Адаптация с помощью наблюдателя

С учетом действующих на подвижный объект возмущений закон управления (2.72) принимает вид:

   . (2.86)

где  – вектор оценок возмущений, формируемый асимптотическим наблюдателем.

Введем в рассмотрение ошибку наблюдателя:

                                    .                               (2.87)

Согласно процедуре синтеза редуцированных наблюдателей [21] введем заменую переменных

                                 .                            (2.88)

С учетом (2.88) выражение (2.87) принимает вид:

                             .                        (2.89)

Потребуем, чтобы переменная (2.89) удовлетворяла решению уравнения

                                   .                              (2.90)

где  – матрица коэффициентов усиления наблюдателя.

Предполагая, что возмущение постоянное, вычислим производную по времени от переменной (2.89):

                .           (2.91)

Подставим (2.89), (2.91) в уравнение (2.90):

. (2.92)

Потребуем, чтобы уравнение (2.92) не зависело от неизмеряемого возмущения . Для этого в (2.92) приравняем к нулю все слагаемые, содержащие :

                       .                  (2.93)

Решая уравнение (2.93), получим

                , .           (2.94)

Таким образом, уравнения наблюдателя возмущений имеют вид:

                      .                  (2.95)

                                 .                            (2.96)

Файлы программы моделирования позиционно-траекторной системы управления приводятся ниже. Запускаемый файл имеет вид.

clc

clear all

close all

M=diag([1;1;1;10;100;100]);

x0=[1;1;3;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];

tk=200;

k=1; T1=2; T2=1; T3=1; y_0=10; ky=0.03; Vx_0=1; Vy_0=0; Vz_0=0; L=10; Ln=diag([10;10;10;10;10;10]);

[t,y]=ode45('position_path_function',[0 tk],x0,[],M,k,T1,T2,T3,y_0,ky,Vx_0,Vy_0,Vz_0,L,Ln);

figure(1); hold on; grid on; plot(t,y(:,2),'*b');

figure(2); hold on; grid on; plot(y(:,1),y(:,3),'*b');

figure(3); hold on; grid on; plot(t,y(:,14),'*b');

Интегрируемый ode-файл имеет вид.

function y=position_path_function(t,x,flag,M,k,T1,T2,T3,y_0,ky,Vx_0,Vy_0,Vz_0,L,Ln)

x0=x(1);

y0=x(2);

z0=x(3);

psi=x(4);

upsilon=x(5);

gamma=x(6);

Vx=x(7);

Vy=x(8);

Vz=x(9);

wx=x(10);

wy=x(11);

wz=x(12);

z=[x(13);x(14);x(15);x(16);x(17);x(18)];

V=[Vx;Vy;Vz];

omega=[wx;wy;wz];

A=[cos(psi)*cos(upsilon), -cos(psi)*sin(upsilon)*cos(gamma)+sin(psi)*sin(gamma), cos(psi)*sin(upsilon)*sin(gamma)+sin(psi)*cos(gamma);

sin(upsilon),      cos(upsilon)*cos(gamma),                           -cos(upsilon)*sin(gamma);

-sin(psi)*cos(upsilon), cos(psi)*sin(gamma)+sin(psi)*sin(upsilon)*cos(gamma), cos(psi)*cos(gamma)-sin(psi)*sin(upsilon)*sin(gamma)];

Aw = [0, cos(gamma)/cos(upsilon), -sin(gamma)/cos(upsilon);

0, sin(gamma)           , cos(gamma)        ;

1, -cos(gamma)*tan(upsilon), sin(gamma)*tan(upsilon) ];

%-----------controller------------------------

r0=[x0;y0;z0];

Theta=[psi;upsilon;gamma];

psi_0=atan(k)-pi*abs(k*x0-z0)/2/L;

gamma_0=0;

if(abs(k*x0-z0)>L)

psi_0=atan(k)-pi/2;

end

A1=[0 0 0; 0 ky 0; 0 0 0];

A2=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

A3=[-psi_0; -ky*y_0; -gamma_0];

psi_tr=A1*r0+A2*Theta+A3;

A4=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

A5=[-Vx_0; -Vy_0; -Vz_0];

psi_v=A4*V+A5;

dpsi_tr=A1*A*V+A2*Aw*omega;

dA=zeros(3,3);

dAw=zeros(3,3);

Fv_est=z+Ln*M*[V;omega];

u=-Fv_est-M*[A4 zeros(3,3); A1*A A2*Aw]^(-1)*[T3*psi_v; A1*dA*V+A2*dAw*omega+T2*psi_tr+T1*dpsi_tr];

Fv=[3*sin(t);1;0;0;0;0];

y=[[A zeros(3,3); zeros(3,3) Aw]*[V;omega]; M^(-1)*(u+Fv);-Ln*z-Ln*(u)-Ln^2*M*[V;omega]];

 

2.11. Проектное задание 9

1. Используя приведенный выше пример, модифицировать программу, созданную в ходе выполнения проектного задания 8, добавив наблюдатель возмущений.

