В случае прямолинейного движения

D s = ê D r ê

если выражение d s = u dt проинтегрировать, то:

                       _{t+ D t}

s = ò u dt                (2.3)

                         ^t

при u = const

                                _{t+ D t}

s = ò u dt = u D t

                             ^t

Длина пути       t ₂

s = ò u (t) d t

                           t ₁

Ускорение

И его составляющие

Ускорение —

среднее ускорение   —

á α ñ = D v / D t

Мгновенное ускорение α —

α = lim á α ñ = lim(D v/ D t) = dv/dt

^{D t ® 0           D t ® 0}

Ускорение α  

 α = dv / dt

 

перенесем вектор v₁ в точку А

и найдем D v

разложим D v на две составляющие:

D v _t = u ₁ - u и   D v _n

Тангенциальная составляющая ускорения:

α _t = lim(D v _t / D t) = lim(D v/ D t) =

^{D t ® 0                   D t ® 0}

= dv / dt

из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что

D v _n /АВ = u ₁ / r, но   AB = u • D t

тогда D v _n / D t = u • u ₁ / r

при D t ® 0 получим

  v ₁ ® v,

 угол ЕАД ® 0,

треугольник EAD ® равнобедренному,

 угол ADE ® 90⁰.

следовательно, при D t ® 0 векторы D v _n и v оказываются взаимно перпендикулярными.

 

Вторая составляющая ускорения, равная

 α _n = lim (D v _n / D t) = v ² / r

^{D t ® 0}

нормальная составляющая ускорения (центростремительное ускорение) —

Полное ускорение   —

 

α = dv / dt = α _n + α _t

Классификация движения

	α t	α n	Характеристика движения
1.	0	0
2.	cons t	0
3.	var	0
4.	0	const
5.	0	var
6.	const	var
7.	var	0
8.	var	const
9.	var	var

рассмотрим случай (2) подробнее:

α _t = α = D u / D t =(u ₂ - u ₁) / (t ₂ - t ₁)

Если начальный момент времени t ₁ =0, а начальная скорость u ₁ = u ₀, то, обозначив

t ₂ = t и u ₂ = u,

получим      α = (u - u ₀) / t,

откуда            u = u ₀ + α • t.

интегрируя, получим:

              _{t             t}                                             

s = ò u dt = ò (u ₀ + α • t)dt

                ^{0        0}

= u ₀ • t + α • t ² /2

Угловая скорость и

Угловое ускорение

 

 

за D t точка переместится на D j.

Модуль вектора D j —

правило правого винта   —

Псевдовектор (аксиальными) —

Угловая скорость —

     w = lim (D j / D t) = d j / dt

                       ^{D t ® 0}

Вектор w —

 

Размерность угловой скорости

dim w =Т^-1,  (рад/с)

 

Линейная скорость (см.рис. 6):

u = lim(D s / D t) = lim (R • D j / D t) =

      ^{D t ® 0                   D t ® 0}

= R • lim (D j / D t) = R • w,

                   ^{D t ® 0}

     т. е.   u = R • w

В векторном виде

v = [ w • R].

При w = c onst - вращение равномерное.

Период вращения Т - —

т.к.   D t = Т и D j = 2 p,

то w = 2 p / T,    и       T = 2 p / w.

Частота вращения - —

n = 1 / Т = w /(2 p),

откуда             w = n ´ 2 p

Угловое ускорение —

       e = d w / dt

Вектор углового ускорения —

d w /dt › 0	d w /dt ‹ 0
рис. 8	рис. 9

Тангенциальная составляющая —

α _t = d(w R / dt) = R • d w / dt = R • e

lim(D s / D t) = lim (R • D j / D t) =

^{D t ® 0                    D t ® 0}

= R • lim (D j / D t) = R • w

         ^{D t ® 0}

Нормальная составляющая —  

α _n = u ² /R = w ² R²/R = w ² R

s = R • j, u = R • w,

α _t = R • e, α _n = w ² • R

Равнопеременное движение —

(e = const) w = w ₀ + e • t,

j = w ₀ •t + e •t²/2

Коля ловил девчонок, окунал их в лужу и старательно измерял глубину погружения каждой девчонки, а Толя только стоял рядышком и смотрел, как девчонки барахтаются. Чем отличаются Колины действия от Толиных, и как такие действия называют физики?

 

 

ОТВЕТ: И физики, и химики назовут Колины и Толины действия хулиганством и надают по шее обоим. Но надо признать, что с точки зрения бесстрастной науки Толя производил наблюдения, а Коля ставил опыты.

 

Глава 2. Динамика

2.1.Первый з-н

Ньютона. Масса. Сила.

Второй з-н Ньютона

a ~ F (m = const) (6.1)

a ~ 1/ m (F = const) (6.2)

Из (6.1) и (6.2)

a = F / m              (6.3)

:

в СИ k = 1, тогда

 F= a m = mdv/dt        (6.4)

       

 

F= dmv/dt                                  (6.5)

                   p=mv                                                 (6.6)

 

                  

    F= dp/dt                       (6.7)

Единица силы в СИ — (Н): 1 Н = 1 кг_*м/с²

 

 

 

 

 

 

используя     a _t = dv / dt,

a _n = v ² / r   и v = R • w,

 

получим:

F = a _t m = mdv/dt       

F _n = a _n m = m v²/r

Третий закон Ньютона

  F ₁₂ = - F ₂₁               (7.1)

Силы трения

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  

 

F > F тр. F тр.=f·N

F — коэфф. тр. c кольж.

 

F > F тр

 

норм. скольж. F = F т p,

Р ·sin a = f·N = f·P·cos a ₀,

откуда   f = t g a ₀

Для гладких поверхн.

F т p = f _ист (N+S·p₀),

      

Fтp = f _к · N / r            (8.1)

r — радиус катящегося тела;

f _к — - коэффициент трения качения

 

З-н сохр. импульса.

Центр масс.

Механическая система –

Внутренние силы –

Внешние силы –

 

Система из n тел

Пусть  

—  равнодейст. внутр. сил,

   —   равнодейст. внешн. сил.

2-ой з-н Ньютона

.................................

Складывая получаем

т.к. сумма внутр. сил =0, то

(9.1)

где — импульс 

Для замкнутой системы

,           

 т.е. .

 - з-н сохранения импульса

Центр масс

,         

 

Скорость центра масс

.

 

Т.к. ,а ,

то               (9.2)

Подставив (9.2) в (9.1), получим                     (9.3)