Виды дисперсий и правило их сложения

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также между группами. При этом кроме общей средней для всей совокупности исчисляются средние по отдельным группам и три показателя дисперсии: общая, межгрупповая и средняя внутригрупповая.

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов

где  – общая средняя арифметическая для всей совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Определяется по формуле

где  – средняя по отдельной группе;

  число единиц в отдельной группе.

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признак-фактора), положенного в основу группировки

где  – дисперсия по отдельной группе;                                    

Рассмотренные дисперсии взаимно связаны между собой:    Это называется правилом сложения дисперсий, которое показывает, какая часть (доля) общей дисперсии складывается под влиянием признак-фактора, положенного в основу группировки. Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определенных факторов с помощью отношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии.

Это отношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (эта квадрат)

 

Показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки. Корень квадратный из   носит названиеэмпирического корреляционного отношения

Пример. Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсии по данным о ПТ двух бригад рабочих.

1-ая бригада				2-ая бригада
№ ра-бочего	Изготовлено деталей за час, шт., (x)			№ ра- бочего	Изготовлено деталей за час, шт., (x)
1	13	-2	4	7	18	-3	9
2	14	-1	1	8	19	-2	4
3	15	0	0	9	22	1	1
4	17	2	4	10	20	-1	1
5	16	1	1	11	24	3	9
6	15	0	0	12	23	2	4
Итого	90	0	10	Итого	126	0	28
Ср.зн.	15			Ср.зн.	21

Решение. Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе в строке ср.значений по графам 2 и 6. Промежуточные расчеты дисперсий по группам произведем в графах 3,4,7,8. Тогда

 

Средняя из групповых дисперсий равна

Рассчитаем межгрупповую дисперсию, для этого предварительно определим общую среднюю ПТ как среднюю взвешенную из групповых средних

Определим межгрупповую дисперсию

Т.об, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий равна   

Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию обычным способом

На основании правила сложения дисперсий определим эмпирическое корреляционное отношение

=0,86. Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаком.