Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитного поля

1 По прямолинейному проводнику проходит ток I. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в точке, равноудаленной от концов проводника длиной l и находящейся на расстоянии a от оси проводника. Рассмотреть также случай, когда l >> a.

2 Напряженность магнитного поля в центре витка радиусом r равна Н. Определить напряженность поля на оси витка в точке, расположенной на расстоянии d от его центра, и в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя силы тока в нем.

3 По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми d, текут токи силой I каждый. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние r, если токи текут в одном направлении, в противоположных направлениях.

4 По двум кольцевым проводникам, имеющим общий центр, текут токи силой I₁ и I₂. Радиусы колец R₁ и R₂, угол между их плоскостями φ. Определить индукцию и напряженность поля в общем центре колец. Рассмотреть два случая и нарисовать схему сложения полей.

5 По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a и b, течет ток с силой I. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

6 Магнитная стрелка помещена в центре кругового проводника, плоскость которого расположена вертикально и составляет угол φ с плоскостью магнитного меридиана. Радиус окружности R. Определить угол, на который повернется магнитная стрелка, если по проводнику пойдет ток силой I. (Дать два решения).

7 Длинный прямой соленоид имеет на единицу длины n витков. По виткам его течет ток силой I. Определить индукцию поля внутри соленоида, вблизи его середины, в центре одного из оснований.

8 По оси соленоида радиусом больше 0,10 м с числом витков на единицу длины n течет ток с силой I₁, по оси соленоида проходит тонкий прямой провод с током I₂. Найти напряженность поля внутри соленоида на расстоянии h от оси, показав графически сложение напряженностей.

9 По кольцу радиусом R течет ток силой I₁. В одной плоскости с кольцом находится длинный прямой изолированный провод, по которому течет ток силой I₂. Он совпадает с касательной к кольцу с током I₁. Найти индукцию и напряженность поля в центре кольца, если направления токов в месте касания одинаковы, противоположны.

10 К тонкому однородному проволочному кольцу радиуса r₀ подводят ток I (рисунок 14).Подводящие провода, расположенные раздельно, делят кольцо на две дуги, длины которых l₁ и l₂. Найти индукцию магнитного поля в центре кольца.

11 Бесконечно длинный прямой проводник, по которому идет ток силой I = 5 A,согнут под прямым углом (рисунок 15). Найти индукцию магнитного поля на расстоянии a = 10 cмот вершины угла в точках, лежащих на биссектрисе прямого угла и на продолжении одной из сторон.  

12 Обмотка соленоида выполнена тонким проводом с плотно прилегающими друг к другу витками. Длина l равна 1 м, ее диаметр d = 2 см. По обмотке идет ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть вычислена по формуле бесконечного соленоида с погрешностью, не превышающей 0,1 %.

13 Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии r = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи силой I = 10 A. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 2 см от одного и r₁ = 3 см от другого провода.                                                             

14 Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рисунок 16). По проводам текут токи силой I₁ = 80 см и I₂ = 60 см. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников. 

15 По бесконечно длинному прямому проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке 17, течет ток силой I = 100 А. Определить магнитную индукцию В в точке О, если r = 10 см.

16 По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой I = 40 А. длина стороны треугольника а = 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

17 По контуру в виде квадрата идет ток силой I = 50 A. Длина стороны квадрата а = 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

18По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

19 Бесконечно длинный тонкий проводник с силой тока I = 50 A имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях a–в, изображенных на рисунке 18. 

 

 

20 В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле Н при разности потенциалов и на концах витка. Как нужно изменить приложенную разность потенциалов, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое больше радиуса, сделанного из той же проволоки?

21 Бесконечно длинный проводник с током силой I = 50 A имеет изгиб радиусом R = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию B поля, созданного этим током (рисунок 19).

 

Сила Ампера

1 Прямой провод длиной l, по которому течет ток силой I, помещен в однородное магнитное поле под углом φ к линиям поля. Найти индукцию магнитного поля, если на провод действует сила F.

2 На прямой провод с током силой I в однородном магнитном поле с индукцией B действует сила F. Найти длину провода, если он расположен под углом α к линии поля.

