Принцип максимума в задаче о быстродействии

Наиболее известным приложением принципа максимума является решение задачи о быстродействии, в которой функционал системы управления имеет вид:

                                       .                                  (1.10)

Решение данной задачи на основе принципа максимума дается следующей теоремой [8].

Теорема 1. (Принцип максимума Понтрягина). Пусть объект описывается уравнением (1.1), а на управление наложены ограничения вида (1.6). Предположим, что для заданного конечного состояния   выполнено:

1. Существует оптимальный в смысле быстродействия процесс перехода их произвольной начальной точки  в конечную точку .

2. Время перехода  является непрерывно дифференцируемой функцией, т.е. существуют частные производные

                    .               (1.11)

3. Время перехода  имеет при  вторые непрерывные производные по , а правые части уравнений (1.1) имеют первые непрерывные производные по .

Тогда если процесс , , осуществляющий перевод объекта (1.1) из состояния  в состояние , является оптимальным, то существует такое нетривиальное решение системы (1.9), что для любого момента , выполнено условие максимума

           ,      (1.12)

                                         .                                    (1.13)

Рассмотрим пример решения задачи об оптимальном быстродействии для объекта вида

                                   ,                              (1.14)

                                          .                                     (1.15)

Необходимо перевести объект (1.14), (1.15) из начального состояния  в начало координат (0,0) за минимально возможное время.

Так как в рассматриваемом случае функция , то максимум функции Н (1.8) не зависит от постоянной составляющей. В этом случае можно рассматривать эту функцию без постоянной составляющей :

              .         (1.16)

Тогда согласно (1.9) из (1.16) получаем уравнения для сопряженных переменных

                    .               (1.17)

Решая уравнения (1.17), получаем:

                                    ,                               (1.18)

где  – постоянные интегрирования.

Т.к. функция H (1.16) зависит от управления линейно, то она достигает максимума на границах управления, т.е. при управлении, равном:

                       .                  (1.19)

Подставляя (1.8) в (1.19), получаем

                               .                          (1.20)

Из выражения (1.20) видно, что управление может менять знак только один раз. Т.е. оптимальное управление является кусочно постоянной функцией, принимающей значения +1 или -1 и меняет знак не более одного раза т.к. выражение  меняет знак не более одного раза.

Таким образом, вначале управление постоянное и равно +1 или -1. Затем в момент времени  управление меняет знак на противоположный. В конечный момент времени , когда система достигает нуля, управление равно нулю.

Выражение (1.20) задает только структуру управления, для нахождения управления необходимо вычислить его знак на первом интервале, момент переключения знака  и момент обнуления управления .

Технология нахождения указанных параметров программного оптимального управления следующая.

1. Пусть заданы положительные начальные условия . Тогда на первом интервале управление должно быть отрицательным, т.е. . Если на первом этапе знак управления выбран неверно, то полученная в результате система уравнений не даст допустимых решений и приведенные ниже вкладки необходимо построить при другом начальном знаке управления.

Для первого интервала запишем систему (1.14)

                                  .                             (1.21)

Решая систему (1.21), получаем

         .    (1.22)

Для второго интервала при  из (1.14) получаем

                                  .                             (1.23)

Решая систему (1.23), получаем

          .     (1.24)

Для нахождения постоянных интегрирования в решениях (1.22) и (1.24) воспользуемся начальными и конечными условиями. Так, подставляя начальные условия в (1.22), получаем

                                  .                             (1.25)

В конечный момент времени , поэтому для момента времени  из (1.24) получаем

                                 .                            (1.26)

Подставляя постоянные интегрирования из (1.25), (1.26), перепишем выражения (1.22), (1.24) в виде

        .   (1.27)

            .       (1.28)

Так как выражения (1.27) и (1.28) являются одним решением дифференциального уравнения, то из условий непрерывности, получаем, что в момент времени  решения (1.27) и (1.28) равны

                       .                  (1.29)

Решая систему (1.29), получаем искомые моменты времени  и .

Пусть начальные условия равны . Подставив их в систему (1.29), получим следующие значения моментов времени  и .

