А. Эйнштейн и международный год физики

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ГОД ЭЙНШТЕЙНА. 100 лет назад в немецком физическом журнале «Annalen der Physik» были опубликованы 4 статьи дотоле неизвестного ученого 26-летнего Альберта Эйнштейна. В ту пору он работал техническим испытателем 3 класса в бернском патентном ведомстве (Швейцария). Если Ньютон считал время текущим равномерно от одного мгновения к другому, то Лейбниц рассматривал время как язык, который позволяет связать между собой разные события. В мире без событий, т.е. изменений, не будет и времени. Эйнштейн приблизился к трактовке Лейбница, но не заимствовал ее полностью. В связи со столь значительным вкладом одного человека в историю науки Организация объединенных наций объявила 2005 год годом Эйнштейна и физики вообще.

Хронологически первыми были исследования Эйнштейна по молекулярной физике (начало им было положено в 1902 г.). Они посвящены проблеме статистического описания движения атомов и молекул и взаимосвязи движения и теплоты. В этих работах Эйнштейн пришел к выводам, существенно расширяющим результаты, которые были получены австрийским физиком Л. Больцманом и американским физиком Дж. Гиббсом. Они и послужили материалом для докторской степени, которую Э. получил в 1905 г., опубликовав соответствующую работу в журнале «Annalen der Physik» («Новое определение размеров молекул» - первая статья). В центре внимания Эйнштейна в его исследованиях по теории теплоты находилось броуновское движение. В статье 1905 в том же журнале он придал законченную математическую форму статистическому объяснению этого явления, представленному ранее польским физиком М. Смолуховским. Закон броуновского движения Эйнштейна был полностью подтвержден в 1908 опытами французского физика Жана Перрена. Работы по молекулярной физике доказывали правильность представлений о том, что теплота есть форма энергии неупорядоченного движения молекул. Одновременно они подтверждали атомистическую гипотезу, а предложенный Эйнштейном метод определения размеров молекул и его формула для броуновского движения позволяли определить число молекул. Вторая статья в «Annalen der Physik» («О молекулярно-кинетической теории тепла, вызывающего движение частиц, суспендированных в покоящейся жидкости»).

Если работы по теории броуновского движения продолжили и логически завершили предшествовавшие работы в области молекулярной физики, то работы по теории света, тоже базировавшиеся на сделанном ранее открытии, носили революционный характер. В своем учении Эйнштейн опирался на гипотезу, выдвинутую в 1900 М. Планком, о квантовании энергии материального осциллятора. Но Эйнштейн пошел дальше и постулировал квантование самого светового излучения, рассматривая последнее как поток квантов света, или фотонов (фотонная теория света). Это позволяло простым способом объяснить фотоэлектрический эффект – выбивание электронов из металла световыми лучами, явление, обнаруженное в 1886 Г. Герцем и не укладывавшееся в рамки волновой теории света. Девять лет спустя предложенная Эйнштейном интерпретация была подтверждена исследованиями американского физика Милликена, а в 1923 реальность фотонов стала очевидной с открытием эффекта Комптона (рассеяние рентгеновских лучей на электронах, слабо связанных с атомами). В чисто научном отношении гипотеза световых квантов составила целую эпоху. Это была третья статья Э. В 1905 в упомянутом журнале. Без нее не могли бы появиться знаменитая модель атома Н. Бора (1913) и гениальная гипотеза «волн материи» Луи де Бройля (начало 1920-х годов).

