Методы и компьютерные технологии интерполяции. Интерполяция, точная в узлах

 

Цель работы: научиться применять интерполяцию линейными функциями

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

 Интерполяцией называется представление функции у =  функцией , идентичной данной в некоторой области значения аргумента х, причем функция  может быть задана аналитически или в виде координат (узлов интерполяции).

В том случае, когда функция  получена в аналитическом виде, говорят о получении математической модели изучаемого физического явления.

Основными видами интерполяции являются:

- интерполяция, точная в узлах;

- интерполяция, приближенная в узлах.

При интерполяции, точной в узлах, значения функции  совпадают со значениями функции  (рисунок 15.1).

Рисунок 15.1 – Интерполяция, точная в узлах

 

Интерполяцию, приближенную в узлах часто называют аппроксимацией, причем значения функции  не совпадают со значениями функции  (см. рисунок 15.2, с.119).

Рисунок 15.2 – Интерполяция, приближенная в узлах

        

    Интерполяция, точная в узлах, может быть использована в том случае, когда исходная функция  моделирует физическое явление при высококой степени точности исходных данных.

    Аппроксимация чаще всего используется в случае, когда исходные данные, полученные экспериментально, содержат неточности и ошибки.

    Технология интерполяции состоит из следующих этапов:

    - выбор функции интерполяции (графоаналитический способ, способ линеаризации нелинейных функций, анализ табличных разностей);

- определение коэффициентов функции интерполяции (осуществляется с использованием встроенных функций, решением алгебраических линейных или нелинейных уравнений и непосредственным вычислением коэффициентов полиномов);

-проверка адекватности полученной модели (осуществляется табулированием функции аппроксимации и сравнением ее результатов с исходными данными, с использованием графических образов, а также вычислением погрешности математической модели).

    Интерполяция линейными функциями  требует решения систем алгебраических уравнений с помощью функции solve.

    К примеру, пусть задана функция в виде таблицы 15.1, представляющая зависимость у от х. Необходимо найти математическую модель у = .

 

Таблица 15.1 – Зависимость у от х

	Зависимость у от х
х	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	1,48	2,08	2,92	4	5,32	6,88	8,68	10,72	13

        

    Выберем функцию интерполяции, используя анализ табличных разностей (таблица 15.2).

 

Таблица 15.2 – Таблица разностей

х	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	1,48	2,08	2,92	4	5,32	6,88	8,68	10,72	13
		0,6	0,84	1,08	1,32	1,56	1,8	2,04	2,28
			0,24	0,24	0,24	0,24	0,24	0,24	0,24

        

    Из таблицы видно, что вторичные разности постоянны, следовательно, интерполяционный полином должен быть не выше второй степени, т.е.

х + х².

    Для определения коэффициентов многочлена составим систему уравнений, для чего выберем из таблицы координаты (5;4), (3;2,08) и (8;8,68):

    Создадим группу символьных объектов и найдем коэффициенты интерполяции (см. рисунок 15.3, с.121).

Рисунок 15.3 – Нахождение коэффициентов интерполяции

    Таким образом, функция интерполяции имеет вид у=0,12t² +1.

    Для нахождения погрешности интерполяции вычислим значения функции интерполяции в узлах интерполяции

>> syms t;

>> P1=subs(1+0.12*t^2,t,[2,3,4,5,6,7,8,9,10])

P1 =

1.4800 2.0800  2.9200 4.0000 5.3200 6.8800 8.6800 10.7200 13.0000

и сравним со значениями функции у(х) (см. таблица 15.1, с. 120).

    Погрешность интерполяционной формулы оценивается абсолютной среднеквадратичной погрешностью  и максимальной относительной погрешностью , где _i – разность между значениями функции и значениями функции интерполяции в узлах интерполяции, т. е. _i = у(х _i)- P_i.

    Малые абсолютная и относительная погрешности означают, что функция интерполяции может служить моделью явления или процесса.

    В нашем случае погрешности равны 0:

 

>> e=sum((P-P1).^2);

>> E=sqrt(e)/length(P)

E =

0

>> ymin=min(P);

>> d=E/ymin*100

d =

0

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

    Задание 1. Пусть задана функция, представляющая зависимость у от х в виде таблицы значений:

Х	1	2	3	4	5
У	6,7	21,6	42,7	70,0	103,5

 

    Найти математическую модель у=f(x), используя  интерполяцию линейными функциями.

    Задание 2. Может ли полученная функция служить математической моделью описанного явления (найти абсолютную и относительную погрешности интерполяции).

 

 

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

 

Отчет должен быть оформлен согласно ГОСТ 7.32-2001 и содержать 1.Титульный лист

2. Цель работы

3. Краткие теоретические сведения

4. Результаты выполнения заданий.

5. Выводы по работе.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие этапы интерполяции Вы знаете?

2. Как посчитать абсолютную и относительную погрешности интерполяционной функции?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16