Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Сегодня наиболее широко применяются квадратичные критерии качества, для которых в приложении к линейным системам задача синтеза регуляторов решена аналитически. Такая задача получила название аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) [3]. При этом качество замкнутой системы полностью определяется выбранным критерием, поэтому этому вопросу уделяется особое внимание.

Рассмотрим, например, интеграл вида

                                 .                            (1.74)

Такой интеграл дает площадь, заштрихованную на рис. 1.10. Чем быстрее протекает процесс, тем меньше значение J₁ (меньше заштрихованная площадь). Однако критерий (1.74) имеет крупный недостаток. Для колебательных процессов величина J₁ может быть достаточно малой, т.к. положительные и отрицательные колебания компенсируют друг друга, однако переходный процесс может быть длительным и характеризоваться сильной колебательностью (рис. 1.11).

Рисунок 1.10 – Значение критерия (1.74) для монотонного процесса

Рисунок 1.11 – Значение критерия (1.74) для колебательного процесса

Для устранения указанного недостатка были предложены различные квадратичные критерии качества:

                               .                          (1.75)

          .     (1.76)

Смысл критерия (1.76) заключается в том, что накладываются штрафы на отклонения как самой координаты x, так и ее производных. Поэтому при минимизации критерия (1.76) должны получаться процессы, протекающие достаточно быстро и без значительных колебаний. Обобщенный интегральный критерий вида (1.76) получил широкое распространение при косвенной оценке качества переходных процессов.

Задачу АКОР можно сформулировать следующим образом. Рассматривается линейный объект управления, описываемый системой уравнений

                                     .                                (1.77)

Требуется перевести объект (1.77) из произвольного начального состояния  в нулевое конечное состояние таким образом, чтобы обеспечить минимум функционала

                           .                       (1.78)

Оптимальное управление в данном случае имеет вид:

                                   .                              (1.79)

Матрица регулятора S находится как решение уравнения Риккати, которое для данного случая является матричным алгебраическим уравнением вида

                       .                  (1.80)

В Matlab для автоматизированного синтеза оптимального по квадратичному критерию вида

                    .               (1.81)

имеется функция LQR, которая позволяет получать оптимальное управление.

Пример программы, реализующей синтез оптимального по (1.81) регулятора для объекта (1.77), представлен ниже.

Листинг программы синтеза линейно-квадратичного регулятора

 

clear all; % очистка всех переменных

clc      % очистка экрана

% задание матриц объекта

A=[0 -0.0133 0 0 -15.7875 0; 0 0 0 5.8635 0 -7.157; 0.0036 -0.0708 -0.0016 0 13.4915 0; 0.0048 -0.0945 -0.0022 0 -0.0899 0; 0.0433 -0.0048 -0.02 0 -0.0045 0; 0 0.0125 0 0 0.0211 0];

B=eye(6,6);

C=eye(6,6);

D=zeros(6,6);

% создание модели объекта

sys_1=ss(A, B,C,D);

% задание весовых матриц функционала качества

Q1=[1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1];

R1=[1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1];

N1=zeros(6,6);

% нахождение коэффициентов усиления регулятора

[K1,S1,E1] = LQR(sys_1,Q1,R1,N1);

% создание модели системы управления

sys_2=ss(A-B*K1,B,C,D);

% просмотр результатов моделирования

ltiview('step',sys_2);

В приведенном листинге для создания описания линейной модели в виде уравнений в переменных состояния использован оператор ss. При создании объекта входными параметрами оператора ss являются четыре матрицы, последовательно задаваемые через запятую.

В качестве матриц весовых коэффициентов выбраны две единичные матрицы и одна нулевая. Отметим, что обычно матрица R задается единичной, а коэффициенты матрицы Q изменяются в ходе исследований для придания требуемых свойств замкнутой системы.

Оператор lqr осуществляет нахождение вектора коэффициентов усиления регулятора K1, а также выдает решение уравнения Риккати S1 и собственные числа замкнутой системы. Управление, оптимальное по заданному критерию качества имеет вид:

                                        ,                                   (1.82)

Для исследования замкнутой системы в программе создается модель замкнутой системы управления, для которой с помощью оператора ltiview строятся переходные характеристики, как реакция каждого выхода на каждый вход. Например, на рис. 1.12 представлена реакция первой переменной  на единичный скачок на первом входе. Можно заметить, что время переходного процесса получается очень велико, около 60 000 с. Это объясняется малыми значениями коэффициентов весовой матрицы Q. При ее текущем значении вектор собственных чисел замкнутой системы управления равен:

E1 =   -0.0002125 + 0.0001326i

         -0.0002125 - 0.0001326i

         -0.0001684         

      -0.0001299         

      -0.0000283         

         -0.0000018

Рисунок 1.12 – Переходный процесс по первой переменной

Кроме малых значений собственных чисел можно отметить, что два последних числа на порядок и на два порядка меньше остальных собственных чисел.