В том же 1905 была опубликована 4-я работа Эйнштейна К электродинамике движущихся тел (Zur Elektrodynamik der bewegter K rper). В ней излагалась специальная теория относительности, которая обобщала ньютоновские законы движения и переходила в них при малых скоростях движения (v << c). В основе теории лежали два постулата: специальный принцип относительности, являющийся обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические явления (в любых инерциальных, т.е. движущихся без ускорения, системах все физические процессы – механические, электрические, тепловые и т.д. – протекают одинаково), и принцип постоянства скорости света в вакууме (скорость света в вакууме не зависит от движения источника или наблюдателя, т.е. одинакова во всех инерциальных системах и равна 3*10¹⁰ см/с). Это привело к ломке многих основополагающих понятий (абсолютность пространства и времени), установлению новых пространственно-временных представлений (относительность длины, времени, одновременности событий). Минковский, создавший математическую основу теории относительности, высказал мысль, что пространство и время должны рассматриваться как единое целое (обобщение евклидова пространства, в котором роль четвертого измерения играет время). Разным эквивалентным системам отсчета соответствуют разные «срезы» пространства-времени.

Исходя из специальной теории относительности, Эйнштейн в том же 1905 открыл закон взаимосвязи массы и энергии. Его математическим выражением является знаменитая формула E = mc ². Из нее следует, что любой перенос энергии связан с переносом массы. Эта формула трактуется также, как выражение, описывающее «превращение» массы в энергию. Именно на этом представлении основано объяснение т.н. «дефекта массы». В механических, тепловых и электрических процессах он слишком мал и потому остается незамеченным. На микроуровне он проявляется в том, что сумма масс составных частей атомного ядра может оказаться больше массы ядра в целом. Недостаток массы превращается в энергию связи, необходимую для удержания составных частей. Атомная энергия есть не что иное, как превратившаяся в энергию масса. Принцип эквивалентности массы и энергии позволил упростить все законы сохранения. Оба закона – сохранения массы и сохранения энергии – до этого существовавшие раздельно, превратились в один общий закон: для замкнутой материальной системы сумма массы и энергии остается неизменной при любых процессах. Закон Эйнштейна лежит в основе всей ядерной физики.

  6.2. Частная теория относительности

Основные представления ньютоновской теории заключаются в следующем. Пространство и время рассматриваются как абсолютные и первичные. Абсолютное пространство однородно и изотропно. Это означает, что все его точки, как и все направления в нем, равноправны. Параллельные линии не сходятся и не расходятся, а это означает, что рассматривается, как уже отмечалось, евклидово пространство, свойства которого полностью описываются евклидовой геометрией.

Пространственно-временн е диаграммы.

Наряду со временем на пространственно-временн й диаграмме можно представить и две пространственные координаты; гораздо труднее – три.

Распространение света. Частная ТО возникла в результате противоречия между ньютоновской механикой и максвелловской электромагнитной теорией света. Согласно теории Максвелла, свет представляет собой электромагнитные колебания, которые в виде волны распространяются с определенной скоростью. Скорость света в материальных средах меньше, чем в вакууме.

Во второй половине 19 в. было принято искать механические модели для всех физических явлений. Так, световые колебания рассматривались как колебания некоторой физической среды – «светоносного эфира». Предполагалось, что эфир неподвижен в абсолютном пространстве ньютоновской механики. Поэтому в принципе представлялось возможным в опытах со светом выявить движение Земли относительно эфира, т.е. ее абсолютное движение. При этом, если Земля движется в эфире со скоростью v, а свет – со скоростью с, то свет, движущийся в том же направлении, что и Земля, должен, согласно механике Ньютона, перемещаться относительно Земли со скоростью (с - v), а свет, движущийся в противоположном направлении, должен иметь относительно Земли скорость (с + v).

Первая попытка измерения скорости движения Земли относительно светоносного эфира была сделана А. Майкельсоном в 1881. Этот «эфирный» эксперимент он впоследствии с большей точностью повторил вместе с Э.Морли, а потому теперь эти эксперименты называются опытами Майкельсона – Морли. Опыт основан на сравнении скорости света в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Подробности опыта мы рассматривать не будем, но его результат имеет огромнейшее значение. Он показал, что скорость Земли относительно эфира в любой момент не превышает 1 км/с. Однако, как известно, скорость Земли на орбите составляет около 30 км/с, а поскольку направление ее движения изменяется на противоположное каждые 6 мес., то ее скорость в любом заданном направлении должна изменяться на протяжении полугода примерно на 60 км/с. Поэтому был сделан вывод, что скорость света относительно прибора практически не зависит от движения прибора относительно эфира – результат, который совершенно не согласуется с механикой Ньютона. Затем была выполнена серия еще более точных опытов, и результат неизменно оставался отрицательным.

