Электроемкость плоского конденсатора

,

где S – площадь одной пластины (обкладки) конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

– при последовательном соединении ;

– при параллельном соединении ,

где N – число конденсаторов в батарее.

При зарядке проводника (системы проводников) необходимо совершить определенную работу против силы возникающего электрического поля. Совершенная работа превращается в энергию этого поля.

 

Энергия заряженного конденсатора определяется формулами:

, , .

Электрический ток – это упорядоченное движение электрических зарядов. Характеристикамитока являются сила I и плотность j. Ток с неизменными силой и направлением называется постоянным.

Сила постоянного тока определяется следующим выражением:

,

где q – заряд, который прошел через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность постоянного тока вычисляется по формуле

,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью  направленного движения заряженных частиц:

,

где n – концентрация заряженных частиц;

q – заряд частицы.

Если электрические цепи неразветвленные, то задачи решаются с помощью законов Ома.

Закон Ома в дифференциальной форме позволяет определить плотность тока в любой точке, где известна напряженность поля.

 

,

где  – плотность тока;

  γ – удельная проводимость;

 – напряженность электрического поля.

Связь удельной проводимости γ с подвижностью b заряженных частиц (ионов):

,

где q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b ₊ и b _– – подвижности положительных и отрицательных ионов.

Законы Ома в интегральной форме определяют силу тока в цепи:

– участок цепи, не содержащий ЭДС (однородный участок) (рисунок 6),

,

где  – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи, ;

R – электрическое сопротивление участка;

– участок цепи, содержащий ЭДС (неоднородный участок),

,

где  – ЭДС источника тока;

R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

– замкнутая (полная) цепь (рисунок 7)

,

где R – сопротивление нагрузки (потребителя);

r – внутреннее сопротивление (источника тока).

Если цепи разветвленные, то их условно разбивают на узлы и контуры, и расчеты проводят с помощью правил Кирхгофа.

Правила Кирхгофадля электрических цепей:

– правило для узла – ;

– правило для контура – ,

где  – алгебраическая сумма сил токов в узле;

 – алгебраическая сумма произведений сил токов на отдельных участках контура и сопротивлений этих участков;

 – алгебраическая сумма ЭДС в контуре.

Сопротивление R и проводимость G проводника определяются следующими формулами:

; ,

где ρ – удельное сопротивление;

γ – удельная проводимость;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

Зависимость сопротивления проводника от температуры

,

где R ₀ – сопротивление проводника при нулевой температуре;

α – температурный коэффициент сопротивления;

t – температура.

Сопротивление системы проводников:

– при последовательном соединении

;

– при параллельном соединении

,

где  – сопротивление i -го проводника.

При последовательном соединении источников тока в батарею складываются как их ЭДС

,

так и внутренние сопротивления

.

Параллельное соединение N источников ЭДС используется, как правило, только для одинаковых источников. В этом случае ЭДС батареи равна ЭДС одного источника (), а внутреннее сопротивление батареи .

Работа электрического тока определяетсяследующими формулами:

– для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U,

,

– для участка, не содержащего ЭДС,

;           ,

где I – сила тока;

U – напряжение;

  t – время протекания тока.

Мощность тока:

P = I · U, P = I ² · R, P = U ² / R.

Если по проводнику протекает электрический ток, то проводник будет нагреваться. Количество теплоты Q, которое выделится в проводнике, определяется законом Джоуля–Ленца:

Q = I ² · R · t,

где I – сила тока в проводнике;

R – электрическое сопротивление проводника;

t – время протекания тока.

Типовые задачи

Основы электростатики. Напряженность и потенциал

1 Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 3 см от его конца находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

2 Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несёт заряд, равномерно распределённый с объёмной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряжённость Е электрического поля в точках: на расстоянии r₁ = 3 см от центра шара; на поверхности шара; на расстоянии r₂ = 10 см от центра шара.

