История квантовых представлений

Зарождение теории. Когда Э. Резерфорд и Н. Бор предложили в 1911 году ядерную модель атома, это было подобно чуду. В самом деле, она была построена из того, что было известно уже более 200 лет. Это была, в сущности, коперниканская модель Солнечной системы, воспроизведенная в микроскопическом масштабе: в центре находится тяжелая масса, вскоре получившая название ядра, вокруг которой вращаются электроны, числом которых определяются химические свойства атома. Но мало того, за этой наглядной моделью стояла теория, которая позволила начать расчеты некоторых химических и физических свойств веществ, по крайней мере, построенных из наименьших и наиболее простых атомов. Теория Бора – Резерфорда содержала ряд положений, которые здесь полезно напомнить, поскольку все они в том или ином виде сохранились и в современной теории.

Во-первых, важен вопрос о природе сил, связывающих атом. С 18 в. было известно, что электрически заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя в качестве пробных тел альфа-частицы, возникающие в результате радиоактивных превращений, Резерфорд показал, что тот же самый закон электрического взаимодействия (закон Кулона) справедлив в масштабах, в миллион миллионов раз меньших тех, для которых он был первоначально экспериментально установлен.

Во-вторых, нужно было ответить на вопрос о том, как электроны движутся по орбитам под действием этих сил. Здесь вновь опыты Резерфорда, казалось бы, показывали (и Бор принял это в своей теории), что законы движения Ньютона, сформулированные в его Началах (Principia Mathematica, 1687), можно использовать для описания движения частиц в этих новых масштабах микромира.

В-третьих, вставал вопрос о стабильности. В ньютоновско-кулоновском атоме, как и в Солнечной системе, размеры орбит произвольны и зависят лишь от того, каким образом система была первоначально приведена в движение. Однако все атомы одного вещества одинаковы и к тому же стабильны, что совсем необъяснимо с точки зрения старых представлений. Бор высказал предположение, что атомные электроны следует рассматривать как движущиеся вокруг ядра лишь по определенным орбитам, которым отвечают определенные энергетические уровни, причем они должны испускать квант энергии в виде света, переходя с орбиты с более высокой энергией на орбиту с меньшей энергией. Такие «условия квантования» не вытекали ни из каких экспериментальных данных или теорий; они были приняты как постулаты.

На основе этих концептуальных элементов, дополненных только что развитыми в то время представлениями М. Планка и А. Эйнштейна о природе света, Бору удалось количественно объяснить весь спектр излучения атомов водорода в газоразрядной трубке и дать качественное объяснение всех основных закономерностей периодической системы элементов. К 1920 пришло время взяться за проблему спектра излучения более тяжелых атомов и вычислить интенсивность химических сил, связывающих атомы в соединениях.

Но здесь иллюзия успеха померкла. На протяжении ряда лет Бор и другие исследователи безуспешно пытались рассчитать спектр гелия – следующего за водородом простейшего атома с двумя электронами. Сначала вообще ничего не получалось; в конце концов, несколько исследователей различными способами решили эту задачу, но ответ оказался неверным – он противоречил эксперименту. Затем выяснилось, что вообще невозможно построить сколько-нибудь приемлемую теорию химического взаимодействия. К началу 1920-х годов теория Бора исчерпала себя. Пришло время признать справедливость пророческого замечания, которое Бор еще в 1914 сделал в письме другу в присущем ему замысловатом стиле: «Я склонен полагать, что проблема связана с исключительно большими трудностями, которые можно будет преодолеть, лишь гораздо дальше отойдя от обычных соображений, чем требовалось до сих пор, и что достигнутый ранее успех был обусловлен исключительно простотой рассматривавшихся систем».

Первые шаги. Поскольку использованная Бором комбинация существовавших ранее представлений из области электричества и механики с условиями квантования привела к неверным результатам, все это нужно было полностью или частично изменить. Основные положения теории Бора были приведены выше, а для соответствующих расчетов было достаточно не очень сложных выкладок с использованием обычной алгебры и математического анализа. В 1925 молодой немецкий физик В. Гейзенберг посетил Бора в Копенгагене, где провел с ним долгие часы в беседах, выясняя, что из теории Бора обязательно должно войти в будущую теорию, а от чего в принципе можно и отказаться.