Это неожиданное открытие объяснялось по-разному. Предполагалось, что Земля должна каким-то образом увлекать за собой окружающий эфир. Однако гипотеза «увлекаемого эфира» противоречила некоторым астрономическим наблюдениям (таким, как звездная аберрация). Дж. Фитцджеральд (1851–1901) и независимо от него Г. Лоренц высказали предположение, что движение прибора (или любого другого предмета) в эфире должно вызывать сокращение его размеров на величину, необходимую для того, чтобы скомпенсировать ожидаемый эффект. Однако эта гипотеза о сокращении размеров, изначально базировавшаяся на ньютоновских представлениях, оказалась в противоречии с модифицированным опытом Майкельсона – Морли, выполненным в 1932 Р. Кеннеди и Э. Торндайком. В. Ритц выступил с утверждением, что скорость света в вакууме всегда должна быть равна с не относительно эфира, а относительно источника света, но это противоречило опытам Р. Томашека (выполненным с использованием солнечного света и света звезд в 1924 в духе опытов Майкельсона – Морли), а также астрономическим наблюдениям орбит двойных звезд.

Все разнообразие этих наблюдений можно свести к одному положению, с которым не согласуется ни одна из упомянутых гипотез: наблюдаемая скорость света, испускаемого движущимся в вакууме источником, не зависит от движения наблюдателя. Это положение явно противоречит ньютоновской механике.

Пространственно-временн’ые диаграммы в частной ТО.

Противоречие было разрешено частной ТО, основные положения которой следуют из эмпирического заключения об инвариантности скорости света, принципа относительности Галилея и модифицированного второго закона Ньютона. Должны быть также модифицированы и уравнения преобразований Галилея.

Чтобы согласовать утверждение об инвариантности скорости света с классическими преобразованиями Галилея, последние нужно изменить так, чтобы скорость света во всех инерциальных системах отсчета была одной и той же. Пространственно-временн е диаграммы, представленные на рис.8, показывают, что из этого следует. На них мы видим мировые линии двух наблюдателей P и Q, с каждым из которых связана инерциальная система отсчета. На верхних диаграммах покоится Р, а Q движется вправо со скоростью v. В момент, когда Q проходит мимо Р, там вспыхивает лампа и световые лучи L и R расходятся влево и вправо со скоростью с. Поскольку скорости в обоих направлениях равны, лучи наклонены по отношению к вертикали одинаково. На нижних диаграммах представлен случай, когда путем надлежащего преобразования был осуществлен переход к другой инерциальной системе отсчета, где Q покоится, а Р движется влево со скоростью v. Левая диаграмма соответствует механике Ньютона: лампа наблюдателя Р теперь движется вместе с ним со скоростью v и, следовательно, световой луч L, распространяющийся влево, имеет скорость (c + v), тогда как луч R, распространяющийся вправо, имеет скорость (с - v). Это различие представлено разным наклоном лучей.

Рис. 6.1. Принцип инвариантности скорости света представляет собой основу теории относительности, тогда как в ньютоновской теории скорость света зависит от скорости наблюдателя. В момент прохождения наблюдателя Q мимо наблюдателя P последний включает лампу. Световые лучи L и R расходятся влево и вправо. Как ньютоновская, так и релятивистская диаграммы показывают, что в системе отсчета, связанной с P, L и R расходятся с равными скоростями. В системе же отсчета, связанной с Q, скорость луча L на ньютоновской диаграмме больше, чем луча R, тогда как на релятивистской диаграмме лучи L и R распространяются с одинаковыми скоростями. Для согласования ньютоновских и релятивистских результатов потребовались преобразования Лоренца. Здесь изображены мировые линии, а не геометрические траектории.