3 По прямому горизонтально расположенному проводу течет ток силой I₁, под ним находится второй, параллельный ему, алюминиевый провод, по которому протекает ток I₂. Расстояние между проводами d. Какова должна быть площадь второго провода, чтобы он находился в состоянии равновесия незакрепленным? Какое это будет равновесие?

4 Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d₁друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи силой I₁ и I₂. Какую работу надо совершить (на единицу длинны проводника), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d₂?

5 В однородном магнитном поле (B = 0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длиной l = 3 см, по которому течет ток силой I = 0,1 A (рисунок 20). Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить? 

6 Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две её стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой I = 1 кА. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равной её длине.

7 По тонкому проводу в виде кольца радиусом R = 20 см течет ток силой I = 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией B = 20 мТл. Найти силу F, растягивающую кольцо.

8 По трём параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии а = 10 см друг от друга, текут одинаковые токи силой I = 100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной l = 1 м каждого провода.

9 По двум параллельным проводам длиной l = 1 м каждый текут токи одинаковой силы. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F = 1 мA. Найти силу тока I в проводах.

10 Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15,1 мТл по окружности радиусом R = 1 см. Определить скорость частицы и ее удельный заряд q/m.

11Определить энергию, которую приобретает протон, сделав N = 40 об в магнитном поле циклотрона, если максимальное значение U_max переменной разности потенциалов между дуантами равно 60 кВ. Определить относительное увеличение Δm/m₀ массы протона в сравнении с массой покоя, а также скорость протона.

12 С какой силой взаимодействуют два параллельных провода с токами силой 300 A, если длина проводов 50 м и каждый из них создает в месте расположения другого провода магнитное поле с индукцией 1,2 мТл?

13 Прямой проводник длиной 20 см и массой 50 г подвешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен горизонтально и перпендикулярно к проводнику. Какой ток надо пропустить через проводник, чтобы одна из нитей разорвалась? Индукция поля 50 мТл. Каждая нить разрывается при нагрузке 0,4 Н.

14 Стержень массой 20 г и длиной 5 см положили горизонтально на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол, тангенс которого 0,3. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией 150 мТл. При какой силе тока в стержне он будет находиться в равновесии?

15 На сколько отличаются наибольшее и наименьшее значения модуля силы, действующей на прямой провод длиной 20 см с током 10 А, при различных положениях провода в однородном магнитном поле, индукция которого равна 1 Тл?

16 Проводник длиной 140 см согнули под прямым углом так, что одна из сторон угла равна 60 см, и поместили в однородное магнитное поле с индукцией 2 мТл обеими сторонами перпендикулярно линиям индукции. Какая сила (в миллиньютонах) будет действовать на этот проводник, если по нему пропустить ток силой 10 A?

17 В однородном магнитном поле с индукций 0,01 Тл находится проводник, расположенный горизонтально. Линии индукции поля также горизонтальны и перпендикулярны проводнику. Какой ток должен протекать по проводнику, чтобы он завис? Масса единицы длины проводника 0,01 кг/м.

18 По П-образной рамке, наклоненной под углом 30^o к горизонту и помещенной в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости рамки, начинает соскальзывать без трения перемычка массой 30 г. Длина перемычки 10 см, ее сопротивление 2 мОм, индукция поля 0,1 Тл. Найти установившуюся скорость движения перемычки. Сопротивлением рамки пренебречь, g = 10 м/с².

19 Прямолинейный проводник с током длиной 5 см перпендикулярен линиям индукции однородного магнитного поля. Чему равен модуль индукции магнитного поля, если при токе в 2 А на проводник действует сила, модуль которой равен 10 мН?

Магнитный момент. Контур в магнитном поле

1 В плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю с индукцией В, перемещается отрезок проводника длиной l так, что направление перемещения перпендикулярно к проводнику. К концам проводника приложена разность потенциалов ∆φ при сопротивлении его R. Во сколько раз мощность, затраченная на нагревание проводника, больше мощности, затраченной на перемещение проводника в магнитном поле? Средняя скорость движения проводника 1 м/c.

2 Квадратная рамка со стороной L сделана из медной проволоки с поперечным сечением S. Она расположена перпендикулярно к однородному полю с напряжённостью H (µ = 1). По рамке течёт ток при падении напряжения, равном U. Какую работу надо затратить, чтобы повернуть рамку на угол π/2.

