Ур-ние движ. тела переменной массы

                       t, m, v,

 

      d t, dm,

    m-dm,  v + dv

                         u = const

 

 

Изменение импульса за d t

 Тогда

dmdv - малый в.п. м.

Если действ. внешне силы,

то   

т.е. ,

или     (10.1)

ур. движ. тела перем. массы                        (10.2)

Полагая F=0, получим 

откуда .

Если v ₀ =0, а   масса - m ₀, 

то      

c-но, (10.3)

 

Гл 3. Работа и энергия.

3.1.Энергия, работа, мощность.

A =F _s S = F S сos a       (11.1)

a - угол между и ;

 — проек.  на  

                                                                                   

 

 

  (11.2)

 

 

	F s

 

если F=co n st и a =const, то

(11.2)

 

при a < p /2, A > 0,  —  

если a > p /2,   А< 0

если a = p /2      А=0

джоуль (Дж): 1Дж =1Н_*м

                                                                      (11.3)

— , то

ватт (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с.

 

Кинетическая и потенциальная энергии

dA = dT.

вт. з-н Ньютона

F = mdv / d t, и dr     то    

 

т.е.

                                                                               (12.1)

      dA = - dП         (12.2)

 

 

                  (12.3)

 

из (12.3)

Для конс. сил

,

или в векторном виде         

                                                     (12.4)

 - един. векторы    (12.5)

                (12.5)

 

П = mgh     (12.7)

на дне шахты П = - mgh'

упругодеф. тело (пруж.)

F _{X упр.} = - kx

 

k — коэфф. упругости

По трет. З-ну Ньютона,

F _X = - F _{X упр}  = kx

dA = F _X dx = kx,

 

т. о.  П = kx²/2

Полная механическая энергия

Е = Т + П

 

З-н сохран. энергии

              m₁, m₂,..., m_n

             

 внутр.к.с.

 

 

внешн.к.с.     

 

внешн.нек.с.

 

 за d t -

.

 

 учитывая ,

  

где d T  - приращение кинетической энергии системы.

равен d П см.(12.2)

Т.о. d(T+ П) = dA (13.2)

При переходе из 1 в 2

                 

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами.

Если внешн. неконс. силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

 

 

откуда

T+ П = Е = const       (13.3)

 

3.4. Графическое

Представление энергии

 

 

на высоте h:

Т = Е - П,    

 т.е.

откуда  

   

 

 

П = kx ² /2

 

 

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

                    0 < e < 1

Абсолютно упругий удар

 

 

(15.1)

  15.2)

(15.3)

(15.4)

откуда

                            (15.5)

из (15.3) и (15.5), находим

  (15.6)

(15.7)

1.При v ₂ = 0     (15.8)     

          (15.9)

 а) m₁ = m₂. v ₂ = 0, то   v ₂ ¹ = v ₁

 

 

 

б) m₁ > m₂.   v₁¹ < v₁, v ₂ ¹ > v ₁ ¹

в) m₁ <  m₂.   v ₂ ¹ < v ₁

г) m₂ » m₁    v₁¹ =  —v₁,

2. При m ₁ = m ₂  

v₁¹ = v₂       v₂¹ = v₁,

Абсолютно неупругий удар

 

 

          

 

если    m ₁ = m ₂, то

   v = (v ₁ + v ₂)/2

 

Используя (15.10), получаем  

 

Если v₂ = 0, то

 

Гл. 4. Механика тв. тела.

Момент инерции.

;  

 

  

 

	h
							Рис.23
				R

 

 

М.И.цилиндра ,

т.к. dr << r, то r,

dm ^_ масса эл-го ц-ра;

2 p rhdr объем, r ^_ плотность

dm = 2 p rh r dr

dJ = 2 p h r r ³ dr

 

 

     p R ² h — объем

  m = p R ² h r — масса

 а              

теорема Штейнера:  

(16.1)

 

Значения моментов инерции

 

Тонкостен. ц-р R	Ось симм	mR2
Спл. цилиндр R	То же	1/2mR2
Стер­жень l	П.с. и ч.с.	1/12ml2
Стер­жень l	П.с. и ч.к.	1/3ml2
Шар          R	Ц. шара	2/5mR2

 

w

4.2. Кинетическая энергия вращения

m₁, m ₂,... m_n; r ₁, r ₂,  ... r_n

    (17.1)

  

 или

 Используя (17.1),

           (17.2)

 

 

Момент силы.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы —

M = [ r • F ]

M = [ r • F ]

Модуль момента силы

M = F•r•sin α = F•l        (18.1)

где a —

r × sin a — плечо силы

  Момент силы —

Если ось z совпадает с направлением вектора , то

 

M_z = [ r • F ] _z

 

Найдем выражение для работы при вращении тела:

 

 

dA = F × sin a × r × d j             (18.2)

       dA = dT,

но            ,

поэтому  M_zd j = J_zwdw,

или          

    Учитывая, что , 

получаем              (18.3)

- уравнение динамики вращательного движения твердого тела

                              (18.4)

     где J ^_ главный момент инерции тела

         

4.4. Момент импульса и

Закон его сохранения

Момент импульса:

где  — радиус-вектор,

  — импульс мат. точки;

 — псевдовектор

 

 

Модуль вектора момента импульса

L = r × p × sin a = m × v × r × sin a = p × l,

             где a -, l -,

Момент импульса м. точки —

L _iz = m_iv_{i ×} r_i                   (19.1)

Момент импульса твердого тела —

Используя v_i = w × r_i     

получим

.                          (19.2)

продифференцируем по времени:

                                 (19.3)
В замкнутой системе

            и           ,

ДВИЖЕНИЕ