 

Однако приведенное рассуждение противоречит требованию постоянства скорости света с в любой инерциальной системе отсчета. Представленная же справа диаграмма – релятивистская – соответствует случаю, когда это требование выполняется. В новой системе отсчета скорости обоих световых лучей равны с. Поэтому пространство-время должно быть подвергнуто таким преобразованиям, чтобы скорость света осталась неизменной. Этому условию удовлетворяют преобразования Лоренца.

Концепция пространства-времени.

То, каким образом пространственные координаты x, y, z и время t входят в уравнения преобразований Лоренца, навело Г. Минковского на мысль, что пространство и время следует рассматривать не так, как в механике Ньютона с ее трехмерным евклидовым пространством и совершенно обособленной временн й координатой, а всегда вместе, в виде некой четырехмерной комбинации. Новая концепция оказалась очень плодотворной и благодаря наглядной геометрической интерпретации во многом способствовала развитию теории. (Такое пространство-время часто называют пространством Минковского.) Вместо того чтобы рассматривать физическую систему как совокупность частиц в пространстве, ее следует представить как совокупность мировых линий частиц в пространстве-времени, которая описывает полную историю системы. Как и евклидово пространство в механике Ньютона, пространство-время Минковского однородно, изотропно и обладает дополнительными свойствами симметрии, вытекающими из преобразований Лоренца.

Главные следствия частной ТО.

Многие результаты частной ТО вытекают из преобразований Лоренца. Ниже приводятся лишь сами результаты, а не их вывод.

Относительность времени (относительность одновременности). В теории относительности не существует абсолютного ньютоновского времени. В преобразованиях Галилея время остается без изменений. Из формул преобразований Лоренца следует, однако, что время в разных системах отсчета течет по-разному.

 

 

 

 

Рис. 6.2. Относительность одновременности рушит представления о времени как не зависящем от движения в какой-либо системе отсчета. События, одновременные в одной системе отсчета, не являются таковыми в другой, и наоборот. В системе отсчета, связанной с P (в которой Q равномерно движется вправо от P), событие D происходит раньше одновременных событий E, F, G, а событие H – позже них. В системе отсчета, связанной с Q (в которой P движется равномерно влево от Q), события E, F, G более не являются одновременными; событие D происходит после F, а событие H – раньше F.

 

На рис. 6.2 представлены две пространственно-временн е диаграммы. На обеих отображены одни и те же события, но одна соответствует системе отсчета, связанной с Р, а другая – системе, связанной с Q и движущейся относительно Р. Таким образом, они согласуются с релятивистскими диаграммами рис. 4 (справа), но здесь вместо одной оси х имеются две – для P и Q. Оси и мировые точки D, E, F, G и Н изображены так, что их положения на обеих диаграммах согласуются с преобразованиями Лоренца. На рис. 5,а, в системе, где Р покоится, мировые точки E, F и G лежат на горизонтальной линии, а это означает, что все три представленных события происходят в одно время в разных местах (одно и то же t, но разные х). Событие D наступает раньше других, а событие Н – позже. На рис. 5,б, в системе, где Q покоится, мировые точки, соответствовавшие в предыдущем случае одновременным событиям (при одном и том же значении t), теперь соответствуют событиям, происходящим при разных значениях t. Рассмотрим диаграмму. События E, F и G более не являются одновременными: сначала произойдет G, затем F и, наконец, E. Событие D по-прежнему произойдет раньше Е, но позже F, хотя в предыдущем случае оно, как и следует из преобразований Лоренца, происходило раньше F. Аналогично ведут себя события H и G. Таким образом, относительна не только одновременность событий, но и порядок их наступления. Рассмотрим события D и E, а также события G и H. Каждая пара событий имеет на левой диаграмме одинаковую абсциссу х, указывающую на то, что пара событий происходила в одном и том же месте. Все эти события теперь будут происходить в разных местах (рис. 5,б). Конечно, то же самое происходит и в ньютоновской теории. Упорядоченность событий от прошлого к будущему нарушается в ТО далеко не всегда. Некоторые события имеют вполне определенный порядок, вне зависимости от используемой для их описания системы отсчета. Например, опыт показывает, что события на мировой линии некоторого наблюдателя должны происходить в определенном порядке, и два наблюдателя всегда согласятся по поводу порядка событий, при которых они оба присутствовали.

