Основы дифференцирования и Вычисление пределов функций

 

    Цель работы: научиться вычислять производные и пределы функций

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Для вычисления производных в Matlab используются встроенные функции:

diff(f) или diff (f, x) – производит вычисление производной от функции f, заданной символьно;

diff(f,n) или diff (f, x, n) вычисляет производную от функции f порядка n, заданную символьно.

Примером может служить вычисление первой производной функции f(x)=e^-x2sin x (рисунок 10.1).

 

Рисунок 10.1 – Вычисление первой производной функции

        

    К примеру, вторую производную функции f(x)=x³+2x² можно вычислить, записав скрипт- файл функции и нажав команду Run.  Для ее просмотра необходимо перейти в командное окно (рисунок 10.2).

 

 

Рисунок 10.2 – Вычисление второй производной функции

 

    Функция diff позволяет вычислять производные функций, содержащие более одной символьной переменной по следующему правилу:

    1. Если функция f содержит переменные a, b, c, тогда дифференцирование будет проведено по последней переменной в алфавите переменных, т.е. по переменной с.

    2. Если функция содержит несколько переменных, в составе которых есть переменная х, то она имеет абсолютный приоритет независимо от ее расположения в алфавите переменных (рисунок 10.3).

 

 

Рисунок 10.3 – Дифференцирование функций от нескольких переменных

 

    В случае, когда функция f - вектор или матрица, производная такой функции также будет вектором или матрицей той же размерности.

>>syms x;

p=[2*exp(x);x^5;sin(x)];

diff(p)

    2*exp(x)

 5*x^4

   cos(x)

 

    Нахождение экстремумов функции реализовано в Matlab с помощью функции solve (‘ fun ’, x).

    Из графика функции (рисунок 10.4) видно, что область изоляции минимума функции находится в окрестности точки х=-4.

 

Рисунок 10.4 – Построение графика функции

 

        

    Более точная проверка с помощью функции solve (‘ fun ’, x) показывает, что точка х=-4 – экстремум функции (рисунок 10.5).

 

Рисунок 10.5 – Нахождение минимума функции

    Система Matlab с помощью встроенной функции limit (f, x, x 0),

где х0 – предельное значение переменной х, позволяет находить пределы функции, в том числе, когда имеют места неопределенности вида , ,

    Символ  кодируется в Matlab словом «inf».

 

Рисунок 10.6 – Вычисление предела функции

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1. Найдите первую и вторую производные функций:

,

,

Задание 2.Вычислите  пределы функций:

,

 

 

 

 

 

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

 

Отчет должен быть оформлен согласно ГОСТ 7.32-2001 и содержать 1.Титульный лист

2. Цель работы

3. Краткие теоретические сведения

4. Результаты выполнения заданий.

5. Выводы по работе.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие встроенные функции системы Matlab позволяют вычислить производную и предел функции?

2. Какое Вы знаете правило вычисления производных и пределов функций, содержащих более одной символьной переменной?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11