Теорема О скоростях точек плоской фигуры

Скорость любой точки плоской фигуры при плоскопараллельном движении равна геометрической сумме скорости выбранного полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Производная от вектора AM, постоянного по величине и переменного по направлению, численно равна скорости точки М при вращении ее вокруг точки А.

Вектор V_MA=ω⋅ AM перпендикулярен отрезку АМ.

 

Численную величину скорости точки М можно получить, если воспользоваться теоремой косинусов

или спроецировать векторное равенство (1) на выбранные оси координат

Из теоремы о скоростях точек плоской фигуры следует, что проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Это легко показывается в рассуждениях:

так как V_BA ⊥ AB, то и проекция V_BA на ось АХ равна нулю.

Следовательно, V_Bx = V_Ax

VA

VВА

VA

VВ

 

МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ

 

Теорема Эйлера-Шаля. Л юбое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра.

В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нолю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например P_V, C_V.

 

При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: V_M=V_CV+V_MCV, где точка С_V выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и V_CV=0, то скорость любой точки определяется как скорость при вращении вокруг мгновенного центра скоростей.

 

Из рис. ниже видно, что мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение

 

На нижеприведенных рисунках показаны примеры определения положения мгновенного центра скоростей и приведены формулы для расчета скоростей точек.

3

2

4

1

 

 

 

 

здесь V_B  || V_AВ, этом случае МЦС находится в “бесконечности”, т.е

 

СV

СV

СV

Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке С_V.

 

 

 

При движении плоской фигуры МЦС непрерывно изменяет свое положение.

Геометрическое место МЦС, отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место МЦС, отмеченных на плоскости фигуры, называется подвижной центроидой

Пример. Колесо катится по прямой: неподвижная центроида – прямая, подвижная – окружность.

 

Теорема Пуансо. При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.

УСКОРЕНИЕ ТОЧЕК ПРИ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Ускорения точек:

,

 – ускорение любой точки (В) плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса (А), центростремительного а ⁿ и касательного (тангенциального) а ^t ускорений во вращательном движении тела относительно полюса.

, ,

 

, .

 

Мгновенный центр ускорений – точка (Q) плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

 

Для его построения из точки А откладываем под углом a к ускорению а_А отрезок AQ.

.

При этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения e. Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорения, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и мгновенного центра ускорения один и тот же угол

: .