Бор и Гейзенберг сразу же согласились, что в будущей теории обязательно должно быть представлено все непосредственно наблюдаемое, а все не поддающееся наблюдению может быть изменено или исключено из рассмотрения. С самого начала Гейзенберг считал, что следует сохранить атомы, но орбиту электрона в атоме считать абстрактной идеей, поскольку ни один эксперимент не позволяет определить электронную орбиту по результатам измерений наподобие того, как это можно сделать для орбит планет. Читатель может заметить, что тут есть определенная нелогичность: строго говоря, атом столь же не наблюдаем непосредственно, как и электронные орбиты, и вообще в нашем восприятии окружающего мира нет ни одного ощущения, которое не требовало бы разъяснения. В наши дни физики все чаще цитируют известный афоризм, который был впервые произнесен Эйнштейном в беседе с Гейзенбергом: «Что именно мы наблюдаем, нам говорит теория». Таким образом, различие между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми величинами носит чисто практический характер, не имея никакого обоснования ни в строгой логике, ни в психологии, причем это различие, как бы оно ни проводилось, должно рассматриваться как часть самой теории.

Поэтому гейзенберговский идеал теории, очищенной от всего ненаблюдаемого, есть некое направление мысли, но отнюдь не последовательный научный подход. Тем не менее, он доминировал в атомной теории почти полвека после того, как был впервые сформулирован. Мы уже напоминали о составных элементах ранней модели Бора, таких, как закон Кулона для электрических сил, законы динамики Ньютона и обычные правила алгебры. Путем тонкого анализа Гейзенберг показал, что можно сохранить известные законы электричества и динамики, если найти надлежащее выражение для динамики Ньютона, а затем изменить правила алгебры. В частности, Гейзенберг высказал мысль, что, поскольку ни положение q, ни импульс p электрона не являются измеримыми величинами в том смысле, в каком ими являются, например, положение и импульс автомобиля, мы можем при желании сохранить их в теории, лишь рассматривая как математические символы, обозначаемые буквами, но не как числа. Он принял для p и q алгебраические правила, согласно которым произведение pq не совпадает с произведением qp. Гейзенберг показал, что простые расчеты атомных систем дают приемлемые результаты, если принять, что для положения q и импульса p выполняется соотношение

                                                   (4.1)

где h – постоянная Планка, уже известная из квантовой теории излучения и фигурировавшая в теории Бора, а . Постоянная Планка h представляет собой обычное число, но очень малое, приблизительно 6,6*10^–34 Дж*с. Таким образом, если p и q – величины обычного масштаба, то разность произведений pq и qp будет крайне мала по сравнению с самими этими произведениями, так что p и q можно считать обычными числами. Построенная для описания явлений микромира, теория Гейзенберга почти полностью согласуется с механикой Ньютона, когда ее применяют к макроскопическим объектам. Уже в самых ранних работах Гейзенберга было показано, что при всей неясности физического содержания новой теории она предсказывает существование дискретных энергетических состояний, характерных для квантовых явлений (например, для испускания света атомом). В более поздней работе, выполненной совместно с М. Борном и П. Йорданом в Гёттингене, Гейзенберг развил формальный математический аппарат теории. Практические вычисления остались, однако, крайне сложными. После нескольких недель напряженной работы В. Паули вывел формулу для энергетических уровней атома водорода, совпадающую с формулой Бора. Но прежде чем удалось упростить вычисления, появились новые и совершенно неожиданные идеи.

Частицы и волны. К 1920 физики были уже довольно хорошо знакомы с двойственной природой света: результаты одних экспериментов со светом можно было объяснить, предполагая, что свет представляет собой волны, а в других он вел себя подобно потоку частиц. Поскольку казалось очевидным, что ничто не может быть в одно и тоже время и волной, и частицей, ситуация оставалась непонятной, вызывая горячие споры в среде специалистов. В 1923 французский физик Л. де Бройль в опубликованных им заметках высказал предположение, что столь парадоксальное поведение, может быть, не является спецификой света, но и вещество тоже может в одних случаях вести себя подобно частицам, а в других подобно волнам. Исходя из теории относительности, де Бройль показал, что если импульс частицы равен p, то «ассоциированная» с этой частицей волна должна иметь длину волны = h / p. Это соотношение аналогично впервые полученному Планком и Эйнштейном соотношению E = h  между энергией светового кванта Е и частотой  соответствующей волны. Де Бройль показал также, что эту гипотезу можно легко проверить в экспериментах, аналогичных опыту, демонстрирующему волновую природу света, и настойчиво призывал к проведению таких опытов. Заметки де Бройля привлекли внимание Эйнштейна, и к 1927 Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер в Соединенных Штатах, а также Джозеф Томсон в Англии подтвердили для электронов не только основную идею де Бройля, но и его формулу для длины волны. В 1926 работавший тогда в Цюрихе австрийский физик Эрвин Шрёдингер, прослышав о работе де Бройля и предварительных результатах экспериментов, подтверждавших ее, опубликовал четыре статьи, в которых представил новую теорию, явившуюся прочным математическим обоснованием этих идей.

Уравнение Шредингера

Такая ситуация имеет свой аналог в истории оптики. Одной уверенности в том, что свет есть волна определенной длины, недостаточно для детального описания поведения света. Необходимо еще написать и решить выведенные Дж. Максвеллом дифференциальные уравнения, подробно описывающие процессы взаимодействия света с веществом и распространение света в пространстве в виде электромагнитного поля. Шрёдингер написал дифференциальное уравнение для материальных волн де Бройля, аналогичное уравнениям Максвелла для света. Стационарное уравнение Шрёдингера для одной частицы имеет вид

.

Зависимость от времени дает

или ,

где m – масса частицы, Е – ее полная энергия, V (x) – потенциальная энергия,  - гамильтониан (см. (2.4)), а  – величина, описывающая электронную волну (волновая функция). В ряде работ Шрёдингер показал, как можно использовать его уравнение для вычисления энергетических уровней атома водорода. Он установил также, что существуют простые и эффективные способы приближенного решения задач, не поддающихся точному решению, и что его теория волн материи в математическом отношении полностью эквивалентна алгебраической теории наблюдаемых величин Гейзенберга и во всех случаях приводит к тем же результатам. П. Дирак из Кембриджского университета показал, что теории Гейзенберга и Шрёдингера представляют собой лишь две из множества возможных форм теории. Теория преобразований Дирака, в которой важнейшую роль играет соотношение (1), обеспечила ясную общую формулировку квантовой механики, охватывающую все остальные ее формулировки в качестве частных случаев.

Вскоре Дирак добился неожиданно крупного успеха, продемонстрировав, каким образом квантовая механика обобщается на область очень больших скоростей, т.е. приобретает вид, удовлетворяющий требованиям теории относительности. Постепенно стало ясно, что существует несколько релятивистских волновых уравнений, каждое из которых в случае малых скоростей можно аппрокcимировать уравнением Шрёдингера, и что эти уравнения описывают частицы совершенно разных типов. Например, частицы могут иметь разный «спин»; это предусматривается теорией Дирака. Кроме того, согласно релятивистской теории, каждой из частиц должна соответствовать античастица с противоположным знаком электрического заряда. В то время, когда вышла работа Дирака, были известны только три элементарные частицы: фотон, электрон и протон. В 1932 была открыта античастица электрона – позитрон. На протяжении нескольких последующих десятилетий было обнаружено много других античастиц, большинство из которых, как оказалось, удовлетворяли уравнению Дирака или его обобщениям. Созданная в 1925–1928 усилиями выдающихся физиков квантовая механика не претерпела с тех пор в своих основах каких-либо существенных изменений.

Приложения. Во всех разделах физики, биологии, химии и техники, в которых существенны свойства вещества в малых масштабах, теперь систематически обращаются к квантовой механике. Приведем несколько примеров. Всесторонне исследована структура электронных орбит, наиболее удаленных от ядра атомов. Методы квантовой механики были применены к проблемам строения молекул, что привело к революции в химии. Структура молекул обусловлена химическими связями атомов, и сегодня сложные задачи, возникающие при последовательном применении квантовой механики в этой области, решаются с помощью компьютеров. Большое внимание привлекли к себе теория кристаллической структуры твердых тел и особенно теория электрических свойств кристаллов. Практические результаты впечатляют: примерами их могут служить изобретение лазеров и транзисторов, а также значительные успехи в объяснении явления сверхпроводимости.

Многие проблемы еще не решены. Это касается структуры атомного ядра и физики элементарных частиц. Время от времени обсуждается вопрос о том, не лежат ли проблемы физики элементарных частиц за пределами квантовой механики, подобно тому, как структура атомов оказалась вне области применимости динамики Ньютона. Однако до сих пор нет никаких указаний на то, что принципы квантовой механики или ее обобщения в области динамики полей где-то оказались неприменимыми. Более полувека квантовая механика остается научным инструментом с уникальной «объясняющей способностью» и не требует существенных изменений своей математической структуры. Поэтому может показаться удивительным, что до сих пор ведутся острые дебаты (см. ниже) по поводу физического смысла квантовой механики и ее истолкования.