Проведем моделирование полученной системы управления в пакете Matlab. Файл – сценарий для моделирования имеет вид, представленный ниже.

%---------------------------------------------

clc

clear all

close all

x0=[1;1];

t1=1+0.5*(6)^(1/2);

t2=1+(6)^(1/2);

[t,x]=ode45('time_optimal1',[0 3.5],x0,[],t1,t2);

figure(1); hold on; grid on; plot(t,x(:,1));

figure(2); hold on; grid on; plot(t,x(:,2));

figure(3); hold on; grid on; plot(x(:,1),x(:,2));

%-------------------------------------------------

Вначале производится очистка экрана, переменных и закрытие графических окон.

Далее в программе задаются начальные условия и моменты переключения и снятия управления.

После этого с помощью функции ode45 решается система дифференциальных уравнений, размещенная в специальной ode-функции с именем time_optimal1.

В конце программы осуществляется построение переменных состояния и фазового портрета системы.

ode-функции с именем time_optimal1, оформляемая в отдельном файле с тем же именем, представлена ниже.

%---------------------------------------------

function y=time_optimal1(t,x,flag,t1,t2)

u=-1;

if(t>t1)

u=1;

end

if(t>t2)

u=0;

end

y=[x(2); u];

%-------------------------------------------------

В первой строке файла помещается заголовок функции, имя которой должно совпадать с именем файла и с именем, используемым при вызове данной функции. В качестве аргументов функции выступают время t, вектор переменных x, флаг flag, содержащий настройки параметров интегрирования и перечень входных параметров (в данном случае моменты t 1 и t 2).

Далее определяется оптимальное управление, как функция времени.

В конце функции задаются правые части уравнений объекта.

На рис. 1.1 – 1.3 представлены результаты моделирования оптимальной системы программного управления: переходные процессы по переменным и фазовая траектория.

Рисунок 1.1 – Переходный процесс по

Рисунок 1.2 – Переходный процесс по

На рис. 1.2 хорошо заметны моменты переключения и снятия управления. Также из результатов моделирования видно, что моделируемая система обладает некоторыми погрешностями, что связано с погрешностями интегрирования. Ошибки, присутствующие в системе управления, обусловлены тем, что используется программное управление.

Рисунок 1.3 – Фазовая траектория оптимальной системы

Рассмотрим процедуру построения фазового портрета оптимальной по быстродействию системы для рассмотренного объекта управления (1.14), (1.15).

Рассмотрим систему (1.23) при . Разделив первое уравнение (1.23) на второе, получим

                                       .                                  (1.30)

Решая уравнение (1.30), находим

                                   .                              (1.31)

Т.е. при  отрезок фазовой траектории представляет собой дугу параболы. Аналогично при , из (1.21) получаем

                                      .                                 (1.32)

                                  .                             (1.33)

Семейство фазовых траекторий для оптимальной по быстродействию системы управления объектом (1.14) представлено на рис. 1.4.

Рисунок 1.4 – Фазовый потрет оптимальной системы

1.4. Проектное задание 1

Для объекта управления, описываемого системой (1.14), используя принцип максимума, синтезировать оптимальное по быстродействию управление для начальных условий и ограничений, заданных вариантом из табл. 1.1.

Используя приведенный пример, промоделировать полученную систему в Matlab.

Таблица 1.1 – Варианты заданий

№
1	2	3	2
2	4	2	1
3	5	3	3
4	3	3	4
5	4	1	2
6	1	5	3
7	2	6	1
8	-1	6	2
9	-2	9	3
10	-1	4	2
11	-4	1	4
12	-6	3	3
13	-7	2	1
14	-4	5	2
15	-8	-1	5
16	-1	-2	1
17	-2	-2	2

Продолжение таблицы 1.1

№
18	-3	-1	3
19	-4	-3	2
20	-6	-1	1
21	-2	-7	3
22	-5	-4	2
23	1	-2	3
24	2	-1	5
25	3	-1	6
26	5	-2	2
27	6	-8	1
28	7	-3	3
29	2	-6	2
30	4	-7	4