ряд машин и механизмов (автоматический пресс, подъемные машины, регулятор насоса) и, будучи профессором Петербургского технологического института, создал научную школу конструирования машин.

Методы синтеза зубчатых механизмов, широко применяемых в различных машинах, отличаются определенной сложностью. Многие ученые работали в этой области. Французский геометр Т. Оливье (1793-1858) обосновал метод синтеза сопряженных поверхностей в плоских и пространственных зацеплениях с помощью производя­щей поверхности. Английский ученый Р. Виллис (1800-1875) дока­зал основную теорему плоского зацепления и предложил аналити­ческий метод исследования планетарных зубчатых механизмов. Не­мецкий машиновед Ф. Рело (1829—1905) разработал графический метод синтеза сопряженных профилей, известный в настоящее вре­мя как «метод нормалей». Рело также является автором работ по структуре (строению) и кинематике механизмов. Русский ученый X. И. Гохман (1851-1916) одним из первых опубликовал работу по аналитической теории зацепления.

Значительный вклад в динамику машин внес своими трудами «отец русской авиации» Н. Е. Жуковский (1847-1921). Он был не только основоположником современной аэродинамики, но и автором целого ряда работ по прикладной механике и теории регулирования хода машин.

Развитию механики машин способствовали работы Н. П. Петро­ва (1836-1920), заложившего основы гидродинамической теории смазки, В. П. Горячкина (1868-1935), который разработал теорети­ческие основы расчета и построения сельскохозяйственных машин, вся сложность расчета которых заключается в том, что их исполни­тельные механизмы должны воспроизводить движения руки чело­века.

Русский ученый Л. В. Ассур (1878-1920) открыл общую зако­номерность в структуре многозвенных плоских механизмов, приме­няемую и сейчас при их анализе и синтезе. Он же разработал метод «особых точек» для кинематического анализа сложных рычажных механизмов. А. П. Малышев (1879-1962) предложил теорию структурного анализа и синтеза применительно к сложным плоским и пространственным механизмам.

Существенный вклад в становление механики машин как цель­ной теории машиностроения внес И. И. Артоболевский (1905-1977). Он является организатором советской школы теории меха­низмов и машин; им написаны многочисленные труды по структуре, кинематике и синтезу механизмов, динамике машин и теории машин-автоматов, а также учебники, получившие всеобщее призна­ние.

Ученики и последователи И. И. Артоболевского -  А. П. Бессо­нов, Вяч. А. Зиновьев (1899-1975), Н. И. Левитский, Н. В. Умнов, С. А. Черкудинов и многие другие -  своими работами в области динамики машин (в том числе акустической и неголономной), опти­мизационного синтеза механизмов, теории машин-автоматов и в других областях теории механизмов и машин содействовали даль­нейшему ее развитию.

В 30-е и последующие годы большой вклад в теорию механизмов и машин внесли своими исследованиями Н. Г. Бруевич, один из создателей теории точности механизмов, Г. Г. Баранов (1899-1968), автор трудов по кинематике пространственных механизмов, С, Н. Кожевников, разработавший общие методы динамического анализа механизмов с упругими звеньями и механизмов тяжелонагруженных машин.

Следует отметить труды наших отечественных ученых: Н. И. Мерцалов (1866-1948) дополнил кинемати­ческое исследование плоских механизмов теорией пространственных механизмов и разработал простой и надежный метод расчета ма­ховика; Л. П. Смирнов (1877-1954) привел в строгую единую сис­тему графические методы исследования кинематики механизмов и динамики машин; В. А. Гавриленко (1899-1977) разработал тео­рию эвольвентных зубчатых передач; Л. Н. Решетов развил теорию кулачковых механизмов и положил начало теории самоустанавли­вающихся механизмов.

ЛЕКЦИЯ 2

Классификация механизмов

 

По конструктивному исполнению звеньев механизмы делятся на следующие виды.

Рычажные – содержащие только низшие кинематические пары (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Рычажные механизмы: а - шарнирный четырёхзвенник; б - кулисный механизм

а

б

Зубчатые – содержащие зубчатые колёса (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Многоступенчатая зубчатая передача

Кулачковые – содержащие высшую кинематическую пару (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Кулачковый механизм

 

Механизмы с гибкими звеньями - содержащие звенья, не являющиеся твёрдыми телами(рис. 2.11);

Рис. 2.11. Ремённая передача

Рис. 2.12. Фрикционная передача

Фрикционные, в которых передача движения происходит за счёт сил трения (рис. 2.12).

                                                                                                                                           

Кроме перечисленных здесь основных видов механизмов в технике применяются также и другие различные их виды.

По функциональному назначению механизмы делятся на виды в зависимости от характера движения их входных и выходных звеньев, например, кривошипно-ползунный, кривошипно-коромысловый и т.д.

ЛЕКЦИЯ 3

ЛЕКЦИЯ 4

  Примеры кинематического анализа плоских рычажных механизмов

 

Рассмотрим примеры построения планов положений, скоростей и ускорений различных плоских механизмов: кривошипно-ползунного, шарнирного четырёхзвенника, кулисного и механизма с качающимся цилиндром.

Пример 1. Кривошипно-ползунный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.1. Размеры звеньев: l _ОА = 0,2 м,      l _АВ = 0,6 м, l _АС = l _СВ = 0,4 м, l _{А S} = 0,2 м, угол j = 150^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w ₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ _l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ _l = l _ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

АВ = l _АВ / µ _l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = l _АС / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

СВ = АС = 40 мм,

AS = l _{А S} / µ _l = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.1 план положений механизма.

` VB = ` VA + ` VBA //x ^ OA ^ AB

` aB = ` aA + ` a^nBA+ ` a^tBA //x Ý AO Ý BA ^ A В

Порядок построения плана ускорений 1. ` p а Ý АО. 2. ` an Ý BA. 3. a ^ АВ. 4. b // х. 5. b = a Ç b. 6. D abc ~ D ABC. 7. as / ab = AS /AB.

Порядок построения плана скоростей 1. ` ра ^ ОА. 2. a ^ АВ. 3. b // х. 4. b = a Ç b. 5. D abc ~ D ABC. 6. as /ab = AS /AB.

П лан скоро стей, µ V = 0,1 (м/с)/мм

План ускорений, µа = 2 (м/с^2)/мм

План положений, µ l = 0,01 м/мм

w 1

А

j

О

В

С

х

1

2

3

S

b // x

s

a ^ AB

p, o

b

a

c

` VA ^ OA

` VB //x

`VBA ^ AB

^ AC

^ BC

b //х

p, о

а

` aB //х

b

a ^ AB

` aA Ý AO

` a^n BA Ý BA

` a^t BA ^ AB

s

n

c

` a^t BA

`VBA

w 2

e 2

А

В

Направления угловой скорости w 2 и углового  ускорения e 2 звена АВ

Рис. 4.1. Кривошипно-ползунный механизм

 

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

V_A = l _ОА × w ₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ _V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего векторскорости ` V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ _V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор ` ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор ` ра изображает скорость ` V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

 Скорость точки В определяется векторной суммой

` V<sub>B</sub> = ` V_A + ` V_BA,

      // х ^ ОА ^ АВ

где ` V_A  - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

  ` V_BA - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

` V_B – вектор скрости точки В, направлен параллельно направляющей оси х.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора ` ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора ` р b, который изображает скорость ` V <sub>В</sub> точки В. Вектор ` а b изображает относительную скорость ` V_BA.

На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abc  перпендикулярна соответствущей стороне треугольника ABC. Через точку а проведём прямую линию перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную BC. Точка пересечения этих прямых даст точку с.

Определим на плане скоростей точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

    AS и АВ – длины отрезков на плане положения.

 Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

V_B = pb × µ _V = 15× 0,1=1,5 м/с;

V_BA = ab × µ _V = 35× 0,1=3,5 м/с.

 

Определим угловую скорость звена 2 по величине.

w ₂ = V_BA / l_AB = 3,5 / 0,6 = 5,8 рад/с.

Направление угловой скорости w ₂звена 2 определяется направлением относительной скорости ` V_BA (см. схему на рис. 4.1).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е.

    а_А  = а ⁿ _А = l _ОА × w ²₁ = 0,2 × 20² = 80 м / с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка p а, изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем p а = 40 мм.

Тогда µ_а = а _A / p а = 80 / 40 = 2 (м / с²) / мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор ` p а, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор ` p а изображаетускорение ` а _A точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

  ` а <sub>B</sub> = ` а _A + ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> + ` а ^t _BA,

  // х Ý АО Ý B А ^ АВ

где ` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> и ` а ^t _BA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (` а <sup>n</sup> <sub>BA</sub> направлено от точки В к точке А,       ` а ^t _BA – перпендикулярно АВ).

