Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод наименьших квадратов в задачах оценивания
Распространенным в теории оценивания методом является метод наименьших квадратов (МНК), основы которого были заложены в работах А.А. Маркова [17] и др. исследователей [18]. МНК осуществляет вычисление вероятности того, что получаемая оценка процесса находится в заданном интервале, если известны параметры распределения. При неточно известных параметрах распределения используются либо адаптивные методы оценивания, либо приближенные методы, аппроксимирующие неизвестное распределение каким-либо приближением, например асимптотическим или бутстраповским. При асимптотическом оценивании погрешности асимптотически стремятся к нулю при увеличении числа измерений. На практике измерения поступают последовательно во времени, поэтому при некоторых допущениях осуществляется замена среднего по реализации средним по времени, что позволяет сформировать оценку, с течением времени приближающуюся к истинному значению оцениваемой величины. В бутстраповском подходе осуществляется построение распределение определяется путем построения алгоритма эмпирической обработки данных по результатам сделанной выборки, и его можно применять при малом числе данных, когда, например, измерения слишком дорогие или опасны. В случае, когда измеряемые случайные величины могут быть представлены временным рядом, на них накладывают ограничения стационарности и эргодичности, что означает независимость характеристик распределения от времени и от начальных данных. В основе МНК лежит понятие регрессии. Наиболее часто применяют регрессию среднего , которая обозначается в виде . (2.3) где – ошибка регрессии. Пусть регрессия описывается выражением (2.3), в котором множество измерений является случайными равномерно распределенными независимыми величинами. Если матрица невырожденная, то вектор параметров , минимизирующий среднеквадратичную ошибку, является единственным решением следующего уравнения: . (2.4) В соответствии с МНК оценка параметров имеет следующий вид: (2.5) Условная дисперсия регрессионной ошибки определяется выражением . (2.6)
которая асимптотически сходится по вероятности к истинному значению дисперсии . При конечном числе выборки МНК оценку можно записать в виде , (2.7) где , . Если в выражение (2.7) ввести матрицу весовых коэффициентов , (2.8) то получим взвешенный метод наименьших квадратов. Частным случаем взвешенного МНК является обобщенный МНК, в котором матрица является обратной матрице дисперсионных ошибок. Следует отметить, что матрица в обобщенном МНК в большинстве практических случаев является неизвестной, поэтому используют ее оценки. Оценка по МНК обладает следующими свойствами [18]: математическое ожидание ошибки оценивания равно нулю (несмещенность); получаемая оценка имеет минимум дисперсии (эффективность); при увеличении числа измерений распределение вероятности оценки и ее ошибки стремится к нормальному (асимптотическая нормальность); ошибка сходится к нулю при возрастании числа измерений (состоятельность). Рассмотрим пример применения МНК. Пусть задано уравнение объекта в виде: , (2.9) Требуется оценить неизвестный параметр . Чтобы воспользоваться оценкой (2.7), представим выражение (2.9) в виде: , (2.10) Введем следующие обозначения , (2.10) Тогда с учетом (2.10) уравнение (2.9) преобразуется к следующему виду , (2.11) Теперь для решения задачи можно применить МНК в форме (4.40). При этом для учета нестационарности параметра целесообразно ввести скользящий интервал оценивания, состоящий из n отсчетов. Введение такого интервала означает следующее. Вначале накапливается n измерений. После этого вычисляется оценка в соответствии с (2.7). Далее на каждом шаге первый отсчет отбрасывается и добавляется текущий отсчет, т.е. используются измерения от 2 по n+1, от 3 по n+2 и т.д.
В выражении (2.10) присутствует производная по времени . В робототехнических системах скорости измеряются навигационными средствами. Если нет возможности измерить скорость, то для ее оценивания можно использовать следующий алгоритм: , (2.12) где – переменные состояния наблюдателя производной; – постоянные коэффициенты усиления; – оценка производной по времени. Ниже приводится текст программ, реализующих алгоритмы (2.7), (2.9) – (2.12). Основной файл имеет следующий вид. clc clear all close all m = 1000; x0=[1;0;0]; tk=1; k1=30; k2=900; a1=1; u1=1; [t_vec,x_vec]=ode45('mnk_estimation_fun',[0 tk],x0,[],m,k1,k2,a1,u1); n=size(x_vec,1); i=20; while (i<n) y=x_vec(i-19:i,3)-u1/m+0.1*randn(20,1); x=-x_vec(i-19:i,1); a1_est(i-19)=(x'*x)^(-1)*x'*y; t(i-19)=t_vec(i-19); i=i+1; end figure(1); hold on; grid on; plot(t,a1_est,'*r'); В первых трех строках осуществляется очистка экрана и всех переменных и закрываются все открытые ранее графические окна. Далее задаются параметры: масса объекта; начальные условия для уравнений (2.9) и (2.12); время моделирования; коэффициенты усиления наблюдателя; величина оцениваемого параметра и значение входного воздействия. После этого с помощью оператора ode45 интегрируется файл mnk_estimation_fun, содержащий уравнения системы. Далее определяется размер массива n, полученного в результате численного интегрирования. В следующей строке выбирается скользящий интервал, равный 20. После этого в ц while икле осуществляется вычисление векторов (2.10) и оценки (2.7), а также формируются массивы для построения графиков. В последней строке программы производится построение графика. Интегрируемая функция, сохраняемая под именем mnk_estimation_fun, имеет вид function y = mnk_estimation_fun(t,x,flag,m,k1,k2,a1,u1) y=[-a1*x(1)+u1/m; x(3)+k1*(x(1)-x(2)); k2*(x(1)-x(2))]; Данный файл содержит заголовок функции и вектор правых частей уравнений (2.10), (2.12). На рис. 2.2 приведены результаты выполнения представленных файлов. На рис. 2.2 сплошной линией показан параметр a 1, а прерывистой линией – оценка a est. На рис. 2.2 хорошо виден переходный процесс, связанный с переходными процессами в наблюдателе производной (2.12). Кроме того, имеется погрешность в установившемся режиме, составляющая около 3 % и также обусловленная погрешностями оценивания скорости. Приведенные алгоритмы в силу использования скользящего интервала оценивания можно использовать для оценок изменяющихся параметров или переменных состояния в нелинейных системах, однако для высокой точности необходимо большое число отсчетов. С другой стороны, число отсчетов ограничено из-за того, что интервал оценивания должен быть достаточно мал, чтобы оцениваемый параметр на нем можно было считать приблизительно постоянным. Рисунок 2.2 – Оценка параметра методом МНК
2.3. Проектное задание 5 1. Используя приведенный в разделе 2.2 пример, провести оценивание неизвестного параметра для варианта заданного в табл. 2.1. 2. Изменяя величину скользящего интервала n, равную 10, 20, 30, 40, 50, определить погрешность в установившемся режиме и занести результаты в табл. 2.2. 3. Изменяя параметры наблюдателя производных (2.12) в соответствии с выражениями: , определить зависимость ошибки оценивания от быстродействия наблюдателя и результаты занести в табл. 2.3.
Таблица 2.1 – Варианты заданий для исследования оценок по МНК
Продолжение таблицы 1.2
Таблица 2.2 – Зависимость погрешности от величины скользящего интервала
Таблица 2.3 – Зависимость погрешности от величины коэффициента усиления
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-07; просмотров: 74; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.218.215 (0.017 с.) |