Структуры двойного зарядового слоя (ДЗС)

Многие источники биоэлектрических потенциалов имеют протяженные структуры. Клеточная мембрана представ­ляет из себя конденсатор с поверхностью сложной формы. Такие конденсаторы называются структурами двойного зарядового слоя (ДЗС). Большинство биологических структур при деполяризации образуют ДЗС. (ДЗС часто является структурой токового слоя, но  выше мы показывали способ перехода от зарядового представления к токовому).

Прежде всего отметим, что ДЗС устойчиво существует только в телах, где заряды пространственно фиксированы: это диэлектрики, диэлектрические мембраны и металлы, погруженные в электролит. В проводящих телах локальный избыток зарядов быстро растекается и потенциал ДЗС существует короткое время - импульсно. Таков типовой процесс в мышцах и нейронах. 

Простейшая структура ДЗС - плоский конденсатор (например, участок заряженной мембраны). Однако чаще поверхность мембраны может быть произвольно изогнута (рис 2.12). Поле, создаваемое ДЗС произвольной формы во внешней точке А определяется фундаментальной теоремой о потенциале ДЗС. Утверждается, что потенциал U_A не зависит от формы поверхности ДЗС, а зависит только от формы контура L, замыкающего эту поверхность. (Тамм) Величина потенциала в точке А с точностью до постоянного коэффициента равна значению пространственного угла W, под которым виден контур L замыкающий поверх­ность ДЗС:

                        

U _А = k W,

где k - коэффициент плотности зарядов диполей на поверхности ДЗС,   W - пространственый угол.

Представим поверхность ДЗС суммой элементарных площадок dS. Каждая площадка имеет слои с зарядом +σdS и - σdS разделенные расстоянием ℓ. Момент М такого элементарного диполя равен σdSℓ. Потенциал U_dА в точке А от элемента dS по формуле для диполя будет:

              U_dА = (M /8R ²)_*cos φ = (σℓdS/8 π R ²)_*cos φ

где R- расстояние до точки А, φ - угол между перпендикуляром к поверхности dS и направлением на точку А. Из геометрических соображений видно, что (dS / R ²)_* cosα есть величина телесного угла d Ω, под которым видна площадка dS из точки А. Потенциал U_А от всей поверхности S будет равен сумме (интегралу) по U_dА от всех элементов σdSℓ этой поверхности, т.е. сумме элементарных пространственных углов d Ω:

что и утверждалось. Более строгое доказательство изложено в Тамм.

Если поверхность нашего ДЗС замкнута, то контур L и угол Ω отсутствуют. Замкнутая клетка не имеет внешнего поля. Если точка А расположена внутри замкнутого ДЗС, то потенциал А равен σℓ/2 не зависимо от точки расположения А, ибо в этом случае телесный угол W всюду равен 4 π. Так мы можем найти значение σ мембраны клетки.

Зная, что поле ДЗС не зависит формы его поверхности, обратим внимание на замыкающий контур L. Пусть он расположен в плоскости, а точка наблюдения А расположена далеко. В этом случае пространственный угол W _А мал и равенS/R², где S - площадь, охватываемая замыкающим контуром. Будем перемещать точку А вокруг центра контура ДЗС по окружности радиуса R (много большего размера контура). W _А будет изменяться как cos φ (иметь вид восьмерки). Следовательно для больших R поле ДЗС совпадает с полем диполя. Если форма замыкающего контура L не расположена в одной плоскости, то она может быть представлена набором отдельных "плоских" контуров (рис 2.13). Если мембрана неоднородна и σℓ различна на разных участках, то мы имеем случай вложенных ДЗС со своими контурами L.  

Обычно вектора диполей заменяются общим суммарным вектором. При этом теряется информация о структуре дипольного набора. Поэтому приведение к единому вектору беспроигрышно только при измерениях на больших расстояниях.

Мультиполи высших порядков

Диполь и монополь есть простейшие элементы поля. Математики определили и более сложные структуры, например квадруполь (суммарное поле 4х монополей) и высшие мультиполи. Произвольную картину поля можно выразить через ряд / набор мультиполей. Эта задача является пространственным обобщением задачи Фурье: представить произвольную кривую набором (рядом / суммой) синусоид. Синусоида при переходе к полярным координатам имеет вид восьмерки, вторая гармоника этой синусоиды представляется лепестками диаграммы поля квадруполя и т.д. В пространстве сигналов разложение Фурье облегчает анализ преобразований (или искажений) частотными фильтрами и решение дифференциальных уравнений. Спектр сигнала имеет точный инженерный смысл. Спектр мультиполей не отображает четкие физические понятия. Более того, очень часто источниками полей биосигналов являются геометрически протяженные и разнесенные структуры: введение точечного центра разложения нарушает смысл отображения, а само разложение по мультиполям скрадывает физические особенности. Поэтому не рекомендуется пользоваться разложениями по мультиполям. Реальные поля произвольной формы практично представлять композицией полей диполей, монополей и структур ДЗС, т.е разложение желательно проводить по ряду форм физически существующих источников.