Рис. 6.3. Световой конус на пространственно-временной диаграмме иллюстрирует некоторые следствия теории относительности для понятия времени. В ньютоновской теории время абсолютно. В теории относительности время между событиями и их последовательность зависят от системы отсчета. Световой конус будущего, исходящий из точки O вверх (при фиксированном t – сфера, соответствующая распространению света во всех направлениях на расстояние ct, начавшемуся в момент t = 0, из точки О), представляет события, которые должны случиться после события O. Световой конус прошлого представляет события, которые должны произойти ранее O: он состоит из точек, откуда свет достигнет O в момент t = 0. Все точки вне двойного конуса представляют события, которые в зависимости от системы отсчета могут случиться как раньше, так и позже события O.

 

На рис. 6.3 представлена пространственно-временная диаграмма истории световой вспышки, произошедшей в мировой точке O в момент t = 0. Спустя время t свет распространится на расстояние ct во всех направлениях и будет находиться на поверхности сферы радиусом ct. История этой сферы на диаграмме имеет вид конуса с вершиной в точке O. Этот конус (верхний на рис. 6) называется конусом будущего. События, свет от которых достигнет точки O в момент t = 0, образуют конус прошлого (нижний конус на рис. 6). Он выглядит точно так же, как конус будущего, но обращен назад. Вместе конусы прошлого и будущего образуют двойной конус с вершиной в пространственно-временн й точке O, называемый «световым конусом».

Любое событие, располагающееся внутри конуса будущего, всегда (во всех системах отсчета) происходит после события O. Поэтому событие O может, в принципе, быть его причиной. Любое событие, лежащее внутри конуса прошлого, всегда происходит до события O. Поэтому оно может, в принципе, быть причиной O. Любое событие, лежащее вне светового конуса, может происходить как до, так и после O, в зависимости от системы отсчета. Поэтому между ним и событием O не может быть причинно-следственной связи. Сам световой конус не меняет формы при преобразованиях Лоренца, т.е. выглядит одинаково во всех системах отсчета, и это согласуется с опытным фактом, на котором основывается частная ТО, а именно, что скорость света в вакууме не зависит ни от движения источника, ни от движения наблюдателя.

Сокращение Фитцджеральда – Лоренца (лоренцево сокращение). Из преобразований Лоренца сразу же следует, что измеренная длина движущегося объекта отличается от его длины, измеренной, когда он покоится

Рассмотрим стержень, который покоится в некоторой системе отсчета, и пусть его длина, измеренная в этой системе, равна L. Если положение концов стержня измерить одновременно в системе отсчета, которая движется относительно первой со скоростью v (в направлении длины стержня), то выяснится, что расстояние между концами стержня равно уже не L, а L / , где , а c – скорость света. Таким образом, вследствие движения измеренная длина стержня сокращается в  раз. Величина  очень близка к единице, если скорость стержня мала по сравнению со скоростью света, и резко возрастает, когда его скорость приближается к c. Этим безо всяких дополнительных гипотез о поведении объектов относительно абсолютного пространства или о свойствах эфира объясняется отрицательный результат опыта Майкельсона – Морли. Лоренцево сокращение объясняется только относительным движением объектов. То же относится и ко всем другим вопросам, рассматриваемым в рамках частной ТО.