3 Найти потенциальную энергию Wсистемы трёх точечных зарядов q₁ = 10 нКл, q₂ = 20 нКл и q₃ = –30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см.

4 Бесконечная прямая нить несёт равномерно распределённый заряд (τ = 0,1 мкКл/м). Определить работу A₁₂ сил поля по перемещению заряда Q = 10 нКл от точки 1 в точку 2 (рисунок 1).

5 Два точечных заряда взаимодействуют с силой 8 мН. Какова будет сила взаимодействия (в нанометрах) между зарядами, если, не меняя расстояния между ними, величину каждого из зарядов увеличить в 2 раза?

6 По поверхности сферы радиусом 30 см распределен заряд 4 нКл. Чему равен потенциал в центре сферы?

7 Два одинаковых по размеру металлических шарика несут заряды 7 и −3 мкКл. Шарики привели в соприкосновение и развели на некоторое расстояние, после чего сила их взаимодействия оказалась равной 40 Н. Определите это расстояние (в сантиметрах).

8 Три маленьких шарика заряжены одинаковыми по модулю зарядами q = 10 мкКл. Расстояние а = 0,2 м. Определить энергию взаимодействия зарядов. Знаки зарядов указаны на рисунке 2.

9 Маленький шарик, подвешенный на шелковой нити, имеет заряд 49 нКл. В горизонтальном электрическом поле с напряженностью 100 кВ/м нить отклонилась от вертикали на угол, тангенс которого 0,125. Найти массу (в граммах) шарика.

10 Какую работу необходимо совершить, чтобы три одинаковых точечных положительных заряда q, находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии а друг от друга, расположить в вершинах равностороннего треугольника (рисунок 3) со стороной а/2?

11 Два одинаковых отрицательных точечных заряда по 100 нКл массой 0,3 г каждый движутся по окружности радиусом 10 см вокруг положительного заряда 100 нКл. При этом отрицательные заряды находятся на концах одного диаметра. Найти угловую скорость вращения зарядов (в радианах в секунду).

12 Найти ускорение, с которым падает шарик массой 0,01 кг с зарядом 1 мкКл в однородном электрическом поле с напряженностью 20 кВ/м. Вектор напряженности направлен вертикально вверх. Трение не учитывать.

13 Два точечных заряда по 10 нКл закреплены на расстоянии 4 см друг от друга. Посередине между зарядами помещают заряженную частицу массой 2 мг с зарядом 36 нКл и отпускают. Какую скорость приобретет частица на большом расстоянии от зарядов?

14 Два одинаковых проводящих шарика, обладающих зарядами 50 и 10 нКл, находятся на некотором расстоянии друг от друга. Их приводят в соприкосновение и разводят на прежнее расстояние. На сколько процентов увеличится в результате сила взаимодействия?

15 Протон, движущийся со скоростью 100 км/с, влетает в электрическое поле с напряженностью 50 В/м в направлении, противоположном направлению силовых линий поля. Через сколько микросекунд скорость протона станет равной нулю? Отношение заряда протона к его массе 10⁸ Кл/кг.

16 Два одинаково заряженных шарика одного размера и массы подвешены на нитях одинаковой длины, закрепленных в одной точке. Опуская шарики в жидкий диэлектрик, заметили, что угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике остается одним и тем же. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше плотности материала шариков.

17 По тонкому кольцу радиусом 6 см распределен заряд 4 нКл. Найти потенциал поля кольца в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии 8 см от его центра.

18 Маленький шарик массой 0,01 мг, несущий заряд 10 нКл, помещен в однородное электрическое поле, направленное горизонтально. Шарик начинает двигаться и через 4 с приобретает скорость 50 м/с. Найти напряженность электрического поля (в милливольтах на метр).

19 Электрическое поле создается двумя положительными точечными зарядами q₁ = 9 · 10⁻⁹ Кл и q₂ = 4 · 10⁻⁹ Кл. Чему равно расстояние между этими зарядами, если известно, что точка, где напряженность электрического поля равна нулю, находится на расстоянии 33 см от первого заряда?

