Термодинамика неравновесных процессов

То же, что и термодинамика необратимых процессов. Классическая термодинамика дает полное количественное описание равновесных (обратимых) процессов. Для неравновесных процессов она устанавливает лишь неравенства, указывающие направления процессов. Основная задача ТНП – количественное изучение неравновесных процессов, для состояний, не сильно отличающихся от равновесного. Система делится на части, каждая из которых состоит из достаточно большого числа частиц. К этим частям применяются 1-е и 2-е начала термодинамики обратимых процессов. Части системы обмениваются между собой потоками массы, импульса и энергии через градиенты термодинамических параметров.

Уравнение баланса энтропии S:

                                                                         (2.5),

где  - локальное производство энтропии на единицу объема в единицу времени, J_{s –} плотность потока энтропии, которая выражается через плотности потока теплоты, потока диффузии. Энтропия, в отличие от массы, энергии и импульса, не сохраняется, а возрастает со временем в элементе объема вследствие необратимых процессов (скорость возрастания обозначают ). Положительность производства энтропии () выражает в ТНП закон возрастания энтропии.

Производство энтропии определяется только необратимыми процессами (например, диффузией, теплопроводностью, вязкостью) и равно:

                                                                                  (2.6),

где J_i – потоки (например, диффузионный поток, тепловой поток), а X_i – сопряженные им термодинамические силы, т.е. градиенты термодинамических параметров, вызывающие отклонение от равновесного состояния.

4.3.1.Феноменологические уравнения. ТНП исходит из того, что при малых отклонениях системы от термодинамического равновесия возникающие потоки линейно зависят от термодинамических сил X и описываются феноменологическими уравнениями типа

                                                                          (2.7),

где L_ik – кинетические (феноменологические) коэффициенты, или коэффициенты переноса, которые рассчитывают или определяют опытным путем.

В прямых процессах термодинамическая сила X_k вызывает поток J_k, напр. градиент температуры вызывает поток теплоты (теплопроводность), градиентконцентрации - поток вещества (диффузию), градиентскорости - поток импульса (который определяет вязкость), электрическое поле - электрический ток (электропроводность). Такие процессы характеризуются онсагеровскими кинетическими коэффициентами, пропорциональными коэффициентам теплопроводности, диффузии, вязкости, электропроводности, которые также называются кинетическими коэффициентами или коэффициентами переноса. Так например градиент температуры может вызывать поток вещества в многокомпонентных системах (термодиффузия), а градиент концентрации - поток теплоты.

В стационарном состоянии величина производства энтропии минимальна при заданных внешних условиях, препятствующих достижению равновесия (теорема Пригожина[25], согласно которой в состоянии термодинамического равновесия производство энтропии равно нулю). Одна из основных теорем ТНП – теорема Онсагера[26], доказанная им в 1931 г. Она устанавливает свойства симметрии кинетических коэффициентов:

 ,                                                                                 (2.8)

если нет магнитного поля и вращения системы как целого. Если же на систему действует магнитное поле H или она вращается с угловой скоростью , то, согласно теореме Онсагера,

 .                                           (2.9)

Здесь кинетические коэффициенты L_ik имеют тот же смысл, что и в (2.7).

Теорема Онсагера является следствием микроскопической обратимости, которая выражается в инвариантности уравнений движения частиц, из которых состоит система, относительно обращения времени. Инвариантность относительно обращения времени означает, что при изменении направления скоростей всех частиц на обратное (при одновременном изменении направления магнитного поля и угловой скорости вращения на обратные) они будут двигаться обратно по своим прежним траекториям.

ТНП дает теоретическую основу для исследования открытых систем, позволяет объяснить многие неравновесные явления в проводниках, например термоэлектрические явления, гальваномагнитные явления и др. Вывод законов термодинамики неравновесных процессов из законов механики (классической и квантовой) и получение выражений для кинетических коэффициентов через параметры, характеризующие строение вещества, входят в задачу неравновесной статистической термодинамики.

Синергетика

Название синергетика происходит от греческого слова synergetikos (совместимый, согласованно действующий) и служит для обозначения направления в науке, связанного с изучением закономерностей пространственно-временного упорядочения в разнообразных системах. Термин введен Г. Хакеном (H. Haken) в начале 1970-х гг. и отражает тот факт, что процессы упорядочения в макроскопической системе возникают благодаря взаимодействию большого числа элементарных подсистем. Возникновение синергетики как самостоятельного направления связано с тем, что поведение разнообразных физических, химических, биологических и других систем описывается сходными математическими моделями и для таких систем характерны одни и те же явления самоорганизации. Это позволяет широко использовать результаты исследования одних объектов при анализе других.

Самоорганизация – самопроизвольное (не требующее внешних организующих воздействий) установление в неравновесных диссипативных средах устойчивых и регулярных структур. Первые исследования явления самоорганизации были проведены И.Р. Пригожиным и его коллегами в 1960-е гг.

Наиболее известный и наглядный пример самоорганизации – возникновение конвективных решеток (сотовой структуры конвекции) с шестигранными ячейками, ячейками Бенара, при подогреве горизонтального слоя жидкости снизу. При подогреве снизу плоского слоя жидкости развивается т.н. конвективная неустойчивость, связанная с тем, что молекулярный теплоперенос не в состоянии обеспечить температурный баланс между нагретой нижней поверхностью и охлажденной верхней поверхностью слоя. Всплывающий вследствие действия архимедовой силы нагретый (более легкий) элемент жидкости вытесняет холодную жидкость, заставляя ее двигаться вниз. В результате в слое устанавливается стационарное вращение элементов жидкости, которое при визуализации выглядит как структура упорядоченных вложенных роликов или валов. Характерный масштаб зависит от толщины слоя и параметров жидкости в тех жидкостях, где существенна зависимость параметров от температуры, существующие на начальных этапах развития неустойчивости валы с различной ориентацией в результате эффекта взаимной синхронизации образуют связанное состояние – решетку с шестигранными ячейками. Возбуждения с любыми другими масштабами (отличными от наблюдаемого) подавляются в результате конкуренции.

Параметры установившихся макроскопических структур не зависят (в некоторых пределах) от изменения начальных условий. Они зависят лишь от свойств неравновесной диссипативной среды. В этом смысле такие диссипативные структуры естественно назвать автоструктурами, подобно, тому как установившиеся колебания в диссипативной системе с внешним источником энергии называют автоколебаниями. Другой пример – самопроизвольное образование спиральных волн в двумерном химическом реакторе, в котором протекают автокаталитические реакции типа реакции Белоусова-Жаботинского.

Теории самоорганизации представляют собой раздел нелинейной динамики неравновесных сред и основывается на сравнительно небольшом числе базовых моделей. Простейший (монотонный) процесс формообразования, установления статических структур описывается т.н. градиентными моделями.

4.6. Энтропия и информация [27]

ТЕОРИЯИНФОРМАЦИИ– раздел математики, исследующий процессы хранения, преобразования и передачи информации. В основе его лежит определенный способ измерения количества информации. Возникшая из задач теории связи теория информации иногда рассматривается как математическая теория систем передачи информации. Опираясь на основополагающую работу К. Шеннона (1948), теория информации устанавливает основные границы возможностей систем передачи информации, задает исходные принципы их разработки и практического воплощения. Здесь рассматривается ядро теории информации – свойства информационных мер и их приложения к анализу систем передачи информации.

Основные свойства информации можно описать с помощью математической модели, отражающей многие характерные особенности информационной меры, как она обычно понимается на интуитивном уровне. Источник информации и канал связи, по которому передается информация, можно моделировать, используя вероятностные представления. Энтропия источника информации равна логарифму (эффективного) числа сообщений, которые он порождает. Это – мера сложности описания источника (или, как иногда говорят, мера неопределенности сообщения). Такое понимание энтропии тесно связано с понятием энтропии, используемым в термодинамике.

Трудность передачи информации зависит от числа возможных сообщений, которые должны быть распознаны получателем. Если это число невелико, то процесс передачи менее сложен, чем при большом числе возможных сообщений. Например, чтобы различить десять возможных сообщений, необходимо передать только одну десятичную цифру (0, 1, 2,…, 9), а для различения 100 возможных сообщений понадобятся уже две десятичные цифры (00, 01, 02,…, 99). Каждая дополнительная цифра позволяет увеличить число распознаваемых сообщений в 10 раз. Таким образом, количество информации, необходимой для того, чтобы мы могли различить N сообщений, растет, если говорить на математическом языке, как логарифм числа N, т.е. как log N.

Физически передачу информации можно представить как индуцирование в приемном устройстве требуемого физического состояния. Отправитель намерен передать сообщение получателю. Суть передачи заключается в воспроизведении на выходе канала связи переданного сообщения. В момент передачи отправитель выбирает нужное сообщение из списка всех возможных сообщений. Получатель заранее не знает, какое из них будет выбрано. (Если бы он был об этом заранее информирован, то никакой необходимости посылать сообщение не было бы.) Канал связи вносит в процесс передачи информации случайный шум, который искажает сообщение и тем самым затрудняет его прочтение. В начале процесса связи получатель находится в полной неопределенности относительно того, какое сообщение выбрано из списка возможных. К концу связи получателю становится это известно, т.е. становится известно точное описание выбранного сообщения.

Способность канала связи передавать информацию характеризуется некоторым числом – пропускной способностью (емкостью), равной логарифму эффективного числа сообщений, различимых на его выходе. Процесс передачи информации можно считать надежным, если скорость передачи сообщений меньше пропускной способности канала. В противном случае надежная передача информации оказывается невозможной. Основной результат теории информации состоит в утверждении: если энтропия источника меньше пропускной способности канала, то на его выходе исходное сообщение может быть воспроизведено со сколь угодно малой ошибкой; если же энтропия источника превышает его пропускную способность, то ошибку сделать малой невозможно.

Трудность передачи сообщения не зависит от его содержания; передавать бессмысленные сообщения не менее трудно, чем осмысленные. Например, число 23 в одном контексте может быть ценой одного барреля нефти, а в другом – номером победителя заезда на скачках. Смысл сообщения зависит от контекста и семантики, а трудность его передачи определяется только перечнем возможных сообщений (и их вероятностей).

Любую систему передачи информации можно считать состоящей из трех частей: источника сообщений, канала связи и приемного устройства (рис. 1). Например, при разговоре по телефону источником является говорящий, сообщением – его речь. Каналом связи служат провода, передающие электрический сигнал от говорящего к слушателю – получателю сообщения.

Между отправителем сообщения и каналом связи могут находиться устройства (обозначенные на рис.2.6 как кодирующие), преобразующие сообщение в форму, удобную для передачи по каналу связи. Декодирующее устройство, установленное на другом конце канала, восстанавливает принятое сообщение.

Рис. 4.2. Передача информации

Изучение систем передачи информации мы начнем с источника сообщений. По каналу связи может передаваться самая различная информация: текст, живая речь, музыка или изображения. Для каждого источника можно указать перечень сообщений, которые он может генерировать. Например, источник телеграфных или телексных сообщений передает только буквы и не содержит, скажем, нотных знаков. Если по каналу связи передается живая речь, то сигнал лишается полезного содержания при частоте выше 20 000 Гц, верхнего предела, воспринимаемого человеческим слухом. Этими фактами можно воспользоваться при проектировании входа канала связи.

 

Вопросы по разделам 1 - 4

1. Определение числа «пи» из треугольников Платона.

2. Геометрический вывод закона «обратных квадратов».

3. Гамильтониан, обратимость уравнений механики во времени и закон сохранения энергии.

4. Определение массы планеты, имеющей спутник, из 3-го закона Кеплера.

5. Термодинамические силы.

6. Энтропия и информация.

7.

5. Электродинамика и оптика

Со времен античности были известны способности тел к электризации и намагничиванию Фалес Милетский (7-6 вв. до н.э.) даже считал, что магнит имеет душу. А электрические свойства янтаря (по-гречески, янтарь - электрон) имеют развитие в современной электронике. Как стало известно в основном в XIX в., магнитные силы имеют не радиальный характер. Впрочем, как уже частично отмечалось, и электрические, и магнитные силы убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. В силу ранее сказанного, здесь мы имеем проявления свойств евклидова пространства. Вопрос заключается только в том, до каких малых расстояний закон обратных квадратов верен. Впрочем, этот вопрос выходит за рамки классической электродинамики, но не за рамки нашего курса, и мы вернемся к нему в дальнейшем. Электрические и магнитные, а также оптические явления исследовали многие известные ученые. Назовем лишь некоторые имена: Гильберт, Кулон, Эрстед, Ампер, Гюйгенс, Френель, Араго, Т. Юнг и ряд других. Вследствие краткости нашего изложения остановимся на поистине революционном вкладе, внесенном в науку об электричестве, магнетизме и свете гениальным английским ученым-самоучкой Майклом Фарадеем (1791-1867), который получил впоследствии теоретическое обобщение в трудах Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879).

М. Фарадей был, по-видимому, первым, кто бросил вызов ньтонианской картине мира. Великий английский физик-экспериментатор ввел понятие поля (электрического, магнитного, электромагнитного) формально, как это делали в теории механики и до него. Он впервые описал силовые линии поля как нечто реально существующее и доказал правомерность такого подхода. Он открыл у переменных полей способность «проталкивать» друг друга через пустое пространство, порождая своего рода (бестелесную) волну. Он же высказал предположение, что свет может состоять из таких волн. В то время господствовала точка зрения (ньютонианский подход), что электромагнитные поля всего лишь удобные вспомогательные математические понятия для описания «настоящей» ньютонианской физической реальности - действия на расстоянии (дальнодействия) точечных частиц. После опытов Фарадея физика вновь вернулась к декартовым идеям близкодействия, от которых отошла в механике Ньютона.

Не кажется ли вам, что линия Декарт (1596 – 1650) – Ньютон (1643 – 1727) в истории науки напоминает линию Демокрит – Платон (материальное-идеальное)?

Уравнения Максвелла

Столкнувшись с обнаруженными Фарадеем экспериментальными фактами и с более ранними открытиями Андре Мари Ампера и других исследователей, великий шотландский физик и математик Джеймс Клерк Максвелл, основатель Кавендишской лаборатории, задумался над математической формой уравнений, описывающих электрические и магнитные поля, а также их взаимное превращение.

Установлению уравнений Mаксвелла предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био - Савара, Ампера). В 1831 M. Фарадей открыл закон электромагнитной индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрического и магнитного полей как самостоятельных физических субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магнитному действию обычному электрическому току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему уравнений, названную впоследствии Максвелла уравнениями. M. у. функционально связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма.

Впервые об уравнениях Mаксвелла было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 1864. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогательным механическим моделям "эфира", но уже в "Трактате об электричестве и магнетизме" (1873) электромагнитное поле рассматривалось как самостоятельный, физический объект. Физическая основа уравнений Mаксвелла - принцип близкодействия, утверждающий, что передача электромагнитных возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние Математическим аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в математическом оформлении идей Фарадея.

Нельзя сказать, что Максвелл работал в теоретическом отношении на абсолютно пустом месте. Так в науке не бывает. Уже существовали уравнения аэро- и гидромеханики, теория потенциала в механике и, наконец, отдельные попытки математического описания опытов Фарадея, сделанные другими. Но полной картины электромагнитного поля не описал никто. Выводы Максвелла были результатом собственных теоретических постулатов – отчасти физических, отчасти математических, а где-то - даже эстетических. Максвеллу удалось вычислить скорость, с которой электромагнитное поле должно было распространяться в пространстве. И она в результате оказалась равной скорости света, незадолго до этого измеренной А. Физо (1819-1896).

Кроме того, электромагнитные волны интерферировали и обладали способностью поляризоваться, как и свет. Помимо объяснения свойств видимого света, для которого длины волн должны были лежать в диапазоне 4 - 7*10^-7 м, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн других длин, порождаемых существованием электрических токов в проводниках. Существование предсказанных волн было установлено Г. Герцем в 1888 г.

Система уравнений Максвелла в системе СИ выглядит следующим образом.

,

,               (2.10)

,

.

 

Здесь  - электрическое, а  - магнитное поля,  - магнитная индукция,  - плотность электрического тока,  - электрическая индукция,  - плотность электрического заряда,  - время.

Уравнения Максвелла в форме (2.10) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Их следует дополнить соотношениями, связывающими входящие в их состав векторы, которые не являются независимыми. Связь между векторами определяется свойствами среды и ее состоянием. Последние уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями.

Первое уравнение Максвелла связывает изменения электрического поля с текущими значениями магнитного поля и электрического тока, тогда как второе, наоборот, описывает изменения магнитного поля в зависимости от величины электрического поля. Третье уравнение, грубо говоря, представляет собой закодированную форму закона обратных квадратов, показывающую, как электрическое поле (в данный момент времени) должно быть связано с распределением зарядов. Что же касается четвертого уравнения, то оно говорит то же самое о магнитном поле, с той лишь разницей, что «магнитные заряды» - отдельные «северные» и «южные» полюсы частиц - не существуют. На этом вопросе специально останавливается В.Л. Гинзбург [5], когда говорит о задачах, стоящих перед современной физикой. Он, однако, не исключает возможности открытия магнитного монополя в будущем.

Эти четыре уравнения утверждают: (1) электрическое поле происходит от электрических зарядов и выражается через закон Кулона, (2) не существует изолированных магнитных полюсов, а между полюсами магнита действуют кулоновские силы, (3) электрические поля могут производиться изменением магнитных полей по закону электромагнитной индукции Фарадея и (4) циркулирующие магнитные поля производятся изменением электрических полей и электрическими токами по закону Ампера, описывающему взаимодействие изменяющихся полей.

Манипуляция четырьмя уравнениями для электрических и магнитных полей привела Максвелла к волновым уравнениям для полей, решениями которых выступали распространяющиеся гармонические волны. Детальная математическая проработка сочеталась у него и с качественным пониманием: изменяющиеся магнитные поля порождают поля электрические и наоборот. Это предполагало возможность появления электромагнитного поля, в котором меняющееся электрическое поле вело к росту меняющегося магнитного поля и наоборот.

Электромагнитные волны не представляли собой какого-то физического смещения, которое распространялось через среду подобно звуку или волнам на воде; вместо этого имело место распространение колебаний электрического и магнитного полей. Непростым является в этой связи ответ на вопрос, что же колеблется в электромагнитных колебаниях? Понятно, что ответ вроде такого: колеблются векторы электрического и магнитного полей - вряд ли можно считать физическим. А есть ли другой?

Волновое уравнение Максвелла показывало, что скорость волн с  определяется комбинацией констант в законах электро- и магнитостатики, говоря современным языком:

,

где   электрическая проницаемость свободного пространства, экспериментально найденное значение которой составляет 8,85*10^-12, а  - магнитная проницаемость свободного пространства, имеющая величину 1,26*10^-6.. Значение этой и предыдущих величин даются в системе СИ.

Вычисленная отсюда скорость около 3*10⁸ метров в секунду согласовалась с известной уже в то время скоростью света (опыты А.И. Физо[28]). В своей лекции в Лондонском Королевском обществе «Динамическая теория электро-магнитного поля», прочитанной в 1864 году, Максвелл заявил:

Мы имеем сильные основания для заключения о том, что свет как таковой, включая тепловое и любое другое излучение, является электромагнитным возмущением в форме волн, распространяющихся посредством электромагнитного поля в соответствии с электромагнитными законами.

Хотя понимание световых явлений претерпело со времени 1860-х годов глубокие перемены в результате открытия квантово-механической природы света, модель электромагнитных волн Максвелла для многих ситуаций сохраняет полную адекватность.

Квантово-механическая природа света особенно проявляется в фотоэффекте, который разделяется на внутренний и внешний и (теперь это можно уже сказать) электронный и ионный. Понимание природы фотоэффекта, в том числе и недавно открытого в Саратовском университете ионного фотоэффекта, существенно связано с развитием физики полупроводников, практические результаты которой явились, по словам Нобелевского лауреата Ж.И. Алферова, одним из трех крупнейших технических достижений 20-го столетия.

Уравнения Максвелла несколько напоминают уравнения Гамильтона тем, что определяют скорости изменения электрического и магнитного полей. В зависимости от их текущих значений в любой заданный момент времени. Следовательно уравнения Максвелла являются по сути детерминистскими – точно так же как и система уравнений в обычной гамильтоновой теории. Единственное, хотя и важное, различие в том, что уравнения Максвелла полевые, а не корпускулярные. Это означает, что для описания состояния такой системы необходимо бесконечно много параметров (векторы поля в каждой точке пространства) вместо всего лишь конечного числа параметров (вместо трех координат положения и трех компонентов импульса каждой частицы) в корпускулярной теории. Таким образом, фазовое пространство в теории Максвелла бесконечномерно. На основе теории Максвелла поля рассматриваются уже не как математические придатки к реальным частицам ньютоновой теории, но как самостоятельно существующие объекты. Действительно, сам автор этой теории показал, что когда поля распространяются в виде нематериальных электромагнитных волн, они переносят с собой энергию. Этот факт был экспериментально подтвержден Герцем, сумевшим зарегистрировать электромагнитные волны, хотя это обстоятельство до сих пор представляется удивительным. Заряженные частицы в максвелловых уравнениях относятся, строго говоря, к области квантовой электродинамики, хотя и там при обращении с ними возникают определенные трудности.

Максвелл установил, что радиоволны распространяются со скоростью света. Но относительно чего измерять эту скорость? Сам Максвелл предлагал это делать относительно эфира. Но от гипотезы эфира стали отказываться после опытов Майкельсона и Морли в 1887 г. В этих опытах было доказано, что скорость света одинакова вдоль и поперек направления вращения Земли. Это означало отсутствие увлечения эфира в результате вращения Земли. Эфир оказался неподходящей системой для отсчета скорости света, т.е. утратил свою роль абсолюта. Из физики исчезало абсолютное. Физика становилась релятивистской.