Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами.

Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом
dq = τ · dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применить следующие формулы:

 

;   ,

где  – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, интегрированием находят напряженность  и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:

;      .

Интегрирование ведется вдоль всей длины L заряженной линии.

Интегрирование приводитк следующей формуледля напряженности поля, создаваемого прямой бесконечной равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:

 

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля;

τ – линейная плотность заряда, τ = q / l.

 

При расчетах электростатического поля системы зарядов используется теорема Остроградского–Гаусса.

Определение теоремы Остроградского–Гаусса для поля в вакууме: поток  вектора напряженности Е электростатического поля через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов , которые охватываются этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную.

Математическая формула теоремы имеет следующий вид:

 

,

где  – единичный вектор нормали к элементу поверхности dS.

Если поверхность не охватывает заряд, то поток через такую поверхность равен нулю.

Значение потока вектора Е через замкнутую поверхность не зависит ни от размеров, ни от формы поверхности. Поэтому при расчетах следует выбирать поверхность такой формы, которая позволяет наиболее просто вычислить поток.

Применение теоремы Остроградского–Гаусса к расчету поля приводит к следующим формулам для напряженностей и потенциалов:

напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

– при r < R E = 0;                ;

– при r = R ; ;

– при r > R ; ,

где q – заряд сферы.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется как

 

.

Связь потенциала с напряженностью:

– в общем случае  или ;

– если поле однородное, то ;      

– если поле обладает центральной или осевой симметрией, то .

 

Работа по перемещению заряда q в электростатическом поле.

При заданной напряженности поля Е работа по перемещению электрического заряда q определяется следующей формулой:

 

,

где E – напряженность поля;

    dl – элемент траектории L.         

Работапо перемещению тела с зарядом q из точки поля с потенциалом φ ₁ в точку с потенциалом φ ₂ вычисляется по формуле

 

.

Эта работа идет на изменение кинетической энергии тела . Поэтому справедливо следующее соотношение:

 

или ,

где m – масса тела;

υ ₁ и υ ₂ – начальная и конечная скорости тела.

 

Электроемкость – это физическая величина, численно равная заряду q, который необходимо сообщить проводнику (системе проводников), чтобы увеличить потенциал φ на 1 вольт.

Формулы электроемкостей:

– уединенного проводника

,

– двух проводников

,

где U – разность потенциалов проводников.