3 По расположенному горизонтально кольцу, масса которого m и радиус R, течёт ток силой I, кольцо свободно висит в магнитном поле. Определить градиент магнитного поля в месте расположения кольца,

4 В однородном магнитном поле с напряжённостью H помещена квадратная рамка со стороной a, имеющая N витков. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку, и работу, совершённую магнитным полем при повороте рамки к положению равновесия, если по виткам пропустить ток I.

5 Короткая катушка с площадью поперечного сечения S, содержащая N витков провода, по которому течёт ток I, помещена в однородное магнитное поле с напряженностью H. Найти магнитное поле катушки и вращающий момент, действующий на катушку со стороны поля, если ось катушки составляют с линиями поля угол α.

6 Магнитная стрелка с магнитным моментом p_m  подвешена на упругой нити. При включении однородного магнитного поля с индукцией В, образующего угол α с осью стрелки, стрелка повернулась на угол β. Считая, что закручивающий момент нити пропорционален углу закручивания, т. е. М = ĸ · φ, определить постоянную ĸ.

7 Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент р_m = 1 А · м². Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

8 Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом r = 53 нм. Вычислить магнитный момент р_m эквивалентного кругового тока и механический момент М, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл.

9 Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет заряд Q = 10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой n = 10 с^–1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Найти магнитный момент р_m кругового тока, создаваемого кольцом, и отношение магнитного момента к моменту импульса (р_m/L), если масса m кольца равна 10 г.

10 По кольцу радиусом R течет ток I. на оси кольца на расстоянии d = 1 м от его плоскости магнитная индукция В = 10 нТл. Определить магнитный момент р_m кольца с током. Считать R много меньшим α.

11 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента р_m эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известными. Указать направления векторов р_m и L.

12 По тонкому стержню длиной см равномерно распределен заряд Q = 240 нКл (рисунок 21). Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью ω = 10 с^–1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент p_m, обусловленный вращением заряженного стержня.

 13 Проволочный виток радиусом R = 5 см находится в однородном магнитном поле напряженностью H = 2 кА/м. Плоскость витка образует угол β = 60⁰ с направлением поля. По витку течет ток с силой I = 4 А. Найти механический момент M, действующий на виток.

14 Прямоугольный контур площадью 150 см² с током силой 4 A, на который действует только однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, занял положение устойчивого равновесия. Какую после этого надо совершить работу (в миллиджоулях), чтобы медленно повернуть его на 90° вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон?

 

Сила Лоренца

1 Траектория пучка электронов, движущихся в вакууме в магнитном поле с напряженностью Н, есть окружность радиусом R. Определить скорость и энергию электронов, период обращения и момент импульса.

2 Электрон движется в магнитном поле с индукцией В по винтовой линии радиусом R и шагом h. С какой скоростью электрон влетел в магнитное поле?

3 В магнитном поле с индукцией В по круговой орбите радиусом R движется α-частица. Определить скорость α-частицы, ее кинетическую энергию и разность потенциалов, которую должна пройти α-частица, чтобы приобрести такую энергию.

4 Электрон и протон ускоряются электрическим полем с напряженностью Е, действующим на расстоянии L, затем они попадают в однородное магнитное поле с индукцией В, действующей в плоскости, перпендикулярной к электрическому полю. Определить циклические частоты вращения частиц в магнитном поле и радиус траектории каждой частицы.

5 Перпендикулярно к магнитному полю с напряженностью Н возбуждено электрическое поле с напряженностью Е. Перпендикулярно к обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Определить скорость частицы. Изменится ли траектория частицы при изменении направления одного из полей и обоих полей?

6 Покоящийся в начальный момент электрон (рисунок 22) ускоряется электрическим полем, напряженность которого E = 3,2 ∙ 10⁵ В/м. Через время ∆t он влетает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому, магнитная индукция которого В. Во сколько раз нормальное ускорение электрона в этот момент больше его тангенциального ускорения?

7 Положительно заряженная частица влетает в одинаково направленные (перпендикулярно к её скорости) однородное электрическое и магнитные поля. Определить, под каким углом к полям будет направлена ускорение частицы в тот момент, если скорость её υ, индукция магнитного поля В, напряжённость электрического поля Е.

8 Циклотрон состоит из дуантов (двух полых плоских металлических полу цилиндра), внутри которых постоянное магнитное поле направлено перпендикулярно их основаниям. В зазоре между дуантами действует электрическое поле, направление его изменяется с определённой частотой. Какова должна быть частота, если циклотрон используется для ускорения протонов (электронов)? Сколько полных оборотов должен совершить протон внутри циклотрона, чтобы приобрести кинетическую энергию К = 6 МэВ? Каким будет максимальный радиус траектории протона внутри дуанта при такой энергии? Начальной энергией частиц можно пренебречь, разность потенциалов в зазоре между дуантами U₀ = 2 ∙ 10⁴ В. Индукция магнитного поля B = 0,7 Тл.

9 Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R₁ = 2 cм, прошла через свинцовую пластину, расположенную на пути частицы. Вследствие потери энергии частицей радиус кривизны траектории изменился и стал равным R₂ = 1 cм. Определить относительное изменение энергии частицы.

10 Два однозарядных иона, пройдя одинаковую ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Один ион масса m₁ которого равна 12 а. е. м., описал дугу окружности радиусом R₁ = 4 см. Определить массу m₂ другого иона, который описал дугу окружности радиусом R₂ = 6 см.

11 Протон с кинетической энергией E = 1,6 · 10^–13 Дж влетел в постоянное однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, индукция поля В = 1 Тл. Какова должна быть минимальная протяженность магнитного поля (в направлении первоначального движения) для того, чтобы направление движения протона изменилось на угол φ = 30º?

12 Электрон влетает в однородное магнитное поле под углом 45º к вектору индукции магнитного поля В и движется по винтовой линии с шагом h. Найти модуль импульса электрона (m – масса электрона, q – модуль заряда электрона).

13 Протон и электрон влетают в однородное магнитное поле, пройдя одинаковую ускоряющую разность потенциалов U. Определить отношение периода обращения протона к периоду обращения электрона (масса протона m₁, масса электрона m₂).

14 Протон и электрон влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции поля и движутся по окружностям с радиусами R₁ и R₂ соответственно. Определить отношение кинетической энергии протона к кинетической энергии электрона (масса протона m₁, масса электрона m₂).

15 Протон с кинетической энергией W₁ и электрон с кинетической энергией W₂ влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции поля. Определить отношение радиуса кривизны траектории электрона к радиусу кривизны траектории протона (масса протона m₁, масса электрона m₂).

16 Два протона движутся по окружностям в однородном магнитном поле, причем период обращения первого в 1,2 раза больше чем у второго. Определить скорость второго протона, если скорость первого
V₁ = 2,1 · 10⁸ м/с.

17 Перпендикулярно линиям индукции в однородное магнитное поле влетает протон и однозарядный ион гелия, ускоренные одинаковой разностью потенциалов. Во сколько раз радиус окружности, по которой движется ион, больше, чем радиус окружности протона?

18 Протон влетает со скоростью 60 км/с в пространство с электрическим и магнитными полями, линии которых совпадают по направлению, перпендикулярно к этим линиям. Определите напряженность электрического поля (в киловольтах на метр), если индукция магнитного поля 0,1 Тл, а начальное ускорение протона, вызванное действием этих полей равно 10¹² м/с². Отношение заряда протона к его массе 10⁸ Кл/кг.

19 Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля с индукцией 0,001 Тл, где движется по дуге окружности радиусом 0,2 м. Затем частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает участок с разностью потенциалов 1000 В, при этом ее скорость уменьшается в 3 раза. Определить конечную скорость (в километрах в секунду) частицы.

20 Электрон со скоростью 628 км/с влетает под углом 6º к линиям индукции магнитного поля и напряженности электрического поля. Электрические и магнитные поля однородны и параллельны друг другу. Сколько оборотов сделает частица до момента начала движения в обратном направлении, если напряженность электрического поля 500 В/м, а индукция магнитного поля 0,1 Тл?

21 Во сколько раз электрическая сила, действующая на электрон, больше магнитной силы, если напряженность электрического поля 1,5 кВ/м, а индукция магнитного поля 0,1 Тл? Скорость электрона равна 200 м/с и направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.

22 Найти ускорение (в километрах на секунду в квадрате) протона, который движется со скоростью 2 м/с в магнитном поле с индукцией 3 мТл перпендикулярно линиям поля. Отношение заряда протона к его массе 10⁸ Кл/кг.