Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.

Задача на сферическое движение тела.

Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r = 20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна, V_С = 60 см/сек.

Определить:

- угловую скорость конуса ω;

- угловое ускорение конуса ε;

- скорости нижней и наивысшей точек основания V_A и V_B;

- ускорения этих же точек a _A и a _B (рис).

 

Решение.

 

 

1) Рассматриваемое движение конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной.

Так как конус катится по неподвижной плоскости, то образующая OA, которой он соприкасается с плоскостью, является мгновенной осью (все точки этой образующей имеют нулевую скорость).

Зная скорость точки C, можно сразу определить угловую скорость конуса. Найдем расстояние от C до мгновенной оси:

 

 

Учитывая направление вектора ν_с, откладываем вектор ω от точки O вдоль мгновенной оси так, чтобы смотря ему навстречу, видеть вращение конуса происходящим против движения часовой стрелки;

 

2) для определения углового ускорения ε необходимо построить годограф угловой скорости ω. При качении конуса по горизонтальной плоскости вектор ω перемещается в этой плоскости, поворачиваясь вокруг вертикальной оси z. Так как модуль его не изменяется, то конец вектора ω описывает окружность в горизонтальной плоскости.

Вектор ε геометрически равен скорости u конца вектора ω. В данном случае скорость u является вращательной вокруг оси z. Угловая скорость этого вращения ω₁ определяется как угловая скорость вращения оси конуса OC вокруг оси z. Чтобы определить ее модуль, находим расстояние от точки C до оси z:

 

CL = OC cos30° = OA cos30° cos30° = 2r cos² 30° =

 = 40 ∙ 3/4 = 30 см.

 

Определяем ω₁:

 

ω₁= ν_с / CL = 60 / 30 = 2 с^-1.

 

Скорость u находим как вращательную скорость точки – конца вектора угловой скорости ω при вращении вокруг оси z:

 

ε = u = ω₁∙ω = 2∙2√3 = 6,93 с^-2.

 

Вектор ε отложен от неподвижной точки в направлении скорости u, т.е. лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярен ω;

 

3) определим скорости точек A и B. Точка A лежит на мгновенной оси вращения, ее скорость равна нулю ν_A=0.

 

Скорость точки B (рис):

 

ν_B = ω∙BK₁ = ω∙2CK = 2√3∙20√3 = 120 см/с.

Вектор скорости ν_B направлен перпендикулярно плоскости ΩOz;

 

4) точка B имеет ускорение a _B, равное сумме осестремительного ускорения a _ΩB^oc и вращательного ускорения a _EB^вр:

 

a _B = a _ΩB^oc + a _EB^вр

 

a _ΩB^oc = ω₂ ∙ BK₁ = 415,7 см/с.

 

Для определения модуля a _EB^вр опустим из B перпендикуляр на ось углового ускорения E. Этот перпендикуляр совпадает с отрезком BO (рис).

 

a _EB^вр = ε ∙ BO = 4√3 ∙ 40 = 277,1 см/с².

 

Направляем a _EB^вр перпендикулярно BO в плоскости, перпендикулярной ε так, чтобы, смотря навстречу ε, видеть a _EB^вр, направленным против часовой стрелки.

 

Определяем модуль a _B как длину диагонали параллелограмма:

 

 

В точке A, лежащей на мгновенной оси вращения, осестремительное ускорение равно нулю: a _ΩA^oc=0. Определяем модуль вращательного ускорения точки A (рис):

 

a _EB^вр = ε ∙ AO = 4√3∙40 = 277,1 см/с².

 

Вектор a _EA^вр направлен перпендикулярно AO в плоскости ΩOz.

 

a _A = a _EA^вр = 277,1 см/с².