Определим нормальное ускорение ` а ⁿ _BA по величине.

а ⁿ _BA = V ² _BA / l _АВ = 3,5² / 0,6 = 20,4 м/с².

Определим длину отрезка an, изображающего ускорение ` а ⁿ _BA на чертеже.

  an = а ⁿ _BA / µ_а = 20,4 / 2 = 10,2 мм.

Векторное уравнение, связывающее ускорения точек, решим графическим способом.  Проведём вектор ` an с началом в точке а, направленный из точки В в точку А. Через точку n проведём прямую a, перпендикулярную АВ, а через точку p – прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора ` p b, который изображает ускорение ` а<sub>В</sub> точки В. Вектор ` nb, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорение ` а ^t _BA. Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. При этом направление обхода по контуру ab с на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру AB С плана положений.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

  AS и AB - длины отрезков на плане положений. 

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

а _B = p b × µ_а = 23 × 2 =  46 м/с²;

а ^t _BA = nb × µ_а = 20 × 2 = 40 м/с².

Определим угловое ускорение звена 2 по величине:

e ₂ =  а ^t _BA / l_AB = 40 / 0,6 = 66,7 рад / с².

Направление углового ускорения e ₂звена 2 определяется направлением тангенциального ускорения ` а ^t _BA (см. схему на рис. 4.1).

 

Пример 2. Шарнирный четырёхзвенный механизм. 

Схема механизма изображена на рис. 4.2. Размеры звеньев:   l _ОА = 0,2 м,    l _ОС = 0,7 м, l _АВ = 0,4 м, l _ВС = 0,4 м, l _{А D} = l _{В D} = 0,25 м, l _{А S} = 0,1 м. Угол j = 120^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w ₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ _l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено 1, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ _l = l _ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОС = l _ОС / µ _l = 0,7 / 0,01 = 70 мм;

АВ = l _АВ / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

ВС = l _ВС / µ _l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

А D = l _{А D} / µ _l = 0,25 / 0,01 = 25 мм;

BD = А D = 25 мм;

AS = l _{А S} / µ_l = 0,1 / 0,01 = 10 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.2 план положений механизма.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

V_A = l _ОА × w ₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ _V таким, чтобы длина отрезка   ра, изображающего вектор скорости ` V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ _V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор ` ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор ` ра изображает скорость ` V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

 Скорость точки В определяется векторной суммой

` V<sub>B</sub> = ` V_A + ` V_BA,

  ^ В C ^ ОА ^ АВ

где ` V_A  - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

` V_{B А}  - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

` V_B – вектор скорости точки В, направлен перпендикулярно ВС.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора ` ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора

` р b, который изображает скорость ` V _В точки В. Точки а и b соединим прямой линией. Вектор ` а b изображает скорость ` V_BA.

На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abd  на плане скоростей перпендикулярна соответствующей стороне треугольника ABD плана положений. Через точку а проведём прямую линию, перпендикулярную А D, а через точку b – прямую, перепендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

  AS  и AB – длины отрезков на плане положений.

 Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим по величине скорости точек.

V_B = pb × µ _V = 24× 0,1=2,4 м/с.

V_BA = ab × µ _V = 36× 0,1=3,6 м/с.

Определим по величине угловые скорости звеньев 2 и 3.

w ₂ = V_BA / l_AB = 3,6 / 0,4 = 9 рад/с,

w ₃ = V_B / l_BC = 2,4 / 0,4 = 6 рад/с.

Направления угловых скоростей w ₂и w ₃   определяются направлениями относительных скоростей ` V<sub>BA</sub> и ` V_B  соответственно (см. схему на рис. 4.2).

План ускорений, µа = 2 (м /с^2)/мм

` aB = ` aA + ` a^nBA+ ` a^tBA     Ý AO Ý BA ^ BA ` aB = ` aC + ` a^nBC+ ` a^tBC      =0 Ý BC ^ BC

` a^nBA Ý BA

s

p, о, с

b

n 1

n 2

a

` a^nBC Ý BC

` aA Ý AO

` a^tBA ^ BA

` a^tBC ^ BC

a ^ BA

d

` aB

b ^ BC

Порядок построения плана скоростей 1. ` ра ^ ОА. 2. a ^ АВ