В этой связи увеличим коэффициенты матрицы Q следующим образом:

                      ,                              

Тогда собственные числа замкнутой системы имеют вид

E1 = -0.0006520         

     -0.0005414         

     -0.0003491 + 0.0001377i

     -0.0003491 - 0.0001377i

        -0.0000502

     -0.0000374

Видим, что собственные числа увеличились по модулю примерно в три раза, причем минимальное значение действительной части, определяющее время переходных процессов, увеличилось в 30 раз. При необходимости, можно изменять далее коэффициенты матрицы Q, чтобы получить требуемое время переходных процессов.

Например, при матрице

                ,                        

спектр замкнутой системы равен

E1 =   -0.0039         

         -0.0030         

         -0.0014 + 0.0002i

      -0.0014 - 0.0002i

      -0.0003         

      -0.0004

Время переходных процессов по первому выходу порядка 1 500 с, как показано на рис. 1.13.

Рисунок 1.13 – Переходный процесс при увеличенных коэффициентах матрицы Q

 

10. Проектное задание 4

В соответствии с вариантом, представленным в табл. 1.9, выполнить следующие пункты:

– линеаризовать заданную вариантом систему относительно нулевого положения равновесия и получить матрицы A, B. Матрица С является единичной (размерности 2×2), а матрица D – нулевой (также размерности 2×2);

– используя приведенный выше пример, написать программу, реализующую синтез линейно-квадратичного регулятора для заданного варианта;

– изменяя коэффициенты матрицы Q обеспечить требуемое время переходных процессов в соответствии с заданным вариантом;

– определить, как влияет увеличение или уменьшение элементов матрицы R на качество переходных процессов в замкнутой системе. Элементы матрицы необходимо увеличить и уменьшить в 2 раза;

– определить, как влияет введение ненулевых элементов матрицы N на качество переходных процессов в замкнутой системе. Для этого можно ввести единичную матрицу N, сохраняя остальные матрицы.

Таблица 1.9 – Варианты заданий

Вариант	Система	Время ПП
1		0,4
2		0,6
3		0,8
4		1,0
5		1,2
6		1.4
7		1.6
8		1.8
9		2.0
10		2.2
11		2.4
12		2.6
13		2.8

 

Продолжение таблицы 1.9

 

14		3.0
15		2.7
16		2.5
17		2.3
18		2.1
19		1.9
20		1.7
21		1.5
22		1.3
23		1.1
24		0.9
25		0.7

Во всех вариантах таблицы 1.9 управление действует на вторую переменную, т.е. матрица B является вектор-строкой следующего вида .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу оптимального управление в виде задачи Лагранжа.

2. Сформулируйте задачу оптимального управление в виде задачи Майера.

3. Сформулируйте задачу оптимального управление в виде задачи Больца.

4. Какие основные методы синтеза оптимального управления вы знаете?

5. Каким образом составляется функция Гамильтона? Приведите пример.

6. Являются ли ограничения на управления обязательными условиями в принципе максимума Понтрягина?

7. Сформулируйте принцип максимума (теорему) в линейной задаче об оптимальном быстродействии.

8. Приведите пример решения задачи об оптимальном быстродействии на основе принципа максимума, без вычисления моментов переключения.

9. Сформулируйте и поясните принцип оптимальности Беллмана.

10. Запишите уравнения Беллмана в дискретной форме.

11. Запишите уравнения Беллмана в непрерывной форме.

12. Приведите пример нахождения оптимального управления на основе метода динамического программирования.

13. Сформулируйте задачу линейного программирования.

14. Приведите и поясните оператор Matlab, реализующий решение задачи линейного программирования.

15. Поясните смысл интегрального критерия качества. В чем смысл квадратичного интегрального критерия?

16. Сформулируйте задачу АКОР.

17. Приведите матричное уравнение Риккати для линейной стационарной системы.

18. В чем заключается основная сложность АКОР?

19. Приведите и поясните оператор Matlab, реализующий решение задачи АКОР.

20. Чем отличаются уравнения Риккати для стационарной и нестационарной систем?

2. АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ РОБОТАМИ

Одним из наиболее важных направлений теории управления движением является разработка методов синтеза адаптивных систем управления [13]. Практически всегда задача синтеза управления роботом ставится в адаптивной постановке, что связано с широким диапазоном изменения параметров управляемых объектов и среды их функционирования.