Замедление времени. Так называемое замедление времени или замедление хода движущихся часов, – явление, аналогичное рассмотренному выше сокращению длины. Оно состоит в изменении в  раз длительности измеряемых временных промежутков. Здесь есть два важных следствия, одно из которых имеет непосредственное приложение в физике.

Рассмотрим, как и прежде, двух наблюдателей P и Q и два события D и E, например, в истории Q. Предположим, что в системе отсчета, где Q покоится (система Q), событие E происходит t секундами позже события D. Тогда в системе, где покоится P (система P), эти два события происходят в точках, разделенных расстоянием v t, а E происходит после D не через t, а через t секунд. Поскольку всегда  > 1, время между двумя событиями, измеренное в системе P, где события происходят в разных точках, всегда больше, чем в системе Q, где они происходят в одной точке. Скорость наблюдателя Q в системе P есть просто относительная скорость двух систем отсчета.

Релятивистское замедление времени было экспериментально подтверждено многими опытами, из которых наиболее наглядным является следующий. В космических лучах присутствуют мюоны – нестабильные элементарные частицы, которые можно также получить на ускорителе. Как показывают лабораторные эксперименты, спустя время t = 2*10^–6 с после рождения эти частицы распадаются на электроны и нейтрино. Рождаются же мюоны в атмосфере из других космических частиц на высоте около 10 км и движутся к земле со скоростью v = 0,998 c, т.е. почти со скоростью света. Однако движущаяся с такой скоростью частица, согласно ньютоновской механике, может до своего распада пройти расстояние vt, равное всего 600 м. Следовательно, мюоны никак не могли бы достичь земной поверхности, если принять во внимание высоту, на которой эти частицы рождаются. Тем не менее они обнаруживаются на уровне моря. Объясняется это противоречие тем, что время жизни определялось в системе отсчета, где мюон покоится. В действительности же мюон движется относительно Земли с большой скоростью и вследствие релятивистского замедления времени интервал между событиями его рождения и распада различен для системы отсчета, в которой частица покоится, и системы, в которой она движется с большой скоростью. При переходе от системы покоя мюона к системе, в которой он движется со скоростью порядка 0,998 c, время жизни мюонов возрастает от t до  t, т.е. примерно в 16 раз. Измеренное лабораторными методами расстояние, проходимое мюонами от рождения до распада, составит v  t = 16*600 м, т.е. около 10 км. Этим и объясняется возможность наблюдения мюонов на уровне моря.

Парадокс часов (или близнецов).

В начальный период существования частной ТО большое внимание уделялось одному из ее следствий, так называемому парадоксу часов, или парадоксу близнецов, – пожалуй, наиболее поразительному из всех следствий этой теории. Кажущийся парадокс неразрешим, если оставаться на позициях механики Ньютона.

 

 

Рис. 6.4. Парадокс часов, или парадокс близнецов иллюстрируется пространственно-временной диаграммой. Мимо покоящихся в системе S ₁ часов 1 равномерно движутся вправо часы 2 (которые покоятся относительно системы S ₂) и встречаются с часами 1 (событие D). Событие E заключается в том, что часы 3, движущиеся влево (и покоящиеся в S ₃), проходят мимо часов 2. Когда часы 3 проходят мимо часов 1 (событие F), промежуток времени, зарегистрированный часами 1, оказывается больше суммы промежутков, зарегистрированных часами 2 между событиями D и E и часами 3 между событиями E и F.

 

Рассматриваемое явление существенным образом связано с эффектом замедления времени, которое здесь приходится учитывать дважды. Пусть имеются часы 1, 2 и 3, расположенные следующим образом. Часы 1 находятся в покое относительно инерциальной системы отсчета S1. Со скоростью v относительно этой системы вправо равномерно движутся часы 2, с которыми связана другая инерциальная система отсчета S 2. Часы 3 движутся равномерно влево со скоростью v относительно системы отсчета S1. С этими часами связана третья инерциальная система отсчета S 3. Пространственно-временн я диаграмма для данного случая представлена на рис. 6.4. События D, E и F таковы: D – часы 2 проходят мимо часов 1; E – часы 2 и 3 проходят друг мимо друга; F – часы 3 проходят мимо часов 1. Если время между D и E, измеренное часами 2 в системе отсчета S2, где они покоятся, равно t, то вследствие замедления времени время между этими событиями, измеренное в S1, будет равно t. Аналогично время между E и F, измеренное часами 3 в системе отсчета S3, где они покоятся, тоже равно t, а время между этими событиями, измеренное в S1, опять-таки должно быть равно   t. Таким образом, полное время между событиями D и F, измеренное часами 1 в системе S1, равно 2 t, а измеренное часами 2 в системе S2 и часами 3 в системе S3 – всего лишь 2 t.

Чтобы лучше разобраться во всем этом, предположим, что часы 2 синхронизированы с часами 1 и их показания совпадают в момент встречи (событие D), а часы 3 точно так же синхронизированы с часами 2 для момента их встречи (событие E). Тогда часы 3 не покажут то же время, что и часы 1, в момент их встречи (событие F), а будут отставать на время 2 t - 2 t или 2(  - 1) t. Разница в показаниях часов 1 и 3 в момент события F может быть весьма значительной, если точки встречи достаточно удалены друг от друга.

Этот любопытный результат может показаться довольно абстрактным, пока в рассмотрение не входит человеческий фактор. Заменим часы 2 и 3 одними часами, помещенными на борту космического корабля, уносящего в звездные дали одного из близнецов, брат которого вместе с часами 1 остается на Земле. Пренебрежем на время орбитальным движением Земли и ускорениями космического корабля в моменты, когда он покидает Землю (D), поворачивает назад (E) и возвращается (F). Если, к примеру, корабль путешествует к ближайшей известной звезде Альфа Центавра, расстояние до которой составляет 4,2 светового года, а скорость корабля равна 99% скорости света, то от старта корабля до его возвращения на Землю пройдет около 8,5 года. Однако на самом корабле пройдет лишь 14,5 месяца. И если к началу путешествия близнецам было по 10 лет, то к его завершению землянину будет 18 с половиной, а его брату астронавту – чуть больше 11. При более длительных путешествиях разница возрастет. Этот вывод существенно не изменится, если учесть, что при взлете, повороте и посадке корабль должен разгоняться и тормозить постепенно, а не мгновенно, как в только что разобранном случае. Дело не в ускорениях, а в различии мировых линий близнецов: кривизна одной из них значительно больше, чем другой.

Казалось бы, приведенные рассуждения можно симметрично повторить, предполагая, что астронавт находится в покоящейся системе, а землянин – в движущейся. Тогда оказалось бы, что больше постареет астронавт – в этом и заключается парадокс. Однако это не так. Землянин (с часами 1) все время остается в покое в инерциальной системе отсчета S1, а астронавт (с часами 2 и 3) в процессе путешествия переходит от одной инерциальной системы к другой. Таким образом, близнецы находятся совсем не в симметричных положениях [30]. Детальный анализ показывает, что движение землянина, с точки зрения астронавта, отличается от движения астронавта с точки зрения землянина. А поэтому и не получается, что при повторной встрече астронавт станет старше землянина, как это может показаться, если провести все рассуждения с точки зрения астронавта, считающего свою систему неподвижной. На заре теории относительности некоторые ученые пытались изобретать подобные парадоксы, выдвигая всегда качественные аргументы, основанные на интуитивных ньютоновских представлениях о времени. Количественный анализ должен приводить к правильному выводу, что близнец-астронавт при повторной встрече братьев окажется моложе. Результат этот однозначен и является прямым следствием пересмотра представлений о времени, которого требует частная ТО и необходимость которого подтверждается многими другими экспериментами. Полет к Альфе Центавра остается за гранью современных технических возможностей, однако эксперимент, подтверждающий эффект близнецов, все же был в 1971 проделан. Для этого были использованы очень точные атомные часы, установленные на борту самолета. Полеты осуществлялись вокруг Земли в восточном и западном направлениях, показания часов затем сверялись, и полученные результаты в обоих случаях были очень близки к предсказаниям теории относительности.

Релятивистская динамика.

Все описанные выше явления относятся к «релятивистской кинематике», т.е. могут быть выведены из преобразований Лоренца, которыми вместо преобразований Галилея связаны в частной ТО различные инерциальные системы отсчета. Но чтобы завершить переход к теории относительности, нужно найти замену второму закону Ньютона. Мы должны перейти к релятивистской динамике, рассматривающей влияние сил на движение тел. Новый закон движения должен удовлетворять следующим требованиям.

1. Его форма должна сохраняться при преобразованиях Лоренца, иначе возможны такие особые инерциальные системы отсчета, в которых закон имеет наиболее простой вид, что противоречило бы принципу равноправия инерциальных систем отсчета, на котором основана вся теория.

2. При скоростях, малых по сравнению со скоростью света, новый закон движения должен переходить во второй закон Ньютона, иначе возникло бы противоречие с опытными данными для движения с малыми скоростями, когда второй закон Ньютона выполняется.

Этих двух требований достаточно, чтобы более или менее однозначно установить новый закон движения.

Масса и энергия.

Различия между ньютоновскими и релятивистскими уравнениями движения проявляются и в различиях следствий, из них вытекающих. Когда эти различия экспериментально обнаруживаются, то оказывается, что они согласуются с релятивистскими уравнениями.

Первое, что нуждалось в подтверждении, – это зависимость массы от скорости. Частица, движущаяся с очень большой скоростью, согласно частной ТО, движется приблизительно так же, как и в ньютоновской механике, но ее масса должна следующим образом зависеть от скорости:

где m₀ – масса частицы, измеренная в системе, в которой частица (пусть даже временно) покоится; масса m₀ называется массой покоя или собственной массой. С этой квазиньютоновской точки зрения масса возрастает с увеличением скорости и стремится к бесконечности при приближении скорости частицы к скорости света. Это не парадокс, а лишь результат «ньютоновской» интерпретации релятивистского уравнения.

При малых скоростях, разлагая квадратный корень в ряд, получаем приближенно

где многоточием обозначены члены более высокого порядка малости, чем (v/c)².

Изменение массы с изменением скорости впервые наблюдалось В. Кауфманом, а затем было подтверждено более точными опытами. Релятивистская зависимость массы от скорости подтверждается и экспериментами на ускорителях, которые проектируются с учетом этой зависимости и иначе не работали бы.

Еще одно важное следствие из релятивистской формулы – эквивалентность массы и энергии. Энергия E, входящая в релятивистский закон сохранения энергии, обычно записывается в виде массы m, умноженной на с²:

Это выражение можно разложить так же, как и выражение для массы:

Второй член совпадает с обычной формулой для ньютоновской кинетической энергии (многоточием обозначены члены, которые становятся существенными лишь при очень больших скоростях). Эти два равенства интерпретируются следующим образом: масса тела изменяется точно так же, как и энергия, заключенная в теле, причем выражение для энергии должно содержать постоянное слагаемое – так называемую энергию покоя m ₀ c ², соответствующую массе покоя; при этом соотношение между массой и энергией имеет вид прямой пропорциональности с коэффициентом c ².

Из эквивалентности массы и энергии вытекает много следствий. Одно из наиболее впечатляющих – аннигиляция пары частиц и полное превращение их суммарной массы в излучение с соответствующей энергией. Такая аннигиляция наблюдается для пары электрон – позитрон (электрон заряжен отрицательно, а позитрон положительно) и для пары протон – антипротон. Эквивалентностью массы и энергии объясняется происхождение энергии звезд, она лежит в основе принципов получения атомной энергии и создания ядерного оружия, использующего деление и синтез ядер.