2. Провести моделирование замкнутой системы при возмущениях, заданных вариантами в табл. 2.8.

Таблица 2.8 – Варианты возмущений

Вар.	Возмущение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

 

Продолжение таблицы 2.8

23
24
25
26
27
28
29
30

3. Изменяя коэффициенты матрицы Ln: 1, 3, 5, 10, 20, оценить зависимость качества переходных процессов по оцениваемым переменным и в замкнутой системе.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая школа, 1989.

2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. – М.: Мир, 1977.

3. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория система автоматического управления. – 4-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Профессия, 2003.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Физматгиз, 1961.

5. Ли Э.О., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. – М.: Наука, 1972.

6. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1975.

7. Красовский А.А. Александров А.Г., Артемьев В.Н. и др. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

8. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука. 1969.

9. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

10. Zadeh L.A. The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning. Parts 1 and 2 // Information Sciences. – 1975. – Vol. 8. – P. 199-249,
301-357.

11. Zadeh L.A. The Role of Fuzzy Logic in the Management of Uncertainty in Expert Systems// Fuzzy Sets and Systems. – 1983. – Vol. 11. – P. 199-227.

12. Fuzzy Logic Toolbox. For Use with MATLAB: User’s Guide. - Natick: The MathWorks, Inc., 1998.

13. Красовский А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. – М.: Наука, 1987.

14. Рутковский В.Ю. Работы института проблем управления в области беспоисковых адаптивных систем и систем управления космическими аппаратами // Автоматика и телемеханика. – 1999. – № 6. – С. 42–49.

15. Фомин В.И., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. – М.: Наука, 1981.

16. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. – М.: Наука, 1978. – 316 с.

17. Марков А.А. Исчисление вероятностей. – 4-е изд. – М.: ГИЗ, 1924.

18. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. – 2-е изд. – М.: Физматгиз, 1962.

18. Эльясберг П.Е. Измерительная информация. Сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? – М.: Наука, 1983.

19. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие М.: Высшая школа. – 1989.

20. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. – М.: Наука, 1974.

21. Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю. Управление подвижными объектами в определенных и неопределенных средах. М.: Наука, 2011. 350 с. ISBN 978-5-02-037509-3.

22. Пшихопов В.Х. Позиционно-траекторное управление подвижными объектами. Таганрог. Изд-во ТТИ ЮФУ. 2009.

23. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Дрофа. 2004.

 

Заключение

В данном пособии рассмотрен один из самых распространенных в теории автоматического управления подходов к синтезу регуляторов – оптимизационный подход. Этот подход позволяет получить строгое математическое решение задачи управления при условии, что математическая модель корректно описывает робот и правильно сформулирован функционал качества. Как правило, методы оптимального управления формулируются в общем виде, но на практике их применение дает результат только для линеаризованных моделей. Таким образом, наиболее эффективен данный подход при управлении роботом в некотором режиме, который может быть описан линеаризованной моделью с достаточной степенью точности, например движение с постоянной скоростью.

Кроме того, центральным вопросом теории оптимального управления является выбор функционала качества. Существует небольшое количество физически ясных функционалов – быстродействие, потребляемая энергия, точность. В отличие от указанных функционалов, квадратичный функционал качества даже в линейных системах связан с показателями переходных процессов через матричное уравнение Риккати, которое аналитически решается в единичных случаях. Учитывая, что любая асимптотически устойчивая система оптимальна по соответствующему квадратичному функционалу, выбор его весовых коэффициентов становится отдельной задачей, не имеющей общего аналитического решения.

Во второй части пособия представлены методы синтеза адаптивных систем управления. Представлены непрямые методы адаптации, базирующиеся на процедурах оценивания и идентификации.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные сведения ………………	3
1.1. Общие ….	3
1.2. Принципы ……….….	8
1.3. Научно ……………..	12
1.4. Системы ………………………………………………………….	14
1.5. Моделирование и анализ роботов ……………….	16
Контрольные вопросы……………….……………….....	23
2.  Разработка математического описания робота	25
2.1. Использование пакета SolidWorks для разработки трехмерной модели робота ……………….….	25
2.2.. Уравнения математической модели робота....	49
2.3. ………………………..............
2.4. ……………………………
2.5. ……..
2.6. ………………..
Контрольные вопросы…………………………...
3. ……………………………….
3.1. ……..
3.2. …….
3.3. …………………………
3.4......
3.5. ….
3.6. …………………………….
3.7. ……..
3.8. …………......
Контрольные вопросы…………………………...
Заключение ………………………………………
Библиографический список………………….....

 

 

 

Пшихопов Вячеслав Хасанович

Медведев Михаил Юрьевич