В поле консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки остается постоянной, т.е. сохраняется.

- полная энергия материальной точки.

Полная энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

Полная энергия системы материальных точек
Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой материальных точек, полная энергия

,

где W_{п i, k} - потенциальная энергия взаимодействия i -й материальной точки с k-й материальной точкой.
W_п - потенциальная энергия взаимодействия всех частиц системы между собой.

Закон сохранения энергии для системы материальных точек
Если система материальных точек находится во внешнем поле консервативных сил, то еЈ полная механическая энергия

,

где W'_п - потенциальная энергия системы во внешнем поле.
Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся только под действием консервативных сил, остается постоянной.
При наличии неконсервативных (диссипативных) сил полная механическая энергия системы не сохраняется, ее убыль равна работе неконсервативных сил.

 

 

Закон изменения	Закон сохранения
Импульс системы материальных точек	при условии
Энергия системы материальных точек A –работа сил трения и внешних не консервативных сил	U 1+ T 1= U 2+ T 2 при условии A =0
Момент импульса системы материальных точек	при условии

Кинематика вращательного движения

Поступательное и вращательное движение

В данном примере траектория центра масс - окружность, остальные точки тела также движутся по окружностям, но центры этих окружностей не лежат на одной прямой.

а) поступательное движение. Любая линия, проведенная в твердом теле, при движении остается параллельной самой себе.

Здесь, как и в предыдущем примере а), центр масс тела движется по той же окружности.

б) вращательное движение, центр масс движется по окружности того же радиуса. Каждая точка твердого тела движется по своей окружности; центры всех окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения.

Псевдовектор бесконечно малого поворота

При повороте тела на угол dφ, вводят псевдовектор бесконечно малого поворота . В правой системе координат направление определяют правилом правого винта: винт, расположенный вдоль оси, вращается вместе с телом, направление его поступательного движения определяет направление псевдовектора. В левой системе координат направление псевдовектора изменится на обратное, истинный вектор при этом не меняет направления.

Угловая скорость

, или . Псевдовектор направлен так же, как и псевдовектор . Угловое ускорение

Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости

откуда

Связь линейного ускорения материальной точки твердого тела с угловой скоростью и угловым ускорением
Продифференцируем по времени:

, ,

, .

, заменяя , получим .

Динамика вращательного движения

Работа при вращательном движении. Момент силы

Элементарная работа на пути ds=Rdj равна , где момент силы относительно оси вращения z (вращающий момент)

.

В векторном виде:

- векторное произведение.

Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

.

.

I_z - момент инерции твердого тела, относительно оси z.

Моментом инерции материальной точки I_i называется величина:

.

Для N материальных точек

Для сплошного тела и для вычисления момента инерции твердого тела необходимо брать интегрирал (учтено, что dm=rd v).

Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.

Теорема Штейнера

,

где I₀ - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.

Моменты инерции I₀ для некоторых тел

Обруч:	,	где R - радиус обруча.
Диск:	,	где R - радиус диска.
Шар:	,	где R - радиус шара.
Стержень:	,	где l - длина стержня.
		m - масса тела.

Уравнение динамики вращательного движения

Работа и кинетическая энергия .

Для вращательного движения .

или ,

 

Откуда .

Получим основное уравнение динамики вращательного движения

.

Момент импульса абсолютно твердого тела
Момент силы

, или .

Введем момент импульса абсолютно твердого тела:

.

В векторном виде для однородного симметричного тела:

.

Закон изменения момента импульса со временем:

,