Методы и компьютерные технологии интерполяции. Интерполяция, точная в узлах

 

Цель работы: научиться применять интерполяцию нелинейными функциями

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

    Данный вид интерполяции представлен в системе Matlab функцией fsolve (‘ file ’, x 0), где х0 – вектор начальных приближений, ‘ file ’- имя М-файла, содержащего систему нелинейных уравнений.

    К примеру, пусть некоторая функция f (х) задана в виде таблицы 16.1.

Таблица 16.1 – Задание функции f(х)

х	1	2	3	4	5
у	5,1	9,7	19	37,3	74,1

 

    Необходимо найти функцию интерполяции. Для этого используем графо- аналитический метод.

    Построим график в виде точек этой функции (см. рисунок 16.1, с.124):

>> х=[1,2,3,4,5];

>> у=[5.1,9.7,19,37.3,74.1];

>> plot(х,у,'o')

Рисунок 16.1 – График функции, представленный в таблице 16.1

 

    Как видно из рисунка 16.1 функция похожа на показательную, поэтому в качестве интерполяционной функции можно выбрать функцию вида

у=ав^х+с.

    Так как эта функция содержит три неизвестных а,в,с, составим систему трех нелинейных уравнений, выбрав в качестве аргумента х узлы интерполяции, к примеру х=1;3;4:

    Из данной системы уравнений необходимо создать М – файл (см. рисунок 16.2, с.125) и сохранить его с помощью команды Save, например, под именем myfun.m.

    Для получения решения системы уравнения в командном окне системы Matlab воспользуемся функцией fsolve (см. рисунок 16.3, с. 125):

Рисунок 16.2 – М – файл функция (myfun.m)

Рисунок 16.3 – Использование функции fsolve для нахождения коэффициентов функции интерполяции

    Таким образом, функция интерполяции принимает вид

у= 2,3989 1,9811^х+0,3475.

    Проверим адекватность построенной модели, т. е найдем абсолютную среднеквадратичную Е и максимальную относительную погрешности d (%) интерполяционной формулы.

>> e=sum((P-P1).^2);

>> E=sqrt(e)/length(P)

E =

0.1101

>> ymin=min(P);

>> d=E/ymin*100

d =

2.1588

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

        

    Задание 1. Пусть задана некоторая нелинейная зависимость у(х) в виде таблицы значений. Найти интерполяционную функцию. Определить абсолютную и относительную погрешности интерполяционной функции.

X	1	2	3	4	5	6
y	6,5	19,1	56,3	167,0	495,4	1470,0

 

    Найти математическую модель у=f(x).

    Задание 2. Может ли полученная функция служить математической моделью описанного явления (найти абсолютную и относительную погрешности интерполяции).

 

 

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

 

Отчет должен быть оформлен согласно ГОСТ 7.32-2001 и содержать 1.Титульный лист

2. Цель работы

3. Краткие теоретические сведения

4. Результаты выполнения заданий.

5. Выводы по работе.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

 

1. Какие этапы интерполяции Вы знаете?

2. Как посчитать абсолютную и относительную погрешности интерполяционной функции?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17