20 Два одинаковых маленьких шарика массой 80 г каждый подвешены к одной точке на нитях длиной 30 см. Какой заряд (в микрокулонах) надо сообщить каждому шарику, чтобы нити разошлись под прямым углом друг к другу?

21 По кольцу, расположенному горизонтально, могут свободно перемещаться три шарика. Заряд первого шарика q₁, второго и третьего q₂ каждый. Чему равно отношение зарядов q₁/q₂, если при равновесии дуга между зарядами составляет 60°?

22 На концах невесомого стержня длиной 1 м находятся два невесомых шарика с зарядами +1 Кл и −1 Кл. На перпендикуляре, проведенном через середину стержня, на расстоянии 0,5 м от основания перпендикуляра расположен точечный заряд 1 Кл. Определить вращающий момент (в килоньютон на метр), действующий на стержень.

23 В вершинах острых углов ромба со стороной 1 м помещены положительные заряды по 1 нКл, а в вершине одного из тупых углов – положительный заряд 5 нКл. Определить напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба, если меньшая диагональ ромба равна его стороне.

Электроёмкость. Конденсатор

1 Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U₁ = 100 В. Какова будет разность потенциалов U₁, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора?

2 Сила F притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь каждой пластины 200 см². Найти плотность энергии  поля конденсатора.

3 Конденсатор электроемкостью C₁ = 666 пФ зарядили до разности потенциалов U₁ = 1,5 кВ и отключили от источника тока. Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаряженный конденсатор емкостью C₂ = 444 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов.

4 Конденсаторы электроемкостями C₁ = 10 нФ, C₂ = 40 нФ, C₃ = 20 нФ и C₄ = 30 нФ соединены так, как показано на рисунке 4. Определить электроемкость  батареи конденсаторов.

5 Во сколько раз увеличится емкость плоского конденсатора, если площадь пластин увеличить в 8 раз, а расстояние между ними уменьшить в 2 раза?

6 Два конденсатора, рассчитанные на максимальное напряжение 300 В каждый, но имеющие различные емкости – 500 и 300 пФ, соединены последовательно. Какое наибольшее напряжение можно приложить к такому составному конденсатору?

7 Одну пластину незаряженного конденсатора, обладающего емкостью 1 нФ, заземляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к удаленному проводящему шару радиусом 20 см, имеющему заряд 92 мкКл. Какой заряд (в микрокулонах) останется на шаре?

8 Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и присоединены к источнику постоянного напряжения. У одного из них втрое увеличивают расстояние между пластинами. Во сколько раз уменьшится напряженность поля в этом конденсаторе?

9 Два конденсатора, емкость одного из которых в 4 раза больше, чем емкость другого, соединили последовательно и подключили к источнику напряжения с ЭДС 75 В. Затем заряженные конденсаторы отключили от источника и друг от друга и соединили параллельно. Чему будет равно после этого напряжение на конденсаторах?

10 Конденсатор емкостью С₁, заряженный до разности потенциалов 300 В, и конденсатор емкостью С₂, заряженный до разности потенциалов 50 В, соединили одноименными обкладками. При этом напряжение на батарее конденсаторов стало равным 100 В. Чему равно отношение емкости второго конденсатора к емкости первого?

11 Заряженный конденсатор емкостью С₁ подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкостью С₂ = 4 мкФ. При этом напряжение на батарее конденсаторов стало равно 100 В, а её энергия 2,5 · 10^–2 Дж. Определить емкость конденсатора С₁.

12 Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 400 см², заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый слой – прессшпан (ε₁ = 2) толщиной l₁ = 0,2 см, второй слой – стекло (ε₂ = 7) толщиной l₂ = 0,3 см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 В. Найти энергию конденсатора